सामग्री

• पाऊल टाकण्यासाठी

त्रिकोणमितीय समीकरण हे व्हेरिएबल त्रिकोणमितीय वक्र x च्या एक किंवा अधिक त्रिकोणमितीय कार्याचे समीकरण आहे. X साठी सोडवणे म्हणजे त्रिकोणमितीय वक्रांची मूल्ये शोधणे ज्यांचे त्रिकोणमितीय कार्य त्रिकोणमितीय समीकरण खरे ठरवते.

• सोल्यूशन वक्रांची उत्तरे किंवा मूल्ये डिग्री किंवा रेडियनमध्ये दर्शविली जातात. उदाहरणे:

x = पाय / 3; x = 5 पीआय / 6; x = 3 पीआय / 2; x = 45 अंश; x = 37.12 अंश; x = 178.37 अंश

• टीपः युनिट वर्तुळावर, कोणत्याही वक्रांचे त्रिकोणमितीय कार्य संबंधित कोनाच्या त्रिकोणमितीय कार्यासाठी समान असतात. युनिट सर्कल व्हेरिएबल x च्या सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये परिभाषित करते. मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि असमानता सोडविताना याचा उपयोग पुरावा म्हणून देखील केला जातो.
• त्रिकोणमितीय समीकरणाची उदाहरणे:
  • sin x + sin 2x = 1/2; टॅन x + कोट x = 1.732;
  • कॉक्स 3x + पाप 2x = कॉस एक्स; 2sin 2x + cos x = 1.

1. युनिट सर्कल.
   • हे त्रिज्यासह एक मंडळ आहे = 1, जेथे ओ मूळ आहे. युनिट सर्कल व्हेरिएबल व्हेरिएबल x ची 4 मुख्य त्रिकोणमितीय कार्ये परिभाषित करते, जे हे घड्याळाच्या उलट दिशेने वर्तुळ करते.
   • जेव्हा व्हॅल्यू x सह वक्र युनिट मंडळामध्ये बदलते, तेव्हा धारण करते:
   • क्षैतिज अक्ष OAx त्रिकोणमितीय कार्य एफ (एक्स) = कॉस एक्स परिभाषित करते.
   • अनुलंब अक्ष OBy त्रिकोणमितीय कार्य f (x) = sin x परिभाषित करते.
   • अनुलंब अक्ष एटी त्रिकोणमितीय कार्य एफ (एक्स) = टॅन एक्स परिभाषित करते.
   • क्षैतिज अक्ष बीयू त्रिकोणमितीय कार्य एफ (एक्स) = कॉट एक्स परिभाषित करते.

• युनिट वर्तुळाचा उपयोग वर्तुळावरील वक्र x च्या वेगवेगळ्या स्थानांवर विचार करून मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि मानक त्रिकोणमितीय असमानतेचे निराकरण करण्यासाठी देखील केला जातो.

पाऊल टाकण्यासाठी

1. सोल्यूशन पद्धत समजून घ्या.
   • त्रिकोणमितीय समीकरण सोडविण्यासाठी आपण त्यास एक किंवा अधिक मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये रूपांतरित करता. त्रिकोणमितीय समीकरण सोडविण्यामुळे शेवटी 4 मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडविली जातात.
2. मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरण कसे सोडवायचे ते जाणून घ्या.
   • येथे 4 मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत:
   • sin x = a; कॉक्स x = अ
   • टॅन x = अ; कॉट एक्स = ए
   • आपण त्रिकोणमितीय मंडळावरील वक्र एक्सच्या विविध स्थानांचा अभ्यास करून आणि त्रिकोणमितीय रूपांतरण सारणी (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरून मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण करू शकता. ही आणि तत्सम मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची हे समजून घेण्यासाठी खालील पुस्तक वाचा: "त्रिकोणमिती: निराकरण करणारे त्रिकोणमितीय समीकरण आणि असमानता" (Amazonमेझॉन ई-बुक २०१०).
   • उदाहरण 1. पापाचे निराकरण x = 0.866. रूपांतरण सारणी (किंवा कॅल्क्युलेटर) उत्तर देते: x = पाय / 3. त्रिकोणमितीय वर्तुळ साइनसाठी समान मूल्यासह आणखी एक वक्र (2 पीआय / 3) देते (0.866). त्रिकोणमितीय मंडळ देखील विस्तारित उत्तरे म्हणतात उत्तरे एक अनंत प्रदान करते.
   • x1 = पाय / 3 + 2 के.पी.आय. आणि x2 = 2 पीआय / 3. (एका ​​कालावधीत प्रत्युत्तर (0, 2 पीआय))
   • x1 = पाय / 3 + 2 के पाय, आणि x2 = 2 पीआय / 3 + 2 के पी. (तपशीलवार उत्तरे)
   • उदाहरण 2. निराकरण करा: कॉक्स x = -1/2. कॅल्क्युलेटर x = 2 पाय / 3 देतात. त्रिकोणमितीय मंडळ देखील x = -2Pi / 3 देते.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, आणि x2 = - 2Pi / 3. (कालावधीसाठी उत्तरे (0, 2 पीआय))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2 के पाय, आणि x2 = -2 पी / 3 + 2 केपी. (विस्तारित उत्तरे)
   • उदाहरण 3. निराकरण: टॅन (एक्स - पाई / 4) = 0.
   • x = पाय / 4; (उत्तर)
   • x = पाय / 4 + के पाय; (विस्तारित उत्तर)
   • उदाहरण 4. निराकरण करा: खाट 2x = 1.732. कॅल्क्युलेटर आणि त्रिकोणमितीय मंडळ देतात:
   • x = पाय / 12; (उत्तर)
   • x = पाय / 12 + के पाय; (विस्तारित उत्तरे)
3. त्रिकोणमितीय समीकरण सोडविण्यात वापरले जाणारे रूपांतर जाणून घ्या.
   • दिलेल्या त्रिकोमितीय समीकरणाला मानक त्रिकोणमितीय समीकरणामध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, मानक बीजगणित रूपांतरण (फॅक्टरिलायझेशन, कॉमन फॅक्टर, बहुपद ...), परिभाषा आणि त्रिकोणमितीय कार्ये आणि गुणधर्मांची त्रिकोणमितीय ओळख वापरा. १ 31 ते about१ या काळात जवळपास ,१, १ trig त्रिकोणमितीय ओळख आहेत ज्यांना ट्रान्सफॉर्मेशन आयडेंटिव्हज देखील म्हटले जाते कारण ते त्रिकोणमितीय समीकरणाच्या रूपांतरणात वापरले जातात. वरील पुस्तक पहा.
   • उदाहरण 5: त्रिकोणमितीय समीकरणः पाप एक्स + पाप 2x + पाप 3x = 0 हे त्रिकोणमितीय ओळख वापरून मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणाच्या उत्पादनामध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते: 4cos x * sin (3x / 2) cos * cos (x / 2) = ० निराकरण करण्यासाठी मुलभूत त्रिकोणमिती समीकरणे आहेत: कॉस x = 0; sin (3x / 2) = 0; आणि कॉस (x / 2) = 0.
4. वक्र शोधा ज्यासाठी त्रिकोणमितीय कार्ये ज्ञात आहेत.
   • त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची हे शिकण्यापूर्वी आपल्याला त्रिकोणमितीय कार्ये ज्ञात असलेल्या वक्रांना कसे द्रुतपणे कसे शोधावे हे माहित असणे आवश्यक आहे. वक्र (किंवा कोन) चे रूपांतरण मूल्य त्रिकोमितीय मेट्रिक किंवा कॅल्क्युलेटरद्वारे निश्चित केले जाऊ शकते.
   • उदाहरणः कॉक्स x = 0.732 साठी सोडवा. कॅल्क्युलेटर x = 42.95 अंश सोल्यूशन देतो. युनिट सर्कल कोसाइनसाठी समान मूल्य असलेले इतर वक्र देते.
5. उत्तराचा कंस युनिट वर्तुळावर काढा.
   • युनिट वर्तुळावरील समाधान स्पष्ट करण्यासाठी आपण आलेख तयार करू शकता. या वक्रांचे शेवटचे बिंदू त्रिकोणमितीय मंडळावरील नियमित बहुभुज असतात. काही उदाहरणे:
   • वक्र चे शेवटचे बिंदू x = पाय / 3 + के. पी / 2 युनिट वर्तुळावरील एक चौरस आहे.
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 चे वक्र युनिट वर्तुळावरील षटकोनाच्या निर्देशांकाद्वारे दर्शविले जातात.
6. त्रिकोणमितीय समीकरण कसे सोडवायचे ते शिका.
   • जर दिलेल्या त्रिकोमितीय समीकरणात फक्त एक त्रिकोणमितीय कार्य असेल तर त्यास मानक त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणून निराकरण करा. दिलेल्या समीकरणात दोन किंवा अधिक त्रिकोणमितीय कार्ये असल्यास, समीकरण रूपांतरित करण्याच्या पर्यायांवर अवलंबून, 2 सोल्यूशन पद्धती आहेत.
     • A. पद्धत 1.
   • त्रिकोमितीय समीकरण फॉर्मच्या उत्पादनामध्ये रूपांतरित करा: f (x) .g (x) = 0 किंवा f (x) .g (x) .h (x) = 0, जेथे f (x), g (x) आणि एच (एक्स) ही मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत.
   • उदाहरण 6. निराकरणः 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • उपाय. ओळख वापरून समीकरणात पाप 2x पुनर्स्थित करा: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • कॉक्स x + 2 * पाप एक्स * कॉक्स एक्स = 2 कोस एक्स * (पाप एक्स + 1) = 0. नंतर 2 प्रमाणित त्रिकोणमितीय कार्ये सोडवा: कॉस एक्स = 0, आणि (पाप एक्स + 1) = 0.
   • उदाहरण 7. निराकरण करा: कॉस x + कॉस 2 एक्स + कोस 3x = 0. (0 x 2 पीआय)
   • ऊत्तराची: त्रिकोमितीय ओळख वापरून हे एका उत्पादनामध्ये रुपांतरित करा: 2x (2cos x + 1) = 0. आता 2 मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: कॉस 2x = 0, आणि (2cos x + 1) = 0.
   • उदाहरण 8. सोडवा: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • ऊत्तराची: त्रिकोणमितीय ओळख वापरून हे एका उत्पादनामध्ये रुपांतरित करा: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. आता 2 मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: कॉक्स 2x = 0, आणि (2सिन x + 1) = 0.
     • बी दृष्टीकोन 2.
   • केवळ एका अनन्य ट्रिग फंक्शनसह ट्रिगर समीकरणात ट्रिग समीकरण रुपांतरित करते. योग्य व्हेरिएबल कसे निवडायचे यावर काही टिपा आहेत. सामान्य चल आहेतः sin x = t; कॉक्स x = टी; कॉस 2x = टी, टॅन x = टी आणि टॅन (x / 2) = टी.
   • उदाहरण 9. निराकरणः 3 सेन ^ 2 एक्स - 2cos ^ 2 एक्स = 4 सेन एक्स + 7 (0 एक्स 2 पीआय).
   • उपाय. समीकरणात (1 - sin ^ 2x) सह (कॉस ^ 2x) पुनर्स्थित करा आणि हे समीकरण सुलभ करा:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. आता sin x = t वापरा. हे समीकरण होते: 5 टी ^ 2 - 4 टी - 9 = 0. हे 2 मुळांसह चौरस समीकरण आहे: टी 1 = -1 आणि टी 2 = 9/5. आम्ही दुसरा टी 2 नाकारू शकतो, कारण> 1. आता यावर उपाय करा: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • उदाहरण 10. सोडवा: टॅन x + 2 टॅन ^ 2 एक्स = कॉट एक्स + 2.
   • उपाय. टॅन x = टी वापरा. दिलेल्या समीकरणाला टी सह एका समीकरणात परिवर्तनात रुपांतरित करा: (२ टी + १) (टी ^ २ - १) = ० या उत्पादनातून टीचे निराकरण करा, त्यानंतर एक्ससाठी मानक त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवा = x.
7. विशेष त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण करा.
   • अशी काही खास त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत ज्यांना काही विशिष्ट रूपांतरणे आवश्यक आहेत. उदाहरणे:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. त्रिकोमितीय कार्यांची नियमित गुणधर्म जाणून घ्या.
   • सर्व त्रिकोणमितीय कार्य नियतकालिक असतात, याचा अर्थ असा की काही कालावधीत फिरल्यानंतर ते समान मूल्याकडे परत जातात. उदाहरणे:
     • F (x) = sin x या फंक्शनमध्ये कालावधीनुसार 2Pi असतात.
     • फ (एक्स) = टॅन एक्स फंक्शनला पीई कालावधी आहे.
     • फ (x) = sin 2x फंक्शनमध्ये पीआय कालावधी असतो.
     • फ (एक्स) = कॉस (एक्स / 2) फंक्शनमध्ये कालावधीनुसार 4 पीआय आहे.
   • जर व्यायाम / चाचणीमध्ये कालावधी निर्दिष्ट केला असेल तर आपल्याला या कालावधीत फक्त वक्र (एक्स) शोधण्याची आवश्यकता आहे.
   • टीप: त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण करणे अवघड आहे आणि बर्‍याचदा चुका आणि चुका देखील ठरवतात. म्हणून, उत्तरे काळजीपूर्वक तपासली पाहिजेत. सोडवल्यानंतर, तुम्ही आलेख कॅल्क्युलेटर वापरून उत्तरे तपासू शकता, दिलेल्या त्रिकोणमितीय समीकरण आर (एक्स) = ० च्या थेट प्रतिनिधित्वासाठी उत्तरे (चौरस मूळ म्हणून) दशांश ठिकाणी दिली आहेत. उदाहरणार्थ, पाईचे मूल्य 3.14 आहे