सामग्री

• पावले
• 3 पैकी 1 भाग: झटपट वेग मोजणे
• 3 पैकी 2 भाग: झटपट गतीचा ग्राफिकल अंदाज
• 3 पैकी 3 भाग: उदाहरणे
• टिपा

गती म्हणजे ज्या वेगाने एखादी वस्तू दिलेल्या दिशेने फिरते. सामान्य हेतूंसाठी, ऑब्जेक्ट (v) ची गती शोधणे हे एक साधे काम आहे: तुम्हाला या वेळेपर्यंत (t) एका विशिष्ट वेळी (s) विस्थापन (s) विभाजित करणे आवश्यक आहे, म्हणजेच सूत्र v = s वापरा / ट. तथापि, अशा प्रकारे, शरीराची सरासरी गती प्राप्त होते. काही गणने वापरून, आपण मार्गाच्या कोणत्याही बिंदूवर शरीराची गती शोधू शकता. या गतीला म्हणतात झटपट वेग आणि सूत्रानुसार गणना केली जाते v = (ds) / (dt), म्हणजेच, शरीराच्या सरासरी गतीची गणना करण्यासाठी सूत्राचे व्युत्पन्न आहे.

पावले

3 पैकी 1 भाग: झटपट वेग मोजणे

1. 1 समीकरणाने प्रारंभ करा. तात्कालिक गतीची गणना करण्यासाठी, शरीराच्या हालचालीचे वर्णन करणारे समीकरण जाणून घेणे आवश्यक आहे (एका विशिष्ट क्षणी त्याची स्थिती), म्हणजे, ज्याच्या एका बाजूला असे समीकरण आहे (शरीराची हालचाल), आणि दुसऱ्या बाजूला व्हेरिएबल टी (वेळ) सह अटी आहेत. उदाहरणार्थ:
   

   s = -1.5t + 10t + 4

   
   
   • या समीकरणात:

     हलवा = s... हालचाल हा ऑब्जेक्टद्वारे प्रवास केलेला मार्ग आहे. उदाहरणार्थ, जर शरीर 10 मीटर पुढे आणि 7 मीटर मागे सरकले असेल तर शरीराची एकूण हालचाल 10 - 7 = 3 मी (आणि 10 + 7 = 17 मीटर वर).

     वेळ = टी... सहसा सेकंदात मोजले जाते.

2. 2 समीकरणाच्या व्युत्पत्तीची गणना करा. वरील समीकरणाद्वारे ज्याचे विस्थापन वर्णन केले आहे त्या शरीराची तात्काळ गती शोधण्यासाठी, आपल्याला या समीकरणाच्या व्युत्पत्तीची गणना करणे आवश्यक आहे. व्युत्पन्न हे एक समीकरण आहे जे कोणत्याही बिंदूवर (कोणत्याही वेळी) आलेखाच्या उताराची गणना करते. व्युत्पन्न शोधण्यासाठी, खालीलप्रमाणे कार्य वेगळे करा: जर y = a * x, तर व्युत्पन्न = a * n * x... हा नियम बहुपदीच्या प्रत्येक सदस्याला लागू होतो.
   • दुसऱ्या शब्दांत, व्हेरिएबल टी असलेल्या प्रत्येक संज्ञेचे व्युत्पन्न हे घटकाच्या उत्पादनाच्या बरोबरीने आहे (व्हेरिएबलच्या समोर) आणि व्हेरिएबलची शक्ती गुणाकार करून मूळ पॉवर वजा 1 च्या बरोबरीने. टर्म (व्हेरिएबल शिवाय टर्म, म्हणजे संख्या) नाहीशी होते कारण ती ० ने गुणाकार केली जाते आमच्या उदाहरणात:
     

     s = -1.5t + 10t + 4
     (2) -1.5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     
3. 3 नवीन समीकरण हे मूळ समीकरणाचे व्युत्पन्न आहे हे दर्शविण्यासाठी "s" ला "ds / dt" सह बदला (म्हणजेच s हे t चे व्युत्पन्न आहे). व्युत्पन्न म्हणजे विशिष्ट बिंदूवर (विशिष्ट वेळी) आलेखाचा उतार. उदाहरणार्थ, t = 5 वर s = -1.5t + 10t + 4 ओळीचा उतार शोधण्यासाठी, फक्त 5 व्युत्पन्न समीकरणात प्लग करा.
   • आमच्या उदाहरणामध्ये, व्युत्पन्न समीकरण असे दिसले पाहिजे:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 4 व्युत्पन्न समीकरणात योग्य टी मूल्याची जागा एका विशिष्ट क्षणी तात्काळ वेग शोधण्यासाठी घ्या. उदाहरणार्थ, जर तुम्हाला t = 5 वर तात्कालिक वेग शोधायचा असेल, तर फक्त 5 (t ऐवजी) व्युत्पन्न समीकरण ds / dt = -3 + 10. मध्ये प्लग करा. नंतर समीकरण सोडवा:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 मी / से

   
   
   • तात्काळ गती मोजण्याच्या एककाकडे लक्ष द्या: मी / सेकंद. आम्हाला मीटरमध्ये विस्थापन मूल्य दिले गेले आहे, आणि वेळ सेकंदांमध्ये आहे, आणि वेग विस्थापन च्या वेळेच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीने आहे, मोजमापाचे एकक योग्य आहे.

3 पैकी 2 भाग: झटपट गतीचा ग्राफिकल अंदाज

1. 1 शरीराच्या हालचाली प्लॉट करा. मागील अध्यायात, तुम्ही सूत्र वापरून तात्कालिक वेग मोजला (व्युत्पन्न समीकरण जे तुम्हाला एका विशिष्ट बिंदूवर आलेखाचा उतार शोधू देते). शरीराच्या हालचालींचा आलेख तयार केल्यावर, आपण कोणत्याही वेळी त्याचा उतार शोधू शकता आणि म्हणून एका ठराविक क्षणी तात्काळ वेग निश्चित करा.
   • Y- अक्ष ही हालचाल आहे आणि X- अक्ष ही वेळ आहे. बिंदूंचे निर्देशांक (x, y) मूळ विस्थापन समीकरणात t ची भिन्न मूल्ये बदलून आणि s च्या संबंधित मूल्यांची गणना करून प्राप्त केले जातात.
   • आलेख X-axis च्या खाली येऊ शकतो. जर शरीराच्या हालचालीचा आलेख X-axis च्या खाली आला तर याचा अर्थ असा की शरीर हालचालीच्या मूळ बिंदूपासून उलट दिशेने फिरत आहे. नियमानुसार, आलेख वाय-अक्ष (नकारात्मक x- मूल्य) च्या पलीकडे विस्तारत नाही-आम्ही वेळेत मागे जाणाऱ्या वस्तूंची गती मोजत नाही!
2. 2 आलेख (वक्र) वर बिंदू P आणि बिंदू Q त्याच्या जवळ निवडा. बिंदू P वर आलेखाचा उतार शोधण्यासाठी, आम्ही मर्यादेची संकल्पना वापरतो. मर्यादा - एक राज्य ज्यामध्ये वक्रवर पडलेल्या 2 बिंदू P आणि Q द्वारे काढलेल्या सेकंटचे मूल्य शून्य होते.
   • उदाहरणार्थ, मुद्दे विचारात घ्या पी (1,3) आणि प्रश्न (4.7) आणि बिंदू P वर तात्कालिक वेग मोजा.
3. 3 रेषाखंड PQ चा उतार शोधा. PQ विभागाचा उतार P आणि Q च्या गुणांक "y" च्या गुणांकांच्या फरकातील गुणोत्तरांच्या गुणोत्तराच्या गुणोत्तराच्या गुणोत्तराच्या समान आहे. प्र. दुसऱ्या शब्दांत, H = (y_{प्रश्न} - y_पी) / (x_{प्रश्न} - x_पी), जेथे H हा PQ विभागाचा उतार आहे. आमच्या उदाहरणात, PQ विभागाचा उतार आहे:
   

   H = (y_{प्रश्न} - y_पी) / (x_{प्रश्न} - x_पी)
   एच = (7 - 3) / (4 - 1)
   एच = (4) / (3) = 1.33

4. 4 प्रक्रिया अनेक वेळा पुन्हा करा, क्यू पॉईंटला पी पॉईंटच्या जवळ आणा. दोन बिंदूंमधील अंतर जितके लहान असेल, प्राप्त विभागांचा उतार बिंदू P वर आलेखाच्या उताराच्या जवळ असेल, आमच्या उदाहरणात, आम्ही निर्देशांक (2,4.8), (1.5,3.95) सह बिंदू Q साठी गणना करू. ) आणि (1.25,3.49) (बिंदू P चे निर्देशांक समान राहतात):
   

   प्रश्न = (2,4.8): एच = (4.8 - 3) / (2 - 1)
   एच = (1.8) / (1) = 1.8
   
   प्रश्न = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
   एच = (.95) / (. 5) = 1.9
   
   प्रश्न = (1.25,3.49): एच = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
   एच = (.49) / (. 25) = 1.96

5. 5 बिंदू P आणि Q मधील अंतर जितके लहान असेल तितके H चे मूल्य बिंदू P वर आलेखाच्या उताराच्या जवळ असेल बिंदू P आणि Q मधील अत्यंत लहान अंतराने, H चे मूल्य उताराच्या समान असेल बिंदू P वर आलेख आपण दोन बिंदूंमधील अत्यंत लहान अंतर मोजू किंवा मोजू शकत नसल्यामुळे, ग्राफिकल पद्धत बिंदू P वर आलेखाच्या उताराचे अंदाजे मूल्य देते.
   • आमच्या उदाहरणामध्ये, क्यू ते पी जवळ येताना, आम्हाला एच ची खालील मूल्ये मिळाली: 1.8; 1.9 आणि 1.96. ही संख्या 2 कडे असल्याने, आपण असे म्हणू शकतो की बिंदू P वर आलेखाचा उतार समान आहे 2.
   • लक्षात ठेवा की दिलेल्या बिंदूवर आलेखाचा उतार त्या बिंदूवर फंक्शन (ज्याद्वारे हा आलेख बांधला गेला आहे) च्या व्युत्पन्न समान आहे. आलेख कालांतराने शरीराच्या हालचाली दर्शवितो आणि, मागील विभागात नमूद केल्याप्रमाणे, शरीराचा झटपट वेग या शरीराच्या हालचालीसाठी समीकरणाच्या व्युत्पत्तीच्या बरोबरीचा आहे. अशाप्रकारे, आम्ही असे सांगू शकतो की t = 2 वर तात्कालिक वेग समान आहे 2 एमपीएस (हा एक अंदाज आहे).

3 पैकी 3 भाग: उदाहरणे

1. 1 शरीराची हालचाल s = 5t - 3t + 2t + 9 या समीकरणाने सांगितल्यास t = 4 वर तात्कालिक वेग मोजा. हे उदाहरण पहिल्या विभागातील समस्येसारखे आहे फक्त फरक इतकाच की समीकरण तिसऱ्या क्रमांकाचे आहे (दुसरे नाही).
   • प्रथम, आम्ही या समीकरणाच्या व्युत्पत्तीची गणना करतो:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • आता आपण व्युत्पन्न समीकरण मध्ये t = 4 हे मूल्य बदलतो:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 मी / से

2. 2 फंक्शन s = 4t - t च्या आलेखावर निर्देशांक (1,3) सह बिंदूवर तात्कालिक गतीच्या मूल्याचा अंदाज घेऊया. या प्रकरणात, बिंदू P मध्ये निर्देशांक (1,3) आहेत आणि बिंदू P च्या जवळ असलेल्या बिंदू Q चे अनेक निर्देशांक शोधणे आवश्यक आहे. मग आपण H ची गणना करतो आणि तात्कालिक गतीची अंदाजे मूल्ये शोधतो.
   • प्रथम, T = 2, 1.5, 1.1 आणि 1.01 वर Q निर्देशांक शोधा.
     

     s = 4t - टी
     
     टी = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, म्हणून प्रश्न = (2.14)
     
     टी = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
     4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, म्हणून प्रश्न = (1.5,7.5)
     
     टी = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, म्हणून प्रश्न = (1.1,3.74)
     
     टी = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, म्हणून प्रश्न = (1.01,3.0704)

   • आता H ची गणना करू:
     

     प्रश्न = (2.14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     एच = (11) / (1) = 11
     
     प्रश्न = (1.5,7.5): एच = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
     एच = (4.5) / (. 5) = 9
     
     प्रश्न = (1.1,3.74): एच = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
     एच = (.74) / (. 1) = 7.3
     
     प्रश्न = (1.01,3.0704): एच = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     एच = (.0704) / (. 01) = 7.04

   • H ची प्राप्त मूल्ये 7 पर्यंत असल्याने, आपण असे म्हणू शकतो की बिंदूवर शरीराचा तात्कालिक वेग (1.3) समान आहे 7 मी / से (अंदाजे मूल्य).

टिपा

• प्रवेग शोधण्यासाठी (कालांतराने गतीमध्ये बदल), विस्थापन कार्याचे व्युत्पन्न मिळविण्यासाठी पहिल्या भागातील पद्धत वापरा. नंतर परिणामी व्युत्पत्तीचे व्युत्पन्न पुन्हा घ्या. हे आपल्याला ठराविक वेळी प्रवेग शोधण्याचे समीकरण देईल - आपल्याला फक्त वेळेचे मूल्य जोडणे आहे.
• X (वेळ) वर y (विस्थापन) च्या अवलंबनाचे वर्णन करणारे समीकरण खूप सोपे असू शकते, उदाहरणार्थ: y = 6x + 3. या प्रकरणात, उतार स्थिर आहे आणि आपल्याला ते शोधण्यासाठी व्युत्पन्न घेण्याची आवश्यकता नाही. रेषा आलेखांच्या सिद्धांतानुसार, त्यांचा उतार x या व्हेरिएबलच्या गुणांकाच्या बरोबरीचा आहे, म्हणजेच आमच्या उदाहरणात = 6.
• हालचाल अंतर सारखीच असते, परंतु त्याला एक विशिष्ट दिशा असते, ज्यामुळे ती एक वेक्टर मूल्य बनवते. विस्थापन नकारात्मक असू शकते, तर अंतर फक्त सकारात्मक असू शकते.