सामग्री

• पावले
• 2 पैकी 1 भाग: मुख्य घटक शोधणे
• 2 पैकी 2 भाग: प्राइम फॅक्टर वापरणे
• कार्यांची उदाहरणे
• टिपा
• चेतावणी

कोणतीही नैसर्गिक संख्या मुख्य घटकांच्या उत्पादनात विघटित होऊ शकते. तुम्हाला 5733 सारख्या मोठ्या संख्येने व्यवहार करणे आवडत नसल्यास, त्यांना कसे कारक करावे ते शिका (या प्रकरणात, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). एक समान कार्य सहसा क्रिप्टोग्राफीमध्ये येते, जे माहिती सुरक्षा समस्यांशी संबंधित आहे. आपण अद्याप आपली स्वतःची सुरक्षित ईमेल प्रणाली तयार करण्यास तयार नसल्यास, प्रथम संख्या कशी ठरवायची ते जाणून घ्या.

पावले

2 पैकी 1 भाग: मुख्य घटक शोधणे

1. 1 फॅक्टरिंग म्हणजे काय ते जाणून घ्या. घटकांच्या उत्पादनात संख्येचे विघटन करणे म्हणजे ते लहान भागांमध्ये "विभाजित" करण्याची प्रक्रिया आहे.जेव्हा गुणाकार केला जातो तेव्हा हे भाग किंवा घटक मूळ संख्या देतात.
   • उदाहरणार्थ, 18 क्रमांक खालील उत्पादनांमध्ये विघटित केला जाऊ शकतो: 1 x 18, 2 x 9, किंवा 3 x 6.
2. 2 मुख्य संख्या काय आहेत ते लक्षात ठेवा. एक अभाज्य संख्या उर्वरित न राहता फक्त दोन संख्यांनी विभागली जाऊ शकते: स्वतः आणि 1. द्वारे. उदाहरणार्थ, 5 ही संख्या 5 आणि 1 चे उत्पादन म्हणून दर्शविली जाऊ शकते. ही संख्या इतर घटकांमध्ये विघटित केली जाऊ शकत नाही. एखाद्या संख्येला अभाज्य घटकांमध्ये गुणन करण्याचा हेतू हा मुख्य संख्यांचे उत्पादन म्हणून त्याचे प्रतिनिधित्व करणे आहे. अपूर्णांक हाताळताना हे विशेषतः उपयुक्त आहे, कारण ते आपल्याला त्यांची तुलना आणि सरलीकृत करण्याची परवानगी देते.
3. 3 मूळ क्रमांकासह प्रारंभ करा. 3 पेक्षा मोठी संमिश्र संख्या निवडा. त्याला एक अभाज्य संख्या घेण्यास काहीच अर्थ नाही, कारण ती केवळ स्वतः आणि एकाने विभाजित आहे.
   • उदाहरण: मूळ संख्यांच्या उत्पादनात 24 क्रमांकाचे विघटन करू.
4. 4 चला ही संख्या दोन घटकांच्या गुणाकारात विभाजित करू. दोन लहान संख्या शोधा ज्यांचे उत्पादन मूळ संख्येच्या बरोबरीचे आहे. कोणताही घटक वापरला जाऊ शकतो, परंतु मूळ संख्या घेणे सोपे आहे. एक चांगला मार्ग म्हणजे मूळ संख्येला आधी 2 ने, नंतर 3 ने, नंतर 5 ने विभाजित करण्याचा प्रयत्न करा आणि यापैकी कोणती प्राइम उर्वरित न करता विभाजित करते ते तपासा.
   • उदाहरण: जर तुम्हाला 24 साठीचे घटक माहीत नसतील, तर ते लहान भागांद्वारे विभाजित करण्याचा प्रयत्न करा. तर तुम्हाला दिसेल की दिलेली संख्या 2: 24 = ने विभाज्य आहे 2 x 12... ही एक चांगली सुरुवात आहे.
   • 2 ही एक अभाज्य संख्या असल्याने, सम संख्यांचे गुणन करताना त्याचा वापर करणे चांगले आहे.
5. 5 गुणक वृक्ष बांधणे सुरू करा. ही सोपी प्रक्रिया आपल्याला संख्या काढण्यास मदत करेल. सुरुवातीला, मूळ संख्येपासून दोन "शाखा" खाली काढा. प्रत्येक शाखेच्या शेवटी, सापडलेले घटक लिहा.
   • उदाहरण:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 संख्यांच्या पुढील पंक्तीला कारक करा. दोन नवीन संख्या (गुणक वृक्षाची दुसरी पंक्ती) पहा. ते दोन्ही प्राइम नंबर आहेत का? जर त्यापैकी एक सोपा नसेल तर त्याला दोन घटकांद्वारे देखील कारक करा. आणखी दोन फांद्या बनवा आणि झाडाच्या तिसऱ्या ओळीत दोन नवीन घटक लिहा.
   • उदाहरण: 12 ही अभाज्य संख्या नाही, म्हणून ती गुणांकित केली पाहिजे. 12 = 2 x 6 विघटन वापरा आणि ते झाडाच्या तिसऱ्या ओळीत लिहा:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 झाडाच्या खाली चालू ठेवा. जर नवीन घटकांपैकी एक मुख्य संख्या ठरला, तर त्यातून एक "शाखा" काढा आणि तीच संख्या त्याच्या शेवटी लिहा. प्राइम नंबर लहान घटकांमध्ये विस्तारित केले जाऊ शकत नाहीत, म्हणून त्यांना फक्त एक पातळी खाली हलवा.
   • उदाहरण: 2 हा अभाज्य आहे. फक्त दुसऱ्यापासून तिसऱ्या ओळीवर 2 हलवा:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 जोपर्यंत तुमच्याकडे फक्त मूळ संख्या शिल्लक नाहीत तोपर्यंत संख्यांचे गुणन सुरू ठेवा. झाडाची प्रत्येक नवीन ओळ तपासा. जर नवीन घटकांपैकी किमान एक अभाज्य संख्या नसेल, तर त्याला गुणन करा आणि नवीन ओळ लिहा. सरतेशेवटी, तुमच्याकडे फक्त मूळ संख्या शिल्लक राहतील.
   • उदाहरण: 6 ही एक अभाज्य संख्या नाही, म्हणून ती देखील गुणांकित केली पाहिजे. त्याच वेळी, 2 ही एक अभाज्य संख्या आहे आणि आम्ही दोन दोन पुढील स्तरावर नेतो:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 मुख्य घटकांचे उत्पादन म्हणून शेवटची ओळ लिहा. सरतेशेवटी, आपल्याकडे फक्त मूळ संख्या शिल्लक राहतील. जेव्हा हे घडते, तेव्हा मुख्य घटक पूर्ण होतो. शेवटची ओळ प्राइम्सचा एक संच आहे, ज्याचे उत्पादन मूळ संख्या देते.
   • तुमचे उत्तर तपासा: शेवटच्या ओळीतील संख्या गुणाकार करा. परिणाम मूळ संख्या असावा.
   • उदाहरण: गुणक वृक्षाच्या शेवटच्या पंक्तीमध्ये 2 आणि 3 संख्या आहेत. या दोन्ही संख्या अभाज्य आहेत, त्यामुळे विघटन पूर्ण झाले आहे. अशाप्रकारे, 24 चे प्राइम फॅक्टरायझेशनचे खालील स्वरूप आहे: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • घटकांचा क्रम काही फरक पडत नाही. विघटन 2 x 3 x 2 x 2 असेही लिहिले जाऊ शकते.
10. 10 इच्छित असल्यास, घातांकित नोटेशन वापरून आपले उत्तर सुलभ करा. जर तुम्ही संख्यांच्या घातांशी परिचित असाल तर तुम्ही उत्तर सोप्या स्वरूपात लिहू शकता.लक्षात ठेवा की पाया तळाशी लिहिलेला आहे आणि सुपरस्क्रिप्ट संख्या दर्शवते की हा आधार स्वतः किती वेळा गुणाकार केला पाहिजे.
    • उदाहरण: सापडलेल्या विघटन 2 x 2 x 2 x 3 मध्ये संख्या 2 किती वेळा येते? तीन वेळा, म्हणून 2 x 2 x 2 ही अभिव्यक्ती 2 म्हणून लिहिली जाऊ शकते. सरलीकृत नोटेशनमध्ये, आपल्याला मिळते 2 x 3.

2 पैकी 2 भाग: प्राइम फॅक्टर वापरणे

1. 1 दोन संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधा. दोन संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (GCD) ही जास्तीत जास्त संख्या आहे ज्याद्वारे दोन्ही संख्या उर्वरित न करता विभाजित होतात. खालील उदाहरण दाखवते की 30 आणि 36 चे सर्वात मोठे सामान्य विभाजक शोधण्यासाठी प्राइम फॅक्टरलायझेशन कसे वापरावे.
   • चला दोन्ही संख्यांना अभाज्य घटकांमध्ये गुणन करू. 30 साठी, गुणन 2x 3 x 5. आहे. 36 ही संख्या खालीलप्रमाणे मुख्य घटकांमध्ये विघटित होते: 2 x 2 x 3 x 3.
   • दोन्ही विस्तारांमध्ये येणारी संख्या शोधूया. चला हा क्रमांक दोन्ही याद्यांमध्ये क्रॉस करू आणि नवीन ओळीवर लिहू. उदाहरणार्थ, 2 दोन विस्तारांमध्ये उद्भवते, म्हणून आम्ही लिहितो 2 नवीन ओळीवर. त्यानंतर, आमच्याकडे 30 = आहे 2 x 3 x 5 आणि 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • विस्तारात कोणतेही सामान्य घटक शिल्लक नाहीत तोपर्यंत ही पायरी पुन्हा करा. दोन्ही याद्यांमध्ये 3 क्रमांक देखील समाविष्ट आहे, म्हणून नवीन ओळीवर आपण लिहू शकता 2 आणि 3... नंतर विस्तारांची पुन्हा तुलना करा: 30 = 2 x 3 x 5 आणि 36 = 2 x 2 x 3 x 3. जसे आपण पाहू शकता, त्यामध्ये कोणतेही सामान्य घटक शिल्लक नाहीत.
   • सर्वात मोठा सामान्य घटक शोधण्यासाठी, सर्व सामान्य घटकांचे उत्पादन शोधा. आमच्या उदाहरणात, हे 2 आणि 3 आहेत, म्हणून gcd 2 x 3 = आहे 6... ही सर्वात मोठी संख्या आहे जी 30 आणि 36 संख्या समान प्रमाणात विभाजित करते.
2. 2 GCD च्या मदतीने, तुम्ही अपूर्णांक सोपे करू शकता. अपूर्णांक रद्द केला जाऊ शकतो अशी आपल्याला शंका असल्यास, सर्वात मोठा सामान्य घटक वापरा. वरील प्रक्रिया वापरून अंश आणि भाजकाचा GCD शोधा. नंतर अपूर्णांकाचे अंश आणि भाजक त्या संख्येने विभाजित करा. परिणामी, तुम्हाला समान अंश सोप्या स्वरूपात मिळेल.
   • उदाहरणार्थ, अपूर्णांक सरलीकृत करूया /₃₆... आम्ही वर म्हटल्याप्रमाणे, 30 आणि 36 साठी, GCD 6 आहे, म्हणून आम्ही अंश आणि भाजकाला 6 ने विभाजित करतो:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 दोन संख्यांचे किमान सामान्य गुणक शोधा. दोन संख्यांची सर्वात कमी सामान्य बहु (LCM) ही सर्वात लहान संख्या आहे जी दोन्ही संख्यांनी समान प्रमाणात विभाजित आहे. उदाहरणार्थ, 2 आणि 3 चे LCM 6 आहे कारण ही सर्वात लहान संख्या आहे जी 2 आणि 3 ने विभाजित केली जाऊ शकते. खाली प्राइम फॅक्टरलायझेशन वापरून LCM शोधण्याचे उदाहरण आहे:
   • चला दोन मुख्य घटकांसह प्रारंभ करूया. उदाहरणार्थ, 126 साठी, गुणन 2x 3 x 3 x 7. असे लिहिले जाऊ शकते. 84 संख्या 2 x 2 x 3 x 7 म्हणून मुख्य घटकांमध्ये विघटित केली जाऊ शकते.
   • विस्तारांमध्ये प्रत्येक घटक किती वेळा येतो याची तुलना करूया. ज्या ठिकाणी गुणक जास्तीत जास्त वेळा येतो ती सूची निवडा आणि या ठिकाणी वर्तुळाकार करा. उदाहरणार्थ, 2 क्रमांक 126 च्या विस्तारात एकदा आणि 84 साठी सूचीमध्ये दोनदा दिसतो, म्हणून तुम्ही वर्तुळ केले पाहिजे 2 x 2 घटकांच्या दुसऱ्या यादीमध्ये.
   • प्रत्येक गुणकासाठी ही पायरी पुन्हा करा. उदाहरणार्थ, पहिल्या विस्तारात 3 अधिक सामान्य आहे, म्हणून आपण त्यामध्ये वर्तुळ केले पाहिजे 3 x 3... दोन्ही यादींमध्ये 7 क्रमांक एकदा दिसतो, म्हणून आम्ही वर्तुळ करतो 7 (दिलेल्या यादीमध्ये दोन्ही घटक समान संख्येने आढळल्यास कोणत्या यादीत फरक पडत नाही).
   • LCM शोधण्यासाठी, वर्तुळाकार सर्व संख्या गुणाकार करा. आमच्या उदाहरणात, 126 आणि 84 चे किमान सामान्य गुणक आहे 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... ही सर्वात लहान संख्या आहे जी 126 आणि 84 ने भागाशिवाय शिल्लक आहे.
4. 4 अपूर्णांक जोडण्यासाठी LCM वापरा. दोन अपूर्णांक जोडताना, त्यांना एका सामान्य भागामध्ये आणणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, दोन संप्रदायांचे LCM शोधा. नंतर प्रत्येक अपूर्णांकाच्या अंश आणि भाज्याला अशा संख्येने गुणाकार करा की अपूर्णांकांचे भाजक LCM च्या बरोबरीचे आहेत. त्यानंतर, आपण अपूर्णांक जोडू शकता.
   • उदाहरणार्थ, आपल्याला रक्कम शोधण्याची आवश्यकता आहे /₆ + /₂₁.
   • वरील पद्धतीचा वापर करून, तुम्ही 6 आणि 21 साठी LCM शोधू शकता. ते 42 आहे.
   • आम्ही अंश बदलतो /₆ जेणेकरून त्याचा भाजक 42 आहे. हे करण्यासाठी, तुम्हाला 42 ने 6: 42 ÷ 6 = 7. विभाजित करणे आवश्यक आहे. आता अपूर्णांकाच्या अंश आणि भाज्याला 7:₆ x /₇ = /₄₂.
   • दुसरे अपूर्णांक भाज्या 42 ला आणण्यासाठी, 42 ला 21: 42 ÷ 21 = 2 ने विभाजित करा, अपूर्णांकाच्या अंश आणि भागाला 2 ने गुणाकार करा: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
   • अपूर्णांक समान भागामध्ये कमी केल्यानंतर, ते सहजपणे जोडले जाऊ शकतात: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

कार्यांची उदाहरणे

• स्वतः खालील समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न करा.तुम्हाला योग्य उत्तर मिळाले आहे असे तुम्हाला वाटत असल्यास, समस्या विधानात कोलन नंतरची जागा माउसने हायलाइट करा. नंतरची कामे सर्वात कठीण आहेत.
• 16: 2 x 2 x 2 x 2 साठी प्राइम फॅक्टरिझेशन शोधा
• आपले उत्तर घातांक स्वरूपात लिहा: 2
• 45: 3 x 3 x 5 चे मुख्य गुणनखंड शोधा
• आपले उत्तर घातांक स्वरूपात लिहा: 3 x 5
• 34: 2 x 17 साठी मुख्य गुणनखंड शोधा
• 154: 2 x 7 x 11 चे मुख्य गुणनखंड शोधा
• 8 आणि 40 साठी प्राइम फॅक्टरायझेशन शोधा आणि नंतर त्यांचे सर्वात मोठे सामान्य घटक ठरवा: 8 चे प्राइम फॅक्टरायझेशन 2 x 2 x 2 x 2 आहे; 40 चे मुख्य गुणन 2 x 2 x 2 x 5 आहे; 2 x 2 x 2 = 6 या दोन संख्यांचा GCD.
• 18 आणि 52 साठी प्राइम फॅक्टरायझेशन शोधा आणि त्यांचे किमान सामान्य गुणक शोधा: 18 चे प्राइम फॅक्टरायझेशन 2 x 3 x 3 आहे; 52 चे मुख्य गुणन 2 x 2 x 13 आहे; दोन संख्यांचे LCM 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468 आहे.

टिपा

• प्रत्येक संख्येचे वैशिष्ट्यपूर्ण वैशिष्ट्य आहे. आपल्याला हा विस्तार कसा सापडला हे महत्त्वाचे नाही, आपण त्याच उत्तराने समाप्त केले पाहिजे. याला अंकगणिताचे मूलभूत प्रमेय म्हणतात.
• प्रत्येक वेळी फॅक्टर ट्रीच्या नवीन ओळीवर मुख्य संख्या पुन्हा लिहिण्याऐवजी, आपण त्यांना त्या जागी सोडू शकता आणि त्यांना फक्त वर्तुळ करू शकता. विस्ताराच्या शेवटी, त्यात सर्व वर्तुळाकार मुख्य घटकांचा समावेश असेल.
• आपल्याला मिळालेले उत्तर नेहमी तपासा. आपण चूक करू शकता आणि ते लक्षात घेत नाही.
• अवघड मोहिमांसाठी सज्ज व्हा. जर तुम्हाला प्राइम नंबरचे प्राइम फॅक्टरिझेशन शोधण्यास सांगितले गेले तर कोणतीही गणना करण्याची गरज नाही. उदाहरणार्थ, 17 क्रमांकासाठी, मुख्य घटक 17 आहे; ही संख्या इतर मुख्य घटकांमध्ये विघटित केली जाऊ शकत नाही.
• सर्वात मोठा सामान्य घटक आणि कमीतकमी सामान्य गुणक तीन किंवा अधिक संख्येसाठी आढळू शकतात.

चेतावणी

• गुणक वृक्ष आपल्याला केवळ मुख्य घटक ठरविण्याची परवानगी देतो, सर्व संभाव्य घटक नाही.