सामग्री

• पाऊल टाकण्यासाठी
• 3 पैकी भाग 1: समजून घ्या की "सामायिकरण" अशक्य आहे
• भाग 3 चा: मॅट्रिक्स उलटा करणे
• 3 पैकी भाग 3: समस्या पूर्ण करण्यासाठी मॅट्रिक्सचे गुणाकार करा
• टिपा
• चेतावणी

जर आपल्याला दोन मॅट्रिकचे गुणाकार कसे करायचे हे माहित असेल तर आपण एका मॅट्रिक्सला दुसर्‍या मॅट्रिक्सद्वारे "विभाजित" करण्यास सक्षम आहात. सामायिकरण कोटेशन चिन्हात आहे कारण मॅट्रिक्स तांत्रिकदृष्ट्या सामायिक करणे शक्य नाही. त्याऐवजी आपण एक मॅट्रिक्स ला गुणाकार करतो व्यस्त दुसर्‍या मॅट्रिक्स मधून. हे गणिते बहुधा रेषीय समीकरणांच्या सिस्टमच्या निराकरणासाठी वापरली जातात.

पाऊल टाकण्यासाठी

3 पैकी भाग 1: समजून घ्या की "सामायिकरण" अशक्य आहे

1. मॅट्रिक्स म्हणजे काय "विभाजित". तांत्रिकदृष्ट्या, मॅट्रिक्स विभागणी अशी कोणतीही गोष्ट नाही. अ‍ॅरे सामायिक करणे हे परिभाषित कार्य नाही. सर्वात जवळची गोष्ट म्हणजे दुसर्‍या मॅट्रिक्सच्या व्युत्पादनाद्वारे गुणाकार करणे. दुसर्‍या शब्दांत, [ए] ÷ [बी] परिभाषित नसले तरी आपण [A]. * [बी] ही समस्या सोडवू शकता. ही दोन समीकरणे स्केलर्सच्या बरोबरीची असल्याने, हे मॅट्रिक्स विभागासारखे "वाटते", परंतु योग्य शब्दावली वापरणे महत्वाचे आहे.
   • लक्षात ठेवा की [ए] * [बी] आणि [बी] * [ए] समान समस्या नाहीत. सर्व संभाव्य उत्तरे शोधण्यासाठी आपल्याला दोघांचे निराकरण करावे लागेल.
   • उदाहरणार्थ, त्याऐवजी $डिस्प्लेस्टाईल {प्यामट्रिक्स} 13 आणि 26 39 आणि 13 एंड {पमेट्रिक्स}} डिव्ह आरंभ {पिमॅट्रिक्स} 7 आणि 4 2 आणि 3 एंड {पेमॅट्रिक्स}}}$"विभाजक मॅट्रिक्स" चौरस आहे ते तपासा. मॅट्रिक्सचे व्यत्यय निर्धारित करण्यात सक्षम होण्यासाठी ते एक वर्ग मॅट्रिक्स असणे आवश्यक आहे, म्हणून समान पंक्ती आणि स्तंभ. आपल्याला व्युत्पन्न करायचे असलेले मॅट्रिक्स हे स्क्वेअर मॅट्रिक्स नसल्यास समस्येचे कोणतेही अनन्य निराकरण नसते.
     • "डिव्हिजर मॅट्रिक्स" हा शब्द थोडा सैल आहे, कारण तो खरोखर एक सबप्रॉब्लम नाही. [ए] * [बी] साठी, हे मॅट्रिक्स [बी] चा संदर्भ देते. आमच्या उदाहरणात हे आहे $डिस्प्लेस्टाईल प्रारंभ {पेमॅट्रिक्स} 7 आणि 4 2 आणि 3 एंड {पेमॅट्रिक्स}}}$दोन मॅट्रिक्स एकत्र गुणाकार करता येतात का ते तपासा. दोन मॅट्रिकचा गुणाकार करण्यास सक्षम होण्यासाठी, प्रथम मॅट्रिक्समधील स्तंभांची संख्या दुसर्‍या मॅट्रिक्समधील पंक्तींच्या संख्येइतकी असणे आवश्यक आहे. जर हे दोन्ही प्रकरणांमध्ये ([ए] * [बी] किंवा [बी] * [ए]) कार्य करत नसेल तर समस्येचे निराकरण होणार नाही.
       • उदाहरणार्थ, जर [ए] एक 4 एक्स 3 मॅट्रिक्स (4 पंक्ती, 3 स्तंभ) आणि [बी] एक 2 एक्स 2 मॅट्रिक्स (2 पंक्ती, 2 स्तंभ) असेल तर कोणतेही समाधान नाही. [ए] * [बी] कार्य करत नाही कारण 3 ≠ 2, आणि [बी] * [ए] कार्य करत नाही कारण 2 ≠ 4.
       • व्यस्त [B] मध्ये नेहमी मूळ मॅट्रिक्स [बी] सारख्या पंक्ती आणि स्तंभांची समान संख्या असते हे जाणून घ्या. ही पद्धत पूर्ण करण्यासाठी व्यस्त गणना करण्याची आवश्यकता नाही.
       • आमच्या उदाहरण समस्येमध्ये दोन्ही मॅट्रिक्स 2x2 आहेत, जेणेकरून त्या कोणत्याही क्रमाने गुणाकार होऊ शकतात.
     • 2 x 2 मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधा. आपण मॅट्रिक्सचे व्यत्यय निर्धारित करण्यापूर्वी आणखी एक आवश्यक तपासणी आहे. मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्य असू शकत नाही. निर्धारक शून्य असल्यास, मॅट्रिक्सला व्युत्क्रम नसतो. सर्वात सोप्या प्रकरणात आपण निर्धारक कसे निश्चित करता ते येथे आहे (2 x 2 मॅट्रिक्स):
       • 2 x 2 मॅट्रिक्स: मॅट्रिक्सचा निर्धारक ${ डिस्प्लेस्टाईल प्रारंभ {pmatrix} अ & बी सी & डी एंड {पेमॅट्रिक्स}}$मोठ्या मॅट्रिक्सचे निर्धारक शोधा. जर आपले मॅट्रिक्स 3 x 3 किंवा मोठे असेल तर निर्धारक निश्चित करण्यासाठी आणखी काही कार्य आवश्यक आहेः
         • 3 x 3 मॅट्रिक्स: एक घटक निवडा आणि त्यामधील पंक्ती आणि स्तंभ ओलांडून घ्या. उर्वरित 2 x 2 मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधा, निवडलेल्या घटकाद्वारे गुणाकार करा आणि वर्ण निश्चित करण्यासाठी मॅट्रिक्स कॅरेक्टर टेबल ठेवा. आपण निवडलेल्या पहिल्या प्रमाणे समान पंक्ती आणि स्तंभातील इतर दोन घटकांसाठी पुनरावृत्ती करा, त्यानंतर सर्व तीन निर्धारक जोडा. चरण-दर-चरण सूचना आणि हे कसे करावे यावरील सूचनांसाठी हा लेख वाचा.
         • मोठे मॅट्रिक: आलेख कॅल्क्युलेटर किंवा सॉफ्टवेअर वापरण्याची शिफारस केली जाते. ही पद्धत x x mat मॅट्रिक्स प्रमाणेच आहे परंतु आपण हे हाताने केल्यास ते बराच वेळ घेईल. उदाहरणार्थ, 4 x 4 मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधण्यासाठी, आपल्याला प्रथम चार 3 एक्स 3 मॅट्रिक्सचे निर्धारक शोधणे आवश्यक आहे.
       • सुरू. जर आपला मॅट्रिक्स चौरस नसेल किंवा त्याचे निर्धारक शून्य असेल तर ते "एक अद्वितीय समाधान नाही" म्हणून लिहा. समस्या पूर्ण झाली आहे. जर मॅट्रिक्स एक चौरस असेल आणि त्याचा निर्धारक शून्य नसेल तर पुढच्या टप्प्यासाठी पुढील भागासह सुरू ठेवा: व्युत्क्रम निश्चित करणे.

भाग 3 चा: मॅट्रिक्स उलटा करणे

1. 2 एक्स 2 मुख्य कर्णातील घटकांच्या पोझिशन्स स्वॅप करा. जर आपण 2 x 2 मॅट्रिक्सचा सामना करत असाल तर आपण ही गणना अधिक सुलभ करण्यासाठी शॉर्टकट वापरू शकता. या द्रुत निराकरणाची पहिली पायरी म्हणजे डावीकडील तळाशी तळाशी उजव्या घटकासह स्वॅप करणे. उदाहरणार्थ:
   • $डिस्प्लेस्टाईल प्रारंभ {पेमॅट्रिक्स} 7 आणि 4 2 आणि 3 एंड {पेमॅट्रिक्स}}}$इतर दोन घटकांच्या उलट घ्या परंतु त्यांना त्या स्थितीत सोडा. दुसर्‍या शब्दांत, शीर्षास गुणाकार करा न्यायाधीश आणि तळाशी डावीकडे-1 असलेले घटक
     • $डिस्प्लेस्टाईल प्रारंभ {पॅमॅट्रिक्स} 3 आणि 4 2 & 7 एंड {पेमॅट्रिक्स}}}$निर्धारकाची पारस्परिक घ्या. आपल्याला वरील विभागात या मॅट्रिक्सचा निर्धारक सापडला आहे, म्हणून त्याचे पुन्हा गणना करण्याची आवश्यकता नाही. फक्त 1 / (निर्धारक) ची परस्परसंवाद लिहा:
       • आमच्या उदाहरणात, निर्धारक 13 आहे. याचा परस्पर संबंध आहे $डिस्प्लेस्टाईल rac frac {1} {13}}}$निर्धारकाच्या पारस्परिकतेने नवीन मॅट्रिक्सचे गुणाकार करा. आपल्याला नुकत्याच सापडलेल्या परस्परसंबंधाने नवीन मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक घटकाचे गुणाकार करा. परिणामी मॅट्रिक्स हे 2 × 2 मॅट्रिक्सचे व्यत्यय आहे:
         • $डिस्प्लेस्टाईल rac frac {1} {13}} * { प्रारंभ {pmatrix} 3 & -4 - 2 आणि 7 एंड {pmatrix}}}$व्युत्पन्न योग्य आहे याची पुष्टी करा. आपले कार्य तपासण्यासाठी, मूळ मॅट्रिक्सद्वारे व्यस्त गुणाकार करा. व्यस्त बरोबर असल्यास, त्यांचे उत्पादन नेहमीच मॅट्रिक्सची ओळख असते, $डिस्प्लेस्टाईल प्रारंभ {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$3 x 3 मॅट्रिक्स किंवा मोठेचे मॅट्रिक्स व्युत्पन्न शोधा. आपण या प्रक्रियेस नवीन नसल्यास, मोठ्या मॅट्रिकसह ग्राफिक कॅल्क्युलेटर किंवा गणित सॉफ्टवेअर वापरुन आपण स्वत: चा बराच वेळ वाचवू शकता. जर आपणास त्याची गणना हाताने करायची असेल तर आपण वापरू शकता अशा एका पद्धतीचा त्वरित सारांश येथे आहे:
           • आपल्या मॅट्रिक्सच्या उजव्या बाजूला ओळख मॅट्रिक्स I जोडा. उदाहरणार्थ, [बी] → [बी | मी]. ओळख मॅट्रिक्समध्ये मुख्य कर्ण बाजूने "1" घटक असतात आणि इतर सर्व स्थानांवर "0" घटक असतात.
           • डावीकडील पंक्ती एक्चेलॉन स्वरूपात येईपर्यंत मॅट्रिक्स कमी करण्यासाठी पंक्ती संपादने करा आणि डावीकडील ओळख मॅट्रिक्स होईपर्यंत कमी करणे सुरू ठेवा.
           • जेव्हा संपूर्ण ऑपरेशन पूर्ण होईल तेव्हा आपले मॅट्रिक्स [I | फॉर्म मध्ये असतील) ब]. दुसर्‍या शब्दांत, उजवीकडील बाजू मूळ मॅट्रिक्सची व्यस्त असेल.

3 पैकी भाग 3: समस्या पूर्ण करण्यासाठी मॅट्रिक्सचे गुणाकार करा

1. दोन्ही शक्य समीकरणे लिहा. स्केलर्ससह "सामान्य गणित" मध्ये, गुणाकार कम्युटिव्ह आहे; 2 x 6 = 6 x 2. हे मॅट्रिक्सवर लागू होत नाही, म्हणून आपल्याला दोन समस्या सोडवाव्या लागतील:
   • [ए] * [बी] समाधान आहे एक्स समस्येसाठी एक्स[बी] = [ए].
   • [बी] * [ए] एक समाधान आहे एक्स समस्येसाठी [बी]एक्स = [ए].
   • जर हा एखाद्या समीकरणाचा भाग असेल तर आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी समान ऑपरेशन लागू केले असल्याचे सुनिश्चित करा. [ए] = [सी] असल्यास, [बी] [ए] आहे नाही [सी] [बी] प्रमाणेच, कारण [बी] [ए] च्या डावीकडे आहे, परंतु [सी] च्या उजवीकडे आहे.
2. आपल्या उत्तराची परिमाणे ठरवा. अंतिम मॅट्रिक्सचे परिमाण दोन घटकांचे बाह्य परिमाण आहेत. यात पहिल्या मॅट्रिक्ससारख्या पंक्ती आणि दुसर्‍या मॅट्रिक्सच्या समान स्तंभांची संख्या आहे.
   • मूळ उदाहरणाकडे परत येत आहे: दोघेही $डिस्प्लेस्टाईल प्रारंभ {पमेट्रिक्स} 13 आणि 26 39 आणि 13 एंड {पेमॅट्रिक्स}}}$पहिल्या घटकाचे मूल्य निश्चित करा. तपशीलवार सूचनांसाठी दुवा साधलेला लेख पहा किंवा या सारांशसह आपले ज्ञान रीफ्रेश करा:
     • [ए] [बी] च्या पंक्ती 1, स्तंभ 1 शोधण्यासाठी, [ए] पंक्ती 1 आणि [बी] स्तंभ 1 चे बिंदू उत्पादन शोधा. तर, 2 x 2 मॅट्रिक्ससाठी आपण गणना करा $डिस्प्लेस्टाईल ए_ {1,1} * बी_ {1,1} + ए_{ 1,2} * बी_ {2,1}$आपल्या मॅट्रिक्समधील प्रत्येक स्थानासाठी डॉट उत्पादनाची गणना करा. उदाहरणार्थ, २.१ स्थानावर असलेले घटक हे [ए] पंक्ती २ आणि [बी] स्तंभ १ चे बिंदू उत्पादन आहे. स्वतःच उदाहरण बनवण्याचा प्रयत्न करा. आपल्याला खालील उत्तरे मिळतील:
       • $डिस्प्लेस्टाईल प्यामट्रिक्स} 13 आणि 26 39 आणि 13 एंड {पमेट्रिक्स} } * { स्टार्ट {पिमॅट्रिक्स} rac फ्रॅक {3} {13}} & {rac फ्रॅक {-4} { 13}} {rac frac {-2} {13}} & {rac frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}$
       • आणि दुसरा उपायः ${ डिस्प्लेस्टाईल प्रारंभ {पॅमॅट्रिक्स {{rac फ्रॅक {3} {13}} & {rac फ्रॅक {-4} {13}} { फ्रॅक {-2} {13}} & { फ्रॅक {7 {} 13}} end {pmatrix}} * { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 शेवट {pmatrix}}$

टिपा

• आपण स्केलरद्वारे मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक घटकाचे विभाजन करून स्केलरद्वारे मॅट्रिक्स विभाजित करू शकता.
  • उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्स $डिस्प्लेस्टाईल प्रारंभ {पेमॅट्रिक्स & 6 आणि 8 2 आणि 4 एंड {पेमॅट्रिक्स}}}$ 2 = ने विभाजित केले $डिस्प्लेस्टाईल प्रारंभ {पॅमॅट्रिक्स} 3 आणि 4 1 & 2 एंड {पमेट्रिक्स}}}$

चेतावणी

• कॅल्क्युलेटर नेहमीच मॅट्रिक्स गणनामध्ये 100% अचूक नसतात. उदाहरणार्थ, जर आपला कॅल्क्युलेटर एखाद्या घटकास अगदी कमी मूल्य असल्याचे दर्शवित असेल तर (उदा. 2 ई), मूल्य बहुधा शून्य आहे.