सामग्री

• पाऊल टाकण्यासाठी
• सुरुवातीला
• 6 पैकी 1 पद्धत: चाचणी आणि त्रुटी
• 6 पैकी 2 पद्धत: विघटन
• 6 पैकी 3 पद्धत: ट्रिपल प्ले
• 6 पैकी 4 पद्धत: दोन चौरसांमधील फरक
• 6 पैकी 5 पद्धत: एबीसी सूत्र
• 6 पैकी 6 पद्धत: कॅल्क्युलेटर वापरणे
• टिपा
• चेतावणी
• गरजा

बहुपदात एका विशिष्ट सामर्थ्यासाठी व्हेरिएबल (x) आणि अनेक अटी आणि / किंवा स्थिर असतात. बहुपदीय घटक बनविण्यासाठी, आपल्याला अभिव्यक्ती लहान गुणाकारांमध्ये विभाजित करावी लागेल जी एकत्र गुणाकार केली जातात. यासाठी गणिताची विशिष्ट पातळी आवश्यक आहे आणि म्हणूनच आपण अद्याप इतके दूर नसल्यास हे समजणे कठीण आहे.

पाऊल टाकण्यासाठी

सुरुवातीला

1. समीकरण. चतुर्भुज समीकरणाचे मानक स्वरूप असे आहे:
   
   ax + bx + c = 0
   आपल्या समीकरणातील अटी सर्वात जास्त ते सर्वात कमी उर्जा पर्यंत सुरू करुन प्रारंभ करा. उदाहरणार्थ, घ्या:
   
   6 + 6x + 13x = 0
   आम्ही या अभिव्यक्तीची पुन्हा क्रमवारी लावणार आहोत जेणेकरुन त्यासह कार्य करणे सोपे होईल - केवळ अटी हलवून:
   
   6x + 13x + 6 = 0
2. खालीलपैकी एक पद्धती वापरुन घटक शोधा. बहुपदी फॅक्टरिंग केल्याने दोन लहान अभिव्यक्ती उद्भवतील ज्यायोगे मूळ बहुपद मिळविण्यासाठी एकत्र गुणाकार करता येईल:
   
   6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
   या उदाहरणात, (2x +3) आणि (3x + 2) आहेत घटक मूळ अभिव्यक्ति वरून, 6x + 13x + 6.
3. आपले काम तपासा! आपल्याला आढळलेले घटक गुणाकार करा. समान अटी एकत्र करा आणि आपण पूर्ण केले. यासह प्रारंभः
   
   (2x + 3) (3x + 2)
   EBBL (प्रथम - बाह्य - आतील - शेवटचे) वापरून अटी गुणाकार करू या, जे आपल्याला हे देतात:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   आता आम्ही 4x आणि 9x एकत्र जोडू कारण ते समान संज्ञा आहेत. आम्हाला माहित आहे की घटक योग्य आहेत कारण आपण प्रारंभ केलेले समीकरण परत मिळवितो:
   
   6x + 13x + 6

6 पैकी 1 पद्धत: चाचणी आणि त्रुटी

आपल्याकडे बर्‍यापैकी साधे बहुपद असल्यास, त्यामागील घटक काय आहेत हे आपणास कदाचित समजू शकेल. उदाहरणार्थ, काही अभ्यासानंतर अनेक गणितज्ञ अभिव्यक्ती पाहण्यास सक्षम असतात 4x + 4x + 1 (2x + 1) आणि (2x + 1) मध्ये घटक आहेत कारण त्यांनी हे बर्‍याच वेळा पाहिले आहे. (अर्थात, अधिक क्लिष्ट बहुवार्षिकांसह हे इतके सोपे होणार नाही.) या उदाहरणासाठी आपण कमी प्रमाणित अभिव्यक्ती घेऊ:

3x + 2x - 8

1. चे घटक लिहा अ मुदत आणि सी टर्म स्वरूप वापरा ax + bx + c = 0, ओळखणे अ आणि सी अटी आणि लक्षात ठेवा की तेथे कोणते घटक आहेत. 3x + 2x - 8 साठी याचा अर्थः
   
   a = 3 आणि घटकांची 1 जोड आहे: 1 * 3
   c = -8 आणि यात 4 जोड्यांचे घटक आहेत: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, आणि -1 * 8.
2. रिक्त जागेसह दोन जोड कंस लिहा. येथे आपण प्रत्येक अभिव्यक्तीचे स्थिरांक प्रविष्ट करा:
   
   (x) (x)
3. च्या संभाव्य घटकांसह x च्या आधी जागा भरा अ मूल्य. साठी अ आमच्या उदाहरणात शब्द, 3x, फक्त 1 शक्यता आहे:
   
   (3x) (1x)
4. एक्स च्या नंतरच्या 2 जागा रिक्त ठेवा आणि घटकांच्या काही घटकांसह भरा. समजा आपण 8 आणि 1 निवडले आहे.
   
   (3x8) (एक्स1)
5. कोणती चिन्हे (अधिक किंवा वजा) एक्स व्हेरिएबल्स आणि संख्यांमधील असावी हे निश्चित करा. मूळ अभिव्यक्तीच्या वर्णांवर अवलंबून, स्थिरांकांचे वर्ण काय असावे हे शोधणे शक्य आहे. चला दोन घटकांची दोन स्थिरता घेऊ एच आणि के उल्लेख करणे:
   
   जर अक्ष + बीएक्स + सी असेल तर (x + एच) (x + के)
   जर ax - bx - c किंवा ax + bx - c नंतर (x - h) (x + k)
   जर कु ax्हाड - बीएक्स + सी असेल तर (x - एच) (x - के)
   आमच्या उदाहरणात, 3x + 2x - 8, चिन्ह आहे: (x - एच) (x + के), जे आम्हाला पुढील दोन घटक देते:
   
   (3x + 8) आणि (x - 1)
6. पहिल्या-बाह्य-अंतर्गत-शेवटच्या गुणासह आपल्या निवडीची चाचणी घ्या. मधली मुदत किमान योग्य मूल्य आहे की नाही हे पाहण्यासाठी प्रथम द्रुत चाचणी. नसल्यास, कदाचित आपल्याकडे चुकीचे आहे सी घटक निवडले. चला उत्तरांची परीक्षा घेऊ:
   
   (3x + 8) (x - 1)
   गुणाकारानुसार आम्हाला मिळते:
   
   3x - 3x + 8x - 8
   (-3x) आणि (8x) यासारखे शब्द जोडून ही अभिव्यक्ती सुलभ करा आणि आम्हाला मिळेल:
   
   3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
   आम्हाला आता माहित आहे की आम्ही चुकीचे घटक घेतले:
   
   3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
7. आवश्यक असल्यास आपल्या निवडी स्विच करा. आमच्या उदाहरणात, 1 आणि 8 ऐवजी 2 आणि 4 वापरुन पहा:
   
   (3x + 2) (x - 4)
   आता आमचे सी टर्म -8 च्या समकक्ष, परंतु (3x product * -4) आणि (2 * x) चे बाह्य / अंतर्गत उत्पादन -12x आणि 2x आहे, जे योग्य नाही बी संज्ञा किंवा + 2x.
   
   -12x + 2x = 10x
   10x ≠ 2x
8. आवश्यक असल्यास ऑर्डर उलट करा. 2 आणि 4 फ्लिप करण्याचा प्रयत्न करूया:
   
   (3x + 4) (x - 2)
   आता आमचे सी संज्ञा (4 * 2 = 8) आणि तरीही ठीक आहे, परंतु बाह्य / अंतर्गत उत्पादने -6x आणि 4x आहेत. जेव्हा आपण हे एकत्र करतो तेव्हा आपल्याला मिळते:
   
   -6x + 4x = 2x
   2x 2 -2x आता आपल्यास 2x च्या जवळ जायचे आहे जेथे आपण होऊ इच्छित आहोत, परंतु अद्याप चिन्ह योग्य नाही.
9. आवश्यक असल्यास आपल्या वर्णांची दोनदा तपासणी करा. आम्ही हा ऑर्डर ठेवतो, परंतु त्यास वजा चिन्हासह अदलाबदल करतो:
   
   (3x - 4) (x + 2)
   आता सी संज्ञा अद्याप ठीक आहे आणि बाह्य / अंतर्गत उत्पादने आता (6x) आणि (-4x) आहेत. कारण:
   
   6 एक्स - 4 एक्स = 2 एक्स
   2x = 2x मूळ समस्येपासून आता सकारात्मक 2x मागे पाहतो. हे योग्य घटक असणे आवश्यक आहे.

6 पैकी 2 पद्धत: विघटन

ही पद्धत त्यातील सर्व संभाव्य घटक देते अ आणि सी कोणते घटक योग्य आहेत हे शोधण्यासाठी अटी आणि त्यांचा वापर करतात. जर संख्या खूप मोठी असेल किंवा इतर पद्धतींचा अंदाज खूप जास्त वेळ घेणार असेल तर हा मार्ग वापरा. उदाहरणः

6x + 13x + 6

1. गुणाकार अ सह मुदत सी टर्म या उदाहरणात, अ 6 आणि आहे सी देखील आहे 6.
   
   6 * 6 = 36
2. शोध बी घटक आणि चाचणी करून संज्ञा. आम्ही 2 संख्या शोधत आहोत जे घटक आहेत अ * सी , आणि एकत्र बी टर्म (13).
   
   4 * 9 = 36
   4 + 9 = 13
3. आपल्या समीकरणात मिळणा two्या दोन क्रमांकाची बेरीज म्हणून बदला बी टर्म चला के आणि एच आमच्याकडे असलेल्या 2 नंबरचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी, 4 आणि 9:
   
   ax + kx + hx + c
   6x + 4x + 9x + 6
4. गटबद्ध करून बहुपदी फॅक्टर. समीकरण आयोजित करा जेणेकरुन आपण पहिल्या दोन संज्ञांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आणि शेवटच्या दोन अटी विभक्त करू शकाल. दोन्ही घटक एकसारखे असले पाहिजेत. एकत्रितपणे जीजीडी जोडा आणि त्यांना घटकांच्या पुढे कंसात ठेवा; परिणामी आपल्याला दोन घटक मिळतात:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
   (2x + 3) (3x + 2)

6 पैकी 3 पद्धत: ट्रिपल प्ले

विघटन पध्दतीप्रमाणेच. "ट्रिपल प्ले" पद्धत उत्पादन च्या संभाव्य घटकांची तपासणी करते अ आणि सी आणि काय शोधण्यासाठी याचा वापर करा बी असणे आवश्यक आहे. उदाहरण म्हणून समीकरण घ्या:

8x + 10x + 2

1. गुणाकार अ सह मुदत सी टर्म विघटन पध्दतीप्रमाणेच, आम्ही उमेदवारांसाठी उमेदवार निश्चित करण्यासाठी याचा वापर करतो बी टर्म या उदाहरणातः अ 8 आणि आहे सी 2 आहे.
   
   8 * 2 = 16
2. उत्पादन म्हणून या क्रमांकासह 2 संख्या शोधा आणि समान संख्येसह बी टर्म ही चरण विघटन पध्दतीप्रमाणेच आहे - आम्ही स्थिर उमेदवारांच्या परीक्षांची परीक्षा घेतो. च्या उत्पादन अ आणि सी अटी 16 आहेत आणि सी मुदत 10 आहे:
   
   2 * 8 = 16
   8 + 2 = 10
3. हे 2 संख्या घ्या आणि त्यांना "ट्रिपल प्ले" फॉर्म्युलामध्ये बदला. मागील चरणातील 2 संख्या घ्या - चला त्यांना मिळवूया एच आणि के त्यांना कॉल करा - आणि अभिव्यक्तीमध्ये ठेवा:
   
   ((ax + h) (ax + k)) / a
   
   यासह आम्हाला मिळते:
   
   ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. प्रत्येक दोन पदांपैकी कोणत्या संज्ञा पूर्णपणे विभाजित केल्या जाऊ शकतात ते पहा अ. या उदाहरणात, (8x + 8) किंवा (8x + 2) 8 ने विभाजित केले जाऊ शकते की नाही हे आपण पहात आहोत (8x + 8) 8 ने विभाज्य आहे, म्हणून आम्ही या संज्ञेचे विभाजन करून अ आणि आम्ही इतर प्रभावित न करता सोडून.
   
   (8x + 8) = 8 (x + 1)
   आपण येथे ठेवलेला शब्द म्हणजे विभाजनानंतरही उरतो अ संज्ञा: (x + 1)
5. शक्य असल्यास एकतर किंवा दोन्ही अटींमधून सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (जीसीडी) घ्या. या उदाहरणात आम्ही पाहतो की द्वितीय टर्म 2 ची gcd आहे, कारण 8x + 2 = 2 (4x + 1). आपण मागील चरणात शोधलेल्या संज्ञासह हे उत्तर एकत्र करा. हे आपल्या तुलनाचे घटक आहेत.
   
   2 (x + 1) (4x + 1)

6 पैकी 4 पद्धत: दोन चौरसांमधील फरक

बहुपदीच्या काही गुणांकांना आपण "स्क्वेअर" म्हणून किंवा 2 समान संख्येचे उत्पादन म्हणून ओळखू शकता. कोणते वर्ग आहेत हे शोधून काढल्याने आपण बहुपत्नीयांवर अधिक जलद घटक बनविण्यास सक्षम होऊ शकता. आम्ही हे समीकरण घेऊ:

27x - 12 = 0

1. शक्य असल्यास जीसीडी समीकरणातून काढा. या प्रकरणात आम्ही पाहतो की 27 आणि 12 हे दोघेही 3 ने विभाजित आहेत, म्हणून आम्ही त्या स्वतंत्रपणे ठेवू शकतो:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4)
2. आपल्या समीकरणाचे गुणांक चौरस आहेत की नाही ते निश्चित करा. ही पद्धत वापरण्यासाठी अटींचे मूळ निश्चित करणे आवश्यक आहे. (लक्षात ठेवा आम्ही उणे चिन्ह वगळले आहेत - ही संख्या चौरस असल्याने ते 2 नकारात्मक संख्येचे उत्पादन असू शकतात)
   
   9x = 3x * 3x आणि 4 = 2 * 2
3. आपण निर्धारित केलेले स्क्वेअर रूट वापरुन, आता आपण घटक लिहू शकता. आम्ही घेतो अ आणि सी मागील चरणातील मूल्ये: अ = 9 आणि सी = 4, म्हणून याची मुळे: - √अ = 3 आणि √सी = 2. हे घटकबद्ध अभिव्यक्तिंचे गुणांक आहेत:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

6 पैकी 5 पद्धत: एबीसी सूत्र

काहीही कार्य करत नसल्यास आणि आपण हे समीकरण सोडवू शकत नसल्यास, Abc सूत्र वापरा. खालील उदाहरण घ्या:

x + 4x + 1 = 0

1. एबीसी सूत्रात संबंधित मूल्ये प्रविष्ट करा:
   
   x = -b ± √ (बी - 4 एसी)
         ---------------------
   2 ए
   आम्हाला आता अभिव्यक्ती मिळाली:
   
   x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
2. X साठी सोडवा. आपल्याला आता x साठी 2 मूल्ये मिळतील. हे आहेतः
   
   
   x = -2 + √ (3) किंवा x = -2 - √ (3)
3. घटक निश्चित करण्यासाठी x ची मूल्ये वापरा. दोन समीकरणांत मिळविलेले एक्स मूल्ये स्थिर म्हणून प्रविष्ट करा. हे आपले घटक आहेत. जर आम्ही दोघांना उत्तर दिले तर एच आणि के आम्ही खालीलप्रमाणे दोन घटक लिहितो:
   
   (x - एच) (x - के)
   या प्रकरणात, अंतिम उत्तर असे आहे:
   
   (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6 पैकी 6 पद्धत: कॅल्क्युलेटर वापरणे

जर ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर वापरण्यास (किंवा अनिवार्य) परवानगी असेल तर हे फॅक्टरिंग बरेच सोपे करते, विशेषत: परीक्षा आणि परीक्षांसाठी. टीआय ग्राफिंग कॅल्क्युलेटरसाठी खालील सूचना आहेत. आम्ही उदाहरणातील समीकरण वापरतो:

y = x - x - 2

1. आपल्या कॅल्क्युलेटरमध्ये समीकरण प्रविष्ट करा. आपण समीकरण सॉल्व्हर वापरत आहात, ज्याला [Y =] स्क्रीन देखील म्हटले जाते.
2. कॅल्क्युलेटर सह समीकरण आलेख. एकदा आपण समीकरण प्रविष्ट केल्यानंतर, [ग्राफ] दाबा - आपण आता आपल्यास समीकरण दर्शविण्यासारखे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व म्हणून एक वक्र रेखा, एक पॅराबोला दिसावा (आणि तो एक पॅराबोला आहे कारण आम्ही बहुपत्नीय व्यवहार करीत आहोत).
3. पॅराबोला x अक्षाने कोठे काटते ते शोधा. चौरस समीकरण पारंपारिकपणे ax + bx + c = 0 असे लिहिलेले असल्याने ही दोन एक्स मूल्ये समीकरणास शून्य बनवितात:
   
   (-1, 0), (2 , 0)
   x = -1, x = 2
   • पॅराबोलाला एक्स-अक्षाने कोठे मार्गे ते आपण पाहू शकत नसल्यास, [2] आणि नंतर [TRACE] दाबा. [2] दाबा किंवा "शून्य" निवडा. छेदनव्याच्या डावीकडे कर्सर हलवा आणि [ENTER] दाबा. चौरसाच्या उजवीकडे कर्सर हलवा आणि [ENTER] दाबा. कर्सर शक्य तितक्या छेदनबिंदूच्या अगदी जवळ हलवा आणि [ENTER] दाबा. कॅल्क्युलेटर x मूल्य दर्शवेल. दुसर्‍या छेदनबिंदूसाठी देखील हे करा.
4. आपण दोन फॅक्टरर्ड अभिव्यक्तींमध्ये प्राप्त केलेले x मूल्य प्रविष्ट करा. जर आपण दोन एक्स मूल्ये घेतली तर एच आणि के संज्ञा म्हणून, आपण वापरलेली अभिव्यक्ती असे दिसते:
   
   (x - एच) (x - के) = 0
   तर मग आमची दोन घटकं:
   
   (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

टिपा

• जर आपण एबीसी सूत्रानुसार बहुपत्नीय बनविला असेल आणि आपल्या उत्तरामध्ये मूळ असेल तर आपण ते तपासण्यासाठी एक्स व्हॅल्यूजला अपूर्णांकात रूपांतरित करू शकता.
• संज्ञापूर्वी संज्ञेचा गुणांक नसल्यास, गुणांक 1 बरोबर असेल, उदाहरणार्थ x = 1x.
• आपल्याकडे टीआय-84 calc कॅल्क्युलेटर असल्यास, तेथे सोलव्हर नावाचा एक प्रोग्राम आहे जो आपल्यासाठी चतुष्कोणीय समीकरण सोडवू शकतो. हे उच्च पदवी बहुपदांचे निराकरण देखील करते.
• बर्‍याच सरावानंतर, अंततः आपण मनापासून बहुपत्नीचे निराकरण करण्यास सक्षम व्हाल. परंतु सुरक्षित बाजूकडे असणे नेहमीच त्यांना लिहून ठेवणे चांगले.
• संज्ञा नसल्यास, गुणांक शून्य आहे. नंतर हे समीकरण पुन्हा लिहिणे उपयुक्त ठरेल. उदा. x + 6 = x + 0x + 6.

चेतावणी

• जर आपण ही संकल्पना गणिताच्या वर्गात शिकत असाल तर शिक्षक काय स्पष्टीकरण देत आहे त्याकडे लक्ष द्या आणि फक्त आपली स्वतःची आवडती पद्धत वापरू नका. आपल्याला चाचणीसाठी एक विशिष्ट पद्धत वापरण्यास सांगितले जाऊ शकते, किंवा ग्राफिंग कॅल्क्युलेटरला परवानगी नाही.

गरजा

• पेन्सिल
• कागद
• चतुर्भुज समीकरण (ज्याला द्वितीय डिग्री समीकरण देखील म्हटले जाते)
• ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर (पर्यायी)