सामग्री

• पाऊल टाकण्यासाठी
• टिपा

आलेख म्हणून चौरस समीकरण पहा ax + bx + c म्हणून लिहिलेले आहे a (x - h) + के, यू-आकारात गुळगुळीत वक्र दिसत. आम्ही याला कॉल करतो पॅराबोला. चतुर्भुज समीकरण रेखांकित करण्यामध्ये शिरोबिंदू, दिशा शोधणे आणि बहुतेक वेळा छेदनबिंदू एक्स-अक्ष आणि वाय-अक्षसह दर्शविले जाते. तुलनेने सोप्या चतुर्भुज समीकरणाच्या बाबतीत, एक्स समन्वय प्रणालीमध्ये हे गुण दर्शविण्यासाठी अनेक मूल्ये प्रविष्ट करणे देखील पुरेसे असू शकते, ज्यानंतर पॅराबोला काढला जाऊ शकतो. प्रारंभ करण्यासाठी 1 चरण वर जा.

पाऊल टाकण्यासाठी

1. आपल्याकडे कोणत्या प्रकारचे द्वितीय-डिग्री समीकरण आहे हे निर्धारित करा. हे दोन प्रकारे लिहिले जाऊ शकते: प्रमाणन चिन्ह आणि शिरोबिंदू चिन्ह (चौरस मूळ सूत्र लिहिण्यासाठी आणखी एक मार्ग). चतुर्भुज समीकरणाचा आलेख तयार करण्यासाठी आपण दोन्ही वापरू शकता, परंतु प्रत्येक बाबतीत प्रक्रिया थोडी वेगळी आहे. बहुतेक वेळा आपल्यास प्रमाणित आकार दिसेल परंतु दोन्ही आकार वापरण्यास शिकण्यास नक्कीच दुखापत होत नाही. चतुर्भुज समीकरणाचे दोन प्रकारः
   • प्रमाणित आकार. चतुर्भुज समीकरण म्हणून नोंदवले जाईल: f (x) = ax + bx + c जेथे a, b आणि c वास्तविक संख्या आहेत आणि a शून्याइतकी नाही.
     • मानक चतुर्भुज समीकरणेची दोन उदाहरणेः f (x) = x + 2x + 1 आणि f (x) = 9x + 10x -8.
   • शिरोबिंदू आकार. चतुर्भुज समीकरण म्हणून नोंदविले गेलेः f (x) = a (x - h) + k जेथे अ, एच आणि के वास्तविक संख्या आहेत आणि अ शून्याइतकी नाही. या आकारास व्हर्टेक्स असे म्हणतात कारण एच आणि के थेट आपल्या पॅराबोलाच्या शीर्षस्थानी बिंदूवर (एच, के) संदर्भित करतात.
     • फळ (एक्स) = 9 (x - 4) + 18 आणि -3 (x - 5) + 1 वर शिरोबिंदू फॉर्म समीकरणाची दोन उदाहरणे आहेत
   • या समीकरणाचा आलेख बनवण्यासाठी आपण प्रथम आलेखाचा वरचा भाग (एच, के) निश्चित करतो. मानक समीकरणात आपल्याला हे h: -b / 2a आणि k = f (h) द्वारे आढळेल, परंतु हे आधीपासूनच शिरोबिंदू स्वरूपात दिले गेले आहे कारण h आणि k हे समीकरणात उद्भवते.
2. आपले चल निश्चित करा. चतुर्भुज समीकरण सोडवण्यासाठी सामान्यत: अ, बी आणि सी (किंवा ए, एच, आणि के) व्हेरिएबल्स निर्धारित करणे आवश्यक असते. नियमित व्यायामामुळे तुम्हाला मानक स्वरुपात दुसरे पदवी समीकरण मिळेल, परंतु कशेरुकालेखन देखील होऊ शकते.
   • उदाहरणार्थ: मानक फंक्शन एफ (एक्स) = 2 एक्स + 16 एक्स + 39. येथे आपल्याकडे एक = 2, बी = 16 आणि सी = 39 आहे.
   • शिरोबिंदू मध्ये: f (x) = 4 (x - 5) + १२ येथे आपल्याकडे एक = 4, एच = 5 आणि के = 12 आहे.
3. गणना एच. शिरोबिंदू मध्ये, एच ​​चे मूल्य आधीच दिले गेले आहे, परंतु प्रमाणित नोटेशनमध्ये हे मूल्य अद्याप मोजले गेले नाही. लक्षात ठेवा की प्रमाणित समीकरण असलेले आहे: h = -b / 2a.
   • उदाहरण 1. (एफ (एक्स) = 2 एक्स + 16 एक्स + 39), एच = -बी / 2 ए = -16/2 (2). हे सोडवून आपण पाहिले की h = -4.
   • उदाहरण 2. (एफ (एक्स) = 4 (एक्स - 5) + 12), आम्ही त्वरित ते एच = 5 पाहू.
4. गणित के. एच प्रमाणे, के हे आधीपासूनच वर्टेक्स फॉर्म समीकरणांमधून ज्ञात आहे. मानक चिन्हांकाच्या समीकरणासाठी, ते k = f (h) लक्षात ठेवा. दुस words्या शब्दांत, आपण कुठल्याही व्हेरिएबलच्या जागी h ची मूल्य बदलून के शोधू शकतो.
   • आम्ही उदाहरणार्थ 1 पाहिले आहे की एच = -4. के शोधण्यासाठी आपण x या व्हेरिएबलच्या समीकरणामधील h ची व्हॅल्यू भरून हे समीकरण सोडवू.
     • के = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • के = 2 (16) - 64 + 39.
     • के = 32 - 64 + 39 = 7
   • उदाहरणार्थ 2 आम्हाला माहित आहे की कोणत्याही गणनाची आवश्यकता नसल्यास के चे मूल्य 12 आहे.
5. आलेखाचा वरचा भाग किंवा तळाशी काढा. आपल्या पॅराबोलाचा शिखर किंवा व्हॅली हा बिंदू आहे (एच, के) - एच म्हणजे एक्स कोऑर्डिनेंट आणि के म्हणजे वाय समन्वय. शिरोबिंदू हे आपल्या पॅराबोलाचे केंद्र आहे - सर्वोच्च किंवा सर्वात कमी बिंदू, शिरोबिंदू किंवा व्हॅली, "यू" च्या स्वरूपात किंवा त्याउलट.पॅराबोलाची सुरवाती निश्चित करणे योग्य ग्राफ काढणे हा एक आवश्यक भाग आहे - बहुतेक वेळा पॅराबोलाचा वरचा भाग निश्चित करणे हे शाळेत गणिताच्या समस्येचा एक भाग आहे.
   • उदाहरण 1 मध्ये, आलेखाचा वरचा भाग (-4.7) आहे. आपल्या आलेखावर बिंदू काढा आणि आपण निर्देशांकास योग्य नाव दिले असल्याची खात्री करा.
   • उदाहरणार्थ 2, शीर्ष (5.12) आहे. तर (0,0) बिंदूपासून आपण 5 ठिकाणी उजवीकडे आणि नंतर 12 पर्यंत जा.
6. आवश्यक असल्यास पॅराबोलाची सममिती अक्ष काढा. पॅराबोलाची सममितीय अक्ष ही रेखा आहे जी आकृती मध्यभागी काटते आणि अर्ध्या भागामध्ये विभाजित करते. आलेखाच्या एका बाजूला ग्राफच्या दुस side्या बाजूला या ओळीवर प्रतिबिंबित केलेले आहे. कुल्हाडी + बीएक्स + सी किंवा ए (एक्स - एच) + के एकतर चौरस समीकरणामध्ये, ही अक्ष पॅराबोलाच्या शिखरावर जाणा y्या y अक्षाला समांतर रेखा बनवते.
   • उदाहरण 1 च्या बाबतीत, सममितीची अक्ष y अक्षाशी समांतर रेखा आहे आणि बिंदूतून जाते (-4,7). जरी ते स्वतःच परोवाचा भाग नसले तरी या मार्गदर्शकतत्त्वाला हलकेपणे हायलाइट केल्याने आपल्याला दर्शविले जाऊ शकते की परबोल वक्र किती सममितीय आहे.
7. पॅराबोलाची दिशा निश्चित करा. पॅराबोलाचा सर्वात वरचा भाग काय आहे हे समजल्यानंतर, आपण डोंगराशी किंवा दरीच्या पॅराबोलाशी व्यवहार करत आहात की नाही हे माहित असणे आवश्यक आहे, म्हणजेच उद्घाटन तळाशी आहे किंवा शीर्षस्थानी आहे की नाही. सुदैवाने हे खूप सोपे आहे. जर "अ" सकारात्मक असेल तर आपण व्हॅली पॅराबोलावर व्यवहार करीत आहात; जर "अ" नकारात्मक असेल तर तो डोंगर परोवळा आहे (तळाशी उघडल्यानंतर)
   • उदाहरणार्थ 1 आम्ही फंक्शन (एफ (एक्स) = 2 एक्स + 16 एक्स + 39) वर काम करीत आहोत, म्हणून हा व्हॅली पॅराबोला आहे, कारण ए = 2 (पॉझिटिव्ह).
   • उदाहरणार्थ 2 मध्ये आम्ही f (x) = 4 (x - 5) + 12 फंक्शन हाताळत आहोत, आणि हे व्हॅली पॅराबोला देखील आहे कारण a = 4 (पॉझिटिव्ह) आहे.
8. आवश्यक असल्यास पॅराबोलाचे छेदनबिंदू निर्धारित करा. बहुतेक वेळेस जेव्हा गणिताच्या समस्येस एक्स-अक्षसह पॅराबोलाचे छेदन देण्यास सांगितले जाते (हे "शून्य" असतात, अ किंवा दोन जेथे पॅराबोला एक्स अक्षला छेदतो किंवा त्यास चिन्हांकित करतो) विनंती केलेली नसली तरीही, अचूक आलेख काढण्यास सक्षम होण्यासाठी हे मुद्दे फार महत्वाचे आहेत. परंतु सर्व पॅराबोलास एक्स-अक्षसह एक छेदनबिंदू नसते. जर आपण व्हॅली पॅराबोलाचा सामना करत असाल आणि व्हॅली पॉईंट एक्स-अक्षाच्या वर असेल किंवा डोंगरावरील पॅराबोलाच्या बाबतीत, एक्स-अक्षाच्या अगदी खाली असेल तर कोणतेही छेदनबिंदू सापडलेले नाहीत. तसे असल्यास, पुढीलपैकी एक पद्धत वापरा:
   • ते f (x) = 0 ठरवा आणि समीकरण सोडवा. ही पद्धत साध्या चौरस समीकरणांसाठी कार्य करू शकते, विशेषत: शिरोबिंदूच्या रूपात, परंतु आपणास आढळेल की कार्ये अधिक जटिल झाल्यामुळे हे अधिकच अवघड बनते. खाली काही उदाहरणे दिली आहेत.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • वर्गमीटर (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 आणि 13 पॅराबोलाच्या एक्स-अक्ष्यासह छेदनबिंदू आहेत.
   • फॅक्टर हे समीकरण. अ‍ॅक्स + बीएक्स + सी फॉर्ममधील काही समीकरणे सहजपणे (डीएक्स + ई) (एफएक्स + जी) म्हणून पुन्हा लिहिली जाऊ शकतात, जेथे डीएक्स × एफएक्स = कुल्हाडी, (डीएक्स × जी + एफएक्स × ई) = बीएक्स आणि ई × जी = सी. या प्रकरणात, x छेदनबिंदू ही x ची मूल्ये आहेत जिथे कंसातील प्रत्येक संज्ञा 0 सह समान होते. उदाहरणार्थ:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • या प्रकरणात, छेदनबिंदू -1 आहे कारण दोन्ही घटकांमध्ये प्रवेश केल्याने हे शून्य मिळते.
   • एबीसी फॉर्म्युला वापरा. जर आपल्याला छेदनबिंदू शोधणे किंवा समीकरणाचे विभाजन करणे सोपे नसेल तर या उद्देशाने विशेषत: "एबीसी सूत्र" वापरा. Ax + bx + c या फॉर्ममधील समीकरण समजा. नंतर x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a सूत्रात a, b आणि c ची मूल्ये प्रविष्ट करा. लक्षात घ्या की हे आपल्याला x साठी दोनदा उत्तरे देईल, जे ठीक आहे - याचा अर्थ असा आहे की आपल्या पॅराबोलाला एक्स अक्षासह दोन छेदनबिंदू आहेत. येथे एक उदाहरण आहे:
     • खालीलप्रमाणे समीकरणात -5x + 1x + 10 प्रविष्ट करा:
     • x = (-1 +/- वर्गमीटर (1 - 4 (-5) (10%))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- वर्गमीटर (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- वर्गमीटर (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13.18 / -10) आणि (-15.18 / -10). X अक्षासह पॅराबोलाचे छेदनबिंदू अंदाजे x = आहेत -1,318 आणि 1,518
     • उदाहरणार्थ 1x 2x + 16x + 39 या समीकरणासह, हे असे दिसेल:
     • x = (-16 +/- वर्गमीटर (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- वर्गमीटर (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- वर्गमीटर (-56) / - 10
     • Aणात्मक संख्येचे चौरस मूळ शोधणे शक्य नसल्यामुळे, आम्हाला माहित आहे की या विशिष्ट पॅरोबोलासाठी एक्स अक्षासह कोणतेही छेदनबिंदू नाहीत.
9. आवश्यक असल्यास, वाय-अक्षसह पॅराबोलाचे छेदनबिंदू निर्धारित करा. हे सहसा आवश्यक नसते, परंतु कधीकधी हे छेदन शोधणे आवश्यक असते, उदाहरणार्थ गणिताच्या समस्येसाठी. हे बर्‍यापैकी सोपे आहे - x ते 0 चे मूल्य सेट करा आणि f (x) किंवा y चे समीकरण सोडवा, जे आपल्याला परबोलाला y अक्षांसह प्रतिबिंबित केलेल्या बिंदूचे y मूल्य देते. क्ष-अक्षांद्वारे छेदनबिंदू सह फरक हा आहे की वाई-अक्षावर नेहमीच एकच छेदनबिंदू असतो. टीप - मानक समीकरणासह, y-axis सह छेदनबिंदू y = c वर आहे.
   • उदाहरणार्थ, आम्हाला माहित आहे की आमचे चतुर्भुज समीकरण 2x + 16x + 39 मध्ये छेदनबिंदू y = 39 आहे, परंतु आम्हाला हे खालीलप्रमाणे सापडेल:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. y-axis सह पॅराबोलाचे छेदनबिंदू: y = 39. वर दर्शविल्याप्रमाणे, आपण सहजपणे छेदनबिंदू वाचू शकतो कारण y = c.
   • 4 (x - 5) + 12 हे समीकरण वाई-अक्ष सह छेदनबिंदू आहे जे खालीलप्रमाणे आढळू शकते:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. y-axis सह छेदनबिंदू: y = 112.
10. जर आपल्याला हे आवश्यक आहे असे वाटत असेल तर प्रथम अतिरिक्त गुण आणि त्यानंतर संपूर्ण आलेख काढा. आपल्याकडे आता एक्स-अक्षासह आणि संभाव्यत: आपल्या समीकरणाच्या y- अक्षासह एक शीर्षस्थानी किंवा खोरे, एक दिशा, छेदनबिंदू असावे. या बिंदूपासून आपण या बिंदूंचा वापर करून पॅराबोला काढण्याचा प्रयत्न करू शकता किंवा आलेख अधिक अचूक करण्यासाठी आपण अधिक गुण शोधण्याचा प्रयत्न करू शकता. असे करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे अनेक x व्हॅल्यूज प्रविष्ट करणे, जे अनेक y व्हॅल्यूज परत करेल. आपण पॅराबोला काढण्यास सुरवात करण्यापूर्वी बर्‍याच बिंदूंची गणना करण्यास आपल्याला (शिक्षकांद्वारे) विचारले जाईल.
    • चला x + 2x + १ हे समीकरण पुन्हा पाहूया. आपल्याला आधीपासूनच माहित आहे की x अक्षासह एकच छेदनबिंदू (-1,0) आहे. जेव्हा या क्षणी ते फक्त एक्स अक्षाला स्पर्श करते, तेव्हा आम्ही आलेखाच्या वरच्या भागाला या बिंदूइतकेच काढू शकतो. आतापर्यंत आमच्याकडे या पॅराबोलाचा फक्त एक बिंदू आहे - ग्राफ काढण्यासाठी जवळजवळ पुरेसे नाही. आपल्याकडे अधिक मूल्ये असल्याचे सुनिश्चित करण्यासाठी आणखी काही मुद्दे शोधू या.
      • पुढील एक्स मूल्यांशी संबंधित y मूल्ये शोधण्याचा प्रयत्न करूया: 0, 1, -2, आणि -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. नंतर बिंदू (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. नंतर बिंदू (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. नंतर बिंदू (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. नंतर बिंदू (-3,4).
      • हे बिंदू आलेखात ठेवा आणि आपला पॅराबोला काढा. लक्षात घ्या की पॅराबोला पूर्णपणे सममितीय आहे - जर आपल्याला आलेखाच्या एका बाजूला बिंदू माहित असतील तर आपण सहसा सममित अक्षच्या दुस side्या बाजूला असलेल्या बिंदू शोधण्यासाठी या पॉईंट्सचा वापर करून स्वतःचे बरेच काम वाचवू शकता.

टिपा

• आवश्यक असल्यास, गोल संख्या किंवा अपूर्णांक वापरा. चार्ट योग्यरित्या प्रदर्शित करण्यात हे मदत करू शकते.
• लक्षात घ्या जर f (x) = ax + bx + c, b किंवा c या कार्यासाठी शून्या बरोबर असल्यास त्या अटी अदृश्य होतील. उदाहरणार्थ, 12x + 0x + 6 12x + 6 च्या समान बनते कारण 0x 0 बरोबर आहे.