लेखक:
Virginia Floyd
निर्मितीची तारीख:
9 ऑगस्ट 2021
अद्यतन तारीख:
1 जुलै 2024
सामग्री
Ax + bx + c किंवा a (x - h) + k या चतुर्भुज समीकरणाचा आलेख एक परवलय (U- आकाराचा वक्र) आहे. असे समीकरण तयार करण्यासाठी, आपल्याला पॅराबोलाचे शिरोबिंदू, त्याची दिशा आणि X आणि Y अक्षांसह छेदनबिंदू शोधणे आवश्यक आहे. जर आपल्याला तुलनेने सोपे चतुर्भुज समीकरण दिले गेले असेल तर आपण "x" चे वेगवेगळे मूल्य बदलू शकता "त्यात," y "ची संबंधित मूल्ये शोधा आणि आलेख तयार करा ...
पावले
1 चतुर्भुज समीकरण मानक स्वरूपात आणि अ-मानक स्वरूपात लिहिले जाऊ शकते. चतुर्भुज समीकरण प्लॉट करण्यासाठी आपण कोणत्याही प्रकारचे समीकरण वापरू शकता (प्लॉटिंग पद्धत थोडी वेगळी आहे). नियमानुसार, समस्यांमध्ये, चतुर्भुज समीकरणे प्रमाणित स्वरूपात दिली जातात, परंतु हा लेख तुम्हाला चतुर्भुज समीकरण लिहिण्याच्या दोन्ही प्रकारांबद्दल सांगेल. - मानक फॉर्म: f (x) = ax + bx + c, जेथे a, b, c वास्तविक संख्या आणि a ≠ 0 आहेत.
- उदाहरणार्थ, मानक स्वरूपाची दोन समीकरणे: f (x) = x + 2x + 1 आणि f (x) = 9x + 10x -8.
- नॉन -स्टँडर्ड फॉर्म: f (x) = a (x - h) + k, जिथे a, h, k वास्तविक संख्या आहेत आणि a ≠ 0.
- उदाहरणार्थ, नॉन -स्टँडर्ड फॉर्मची दोन समीकरणे: f (x) = 9 (x - 4) + 18 आणि -3 (x - 5) + 1.
- कोणत्याही प्रकारचे चतुर्भुज समीकरण तयार करण्यासाठी, आपल्याला प्रथम पॅराबोलाचे शिरोबिंदू शोधणे आवश्यक आहे, ज्यामध्ये निर्देशांक (h, k) आहेत. मानक फॉर्मच्या समीकरणांमध्ये पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक सूत्रांद्वारे मोजले जातात: h = -b / 2a आणि k = f (h); नॉन-स्टँडर्ड फॉर्मच्या समीकरणांमध्ये पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक थेट समीकरणांमधून मिळवता येतात.
- मानक फॉर्म: f (x) = ax + bx + c, जेथे a, b, c वास्तविक संख्या आणि a ≠ 0 आहेत.
2 आलेख तयार करण्यासाठी, आपल्याला गुणांक a, b, c (किंवा a, h, k) ची संख्यात्मक मूल्ये शोधणे आवश्यक आहे. बहुतेक समस्यांमध्ये, गुणांकांच्या संख्यात्मक मूल्यांसह चतुर्भुज समीकरणे दिली जातात. - उदाहरणार्थ, मानक समीकरणात f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
- उदाहरणार्थ, नॉन -स्टँडर्ड समीकरणात f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3 सूत्र वापरून मानक समीकरणात (नॉन-स्टँडर्डमध्ये ते आधीच दिलेले आहे) h ची गणना करा: h = -b / 2a. - आमच्या मानक समीकरण उदाहरणात, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
- आमच्या मानक नसलेल्या समीकरणाच्या उदाहरणात, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4 मानक समीकरणात k ची गणना करा (नॉन-स्टँडर्डमध्ये ती आधीच दिली आहे). लक्षात ठेवा की k = f (h), म्हणजेच मूळ समीकरणात "x" ऐवजी h चे सापडलेले मूल्य बदलून तुम्ही k शोधू शकता. - तुम्हाला आढळले की h = -4 (मानक समीकरणासाठी). K ची गणना करण्यासाठी, हे मूल्य "x" साठी बदला:
- k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
- k = 2 (16) - 64 + 39.
- k = 32 - 64 + 39 = 7
- नॉन-स्टँडर्ड समीकरणात, के = 12.
- तुम्हाला आढळले की h = -4 (मानक समीकरणासाठी). K ची गणना करण्यासाठी, हे मूल्य "x" साठी बदला:
5 कोऑर्डिनेट प्लेनवर निर्देशांक (h, k) सह एक शिरोबिंदू काढा. h हे X- अक्षाच्या बाजूने प्लॉट केले जाते आणि k हे Y- अक्षाच्या बाजूने प्लॉट केले जाते. पॅराबोलाचा वरचा भाग एकतर सर्वात कमी बिंदू असतो (जर पॅराबोला वर दिशेला असेल तर) किंवा सर्वोच्च बिंदू (जर पॅराबोला खाली निर्देशित करत असेल तर). - आमच्या मानक समीकरण उदाहरणामध्ये, शिरोबिंदूमध्ये निर्देशांक (-4, 7) असतात. हा बिंदू कोऑर्डिनेट प्लेनवर काढा.
- आमच्या सानुकूल समीकरणाच्या उदाहरणात, शिरोबिंदूमध्ये निर्देशांक (5, 12) असतात. हा बिंदू कोऑर्डिनेट प्लेनवर काढा.
6 पॅराबोला (पर्यायी) च्या सममितीचा अक्ष काढा. सममितीचा अक्ष पॅराबोलाच्या शिखरावरून Y अक्ष समांतर जातो (म्हणजे काटेकोरपणे उभा). सममितीचा अक्ष पॅराबोला अर्ध्या भागामध्ये विभागतो (म्हणजेच, पॅराबोला या अक्षाबद्दल आरसा-सममितीय आहे). - आमच्या उदाहरण मानक समीकरणात, सममितीचा अक्ष हा Y अक्षाच्या समांतर सरळ रेषा आहे आणि बिंदू (-4, 7) मधून जातो. जरी ही रेषा स्वतः पॅराबोलाचा भाग नसली तरी त्यातून पॅराबोलाच्या सममितीची कल्पना येते.
7 पॅराबोलाची दिशा ठरवा - वर किंवा खाली. हे करणे खूप सोपे आहे.जर गुणांक "अ" सकारात्मक असेल तर परवलय वरच्या दिशेने निर्देशित केले जाते आणि जर गुणांक "अ" नकारात्मक असेल तर परवलय खाली निर्देशित केले जाते. - आमच्या मानक समीकरणाच्या उदाहरणामध्ये, f (x) = 2x + 16x + 39, a = 2 (सकारात्मक गुणांक) असल्याने, पॅराबोला वर निर्देश करत आहे.
- आमच्या नॉन -स्टँडर्ड समीकरणाच्या f (x) = 4 (x - 5) + 12 मध्ये, पॅराबोला देखील वरच्या दिशेने निर्देशित केले आहे, कारण a = 4 (सकारात्मक गुणांक).
8 आवश्यक असल्यास, एक्स-इंटरसेप्ट शोधा आणि प्लॉट करा. पॅराबोला काढताना हे मुद्दे तुम्हाला खूप मदत करतील. दोन, एक किंवा काहीही असू शकतात (जर पॅराबोला वरच्या दिशेने निर्देशित केले गेले असेल आणि त्याचा शिरोबिंदू एक्स-अक्ष वर असेल किंवा पॅराबोला खाली दिशेने निर्देशित केला असेल आणि त्याचा शिरोबिंदू एक्स-अक्षाच्या खाली असेल). X-axis सह छेदनबिंदूच्या निर्देशांकांची गणना करण्यासाठी, खालील गोष्टी करा: - शून्यावर समीकरण सेट करा: f (x) = 0 आणि त्याचे निराकरण करा. ही पद्धत साध्या चतुर्भुज समीकरणांसह (विशेषतः गैर-मानक) कार्य करते, परंतु जटिल समीकरणांसाठी अत्यंत कठीण असू शकते. आमच्या उदाहरणात:
- f (x) = 4 (x - 12) - 4
- 0 = 4 (x - 12) - 4
- 4 = 4 (x - 12)
- 1 = (x - 12)
- √1 = (x - 12)
- +/- 1 = x -12. एक्स-अक्षासह पॅराबोलाच्या छेदनबिंदूमध्ये निर्देशांक (11,0) आणि (13,0) असतात.
- मानक-फॉर्म चतुर्भुज समीकरणाचा कारक: ax + bx + c = (dx + e) (fx + g), जेथे dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c नंतर प्रत्येक द्विपद 0 वर सेट करा आणि "x" ची मूल्ये शोधा. उदाहरणार्थ:
- x + 2x + 1
- = (x + 1) (x + 1)
- या प्रकरणात, x-axis सह निर्देशांक (-1,0) सह पॅराबोलाच्या छेदनबिंदूचा एकच बिंदू आहे, कारण x + 1 = 0 x = -1 वर.
- जर तुम्ही समीकरण काढू शकत नाही, तर द्विघात सूत्र वापरून त्याचे निराकरण करा: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
- उदाहरणार्थ: -5x + 1x + 10.
- x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
- x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
- x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
- x = (-1 +/- 14.18) /- 10
- x = (13.18 / -10) आणि (-15.18 / -10). X अक्षासह पॅराबोलाच्या छेदनबिंदूमध्ये निर्देशांक (-1,318,0) आणि (1,518,0) असतात.
- आमच्या उदाहरणामध्ये, मानक फॉर्म 2x + 16x + 39 चे समीकरण:
- x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
- x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
- x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
- Numberण संख्येचे वर्गमूळ काढणे अशक्य असल्याने, या प्रकरणात परवलय X- अक्षांना छेदत नाही.
- शून्यावर समीकरण सेट करा: f (x) = 0 आणि त्याचे निराकरण करा. ही पद्धत साध्या चतुर्भुज समीकरणांसह (विशेषतः गैर-मानक) कार्य करते, परंतु जटिल समीकरणांसाठी अत्यंत कठीण असू शकते. आमच्या उदाहरणात:
9 आवश्यकतेनुसार वाय-इंटरसेप्ट शोधा आणि प्लॉट करा. हे खूप सोपे आहे - x = 0 मूळ समीकरणात प्लग करा आणि "y" चे मूल्य शोधा. Y- इंटरसेप्ट नेहमी सारखेच असते. टीप: मानक फॉर्मच्या समीकरणांमध्ये, छेदनबिंदूमध्ये निर्देशांक (0, s) असतात. - उदाहरणार्थ, 2x + 16x + 39 या द्विघात समीकरणाचा पॅराबोला वाय-अक्षाने बिंदूवर निर्देशांक (0, 39) सह छेदतो, कारण c = 39. परंतु याची गणना केली जाऊ शकते:
- f (x) = 2x + 16x + 39
- f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
- f (x) = 39, म्हणजेच या द्विघात समीकरणाचा पॅराबोला Y- अक्ष बिंदूवर निर्देशांक (0, 39) सह छेदतो.
- आमच्या नॉन-स्टँडर्ड समीकरणाच्या उदाहरण 4 (x-5) + 12 मध्ये, y- इंटरसेप्टची गणना खालीलप्रमाणे केली जाते:
- f (x) = 4 (x - 5) + 12
- f (x) = 4 (0 - 5) + 12
- f (x) = 4 (-5) + 12
- f (x) = 4 (25) + 12
- f (x) = 112, म्हणजेच, या चतुर्भुज समीकरणाचा पॅराबोला निर्देशांक (0, 112) असलेल्या बिंदूवर Y- अक्षांना छेदतो.
- उदाहरणार्थ, 2x + 16x + 39 या द्विघात समीकरणाचा पॅराबोला वाय-अक्षाने बिंदूवर निर्देशांक (0, 39) सह छेदतो, कारण c = 39. परंतु याची गणना केली जाऊ शकते:
10 आपल्याला पॅराबोलाचे शिरोबिंदू, त्याची दिशा आणि X आणि Y अक्षांसह छेदनबिंदू सापडले आहेत (आणि प्लॉट केले आहेत). आपण या बिंदूंमधून पॅराबोल तयार करू शकता किंवा अतिरिक्त बिंदू शोधू आणि प्लॉट करू शकता आणि त्यानंतरच पॅराबोला तयार करू शकता. हे करण्यासाठी, संबंधित y मूल्यांची गणना करण्यासाठी मूळ समीकरणात अनेक x मूल्ये (शिरोबिंदूच्या दोन्ही बाजूला) प्लग करा. - X + 2x + 1 या समीकरणाकडे वळू या. तुम्हाला आधीच माहित आहे की X-axis सह या समीकरणाच्या आलेखाचा छेदनबिंदू हा निर्देशांक (-1,0) असलेला बिंदू आहे. जर पॅराबोला X-axis सह छेदनबिंदूचा फक्त एक बिंदू असेल, तर हा X-axis वर पडलेला पॅराबोलाचा शिरोबिंदू आहे.या प्रकरणात, नियमित पॅराबोला तयार करण्यासाठी एक बिंदू पुरेसा नाही. तर काही अतिरिक्त गुण शोधा.
- समजा x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
- x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. बिंदू निर्देशांक: (0,1).
- x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. बिंदू निर्देशांक: (1,4).
- x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. बिंदू निर्देशांक: (-2,1).
- x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. बिंदू निर्देशांक: (-3,4).
- हे बिंदू कोऑर्डिनेट प्लेनवर काढा आणि एक पॅराबोला काढा (U- वक्राने बिंदू जोडा). कृपया लक्षात घ्या की पॅराबोला पूर्णपणे सममितीय आहे - पॅराबोलाच्या एका शाखेवरील कोणताही बिंदू पॅराबोलाच्या इतर शाखेत प्रतिबिंबित केला जाऊ शकतो (सममितीच्या अक्षेशी संबंधित). हे आपला वेळ वाचवेल, कारण आपल्याला पॅराबोलाच्या दोन्ही शाखांवरील बिंदूंच्या समन्वयांची गणना करण्याची आवश्यकता नाही.
- X + 2x + 1 या समीकरणाकडे वळू या. तुम्हाला आधीच माहित आहे की X-axis सह या समीकरणाच्या आलेखाचा छेदनबिंदू हा निर्देशांक (-1,0) असलेला बिंदू आहे. जर पॅराबोला X-axis सह छेदनबिंदूचा फक्त एक बिंदू असेल, तर हा X-axis वर पडलेला पॅराबोलाचा शिरोबिंदू आहे.या प्रकरणात, नियमित पॅराबोला तयार करण्यासाठी एक बिंदू पुरेसा नाही. तर काही अतिरिक्त गुण शोधा.
टिपा
- अपूर्णांक संख्या (जर शिक्षकांची आवश्यकता असेल तर) पूर्ण करा - अशा प्रकारे आपण योग्य परवलय तयार करता.
- जर f (x) = ax + bx + c मध्ये गुणांक b किंवा c शून्याच्या बरोबरीचे असतील तर समीकरणात या गुणांकांसह कोणतेही पद नाहीत.उदाहरणार्थ, 12x + 0x + 6 12x + 6 होते कारण 0x 0 आहे.
