सामग्री

• पाऊल टाकण्यासाठी
• 2 पैकी 1 पद्धत: एक पद्धत: गुणाकार क्रॉस करा
• पद्धत 2 पैकी 2: पद्धत दोन: संप्रेरकांचे किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधणे
• टिपा

एक तर्कसंगत कार्य म्हणजे अंश किंवा हर मधील एक किंवा अधिक चलांसह एक अपूर्णांक. तर्कसंगत समीकरण म्हणजे असे कोणतेही समीकरण ज्यामध्ये कमीतकमी एक तर्कसंगत अभिव्यक्ती असेल. सामान्य बीजगणित समीकरणाप्रमाणेच, समान चिन्हाच्या एका बाजूला बदल न होईपर्यंत समीकरणच्या दोन्ही बाजूंना समान ऑपरेशन लागू करून तर्कसंगत अभिव्यक्तीचे निराकरण केले जाऊ शकते. दोन विशेष पद्धती, क्रॉस गुणाकार आणि संप्रेरकांमधील सर्वात सामान्य बहुगुणित शोधणे, विशेषत: चल भिन्न करण्यासाठी आणि तर्कसंगत समीकरणे सोडविण्यासाठी उपयुक्त आहेत.

पाऊल टाकण्यासाठी

2 पैकी 1 पद्धत: एक पद्धत: गुणाकार क्रॉस करा

1. आवश्यक असल्यास, समान चिन्हाच्या दोन्ही बाजूंनी एक अपूर्णांक असल्याचे सुनिश्चित करण्यासाठी समीकरण पुन्हा व्यवस्थित करा. क्रॉस गुणाकार तर्कसंगत समीकरणे सोडविण्याची एक वेगवान पद्धत आहे. दुर्दैवाने, ही पद्धत केवळ तर्कसंगत समीकरणेच कार्य करते ज्यात समान चिन्हाच्या दोन्ही बाजूंवर तंतोतंत एक तर्कसंगत अभिव्यक्ती किंवा अपूर्णांक आहे. आपल्या समीकरणाबद्दल असे होत नसेल तर अटी योग्य ठिकाणी आणण्यासाठी कदाचित आपल्याला काही बीजगणित ऑपरेशन्सची आवश्यकता असेल.
   • उदाहरणार्थ, समीकरण (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 सहज क्रॉस गुणाकार रूपात रूपांतरित केले जाऊ शकते, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस x / (- 2) जोडून त्याचा परिणाम होईल. असे दिसते: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • लक्षात ठेवा की दशांश आणि पूर्णांक विभाजक 1 मध्ये देऊन अंशांमध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकतात. (x + 3) / 4 - 2.5 = 5, उदाहरणार्थ, (x + 3) / 4 = 7.5 / 1 म्हणून पुन्हा लिहिले जाऊ शकतात, जे क्रॉस गुणाकार लागू करण्यास अनुमती देतात.
   • काही तर्कशुद्ध समीकरणे सहज स्वरूपात योग्य फॉर्ममध्ये रूपांतरित केली जाऊ शकत नाहीत. अशा प्रकरणांमध्ये, आपण ज्या संप्रेरकांपैकी सर्वात सामान्य सामान्य वापरता त्या पद्धती वापरा.
2. क्रॉस गुणाकार. क्रॉस गुणाकार म्हणजे सहजपणे एका भागाचा अंश दुसर्‍याच्या भाजकाद्वारे गुणाकार करणे आणि त्याउलट. अपूर्णांकातील अंशांना उजव्या भागाच्या सहाय्याने समान चिन्हाच्या डावीकडे गुणाकार करा. उजवीकडील अंश आणि डावीकडे अपूर्णांकाच्या भाजकासह पुनरावृत्ती करा.
   • क्रॉस गुणाकार सामान्य बीजगणित तत्त्वांनुसार कार्य करते. तर्कसंगत अभिव्यक्ती आणि अन्य अपूर्णांक गुन्हेगारीद्वारे नियमित संख्येमध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकतात. मूलभूतपणे, क्रॉस गुणाकार म्हणजे भिन्नांच्या दोन्ही संज्ञेद्वारे समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना गुणाकार करण्याचा सुलभ शॉर्टहँड मार्ग. तुझा यावर विश्वास नाही? हे करून पहा - आपण सरलीकरणानंतर समान परिणाम पहाल.
3. दोन उत्पादने एकमेकांना बरोबरीने बनवा. क्रॉस गुणाकारानंतर, आपल्याकडे दोन उत्पादने शिल्लक आहेत. या दोन संज्ञा समान करा आणि समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस सर्वात सोपी पद मिळविण्यासाठी त्या सुलभ करा.
   • उदाहरणार्थ, (x + 3) / 4 = x / (- 2) ही आपली मूळ तर्कशुद्ध अभिव्यक्ती असेल तर क्रॉस गुणा नंतर ते -2 (x + 3) = 4x च्या बरोबरीचे होते. हे वैकल्पिकरित्या -2x - 6 = 4x म्हणून पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.
4. चल करीता सोडवा. समीकरणातील चलचे मूल्य शोधण्यासाठी बीजगणित ऑपरेशन्स वापरा. लक्षात ठेवा, जर समान चिन्हाच्या दोन्ही बाजूंवर x दिसत असेल तर x संज्ञा जोडून किंवा वजा करून, समान चिन्हाच्या एका बाजूला फक्त x संज्ञा असल्याचे सुनिश्चित करा.
   • आमच्या उदाहरणात समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -2 ने विभाजित करणे शक्य आहे, जे आपल्याला x + 3 = -2x देते. समान चिन्हाच्या दोन्ही बाजूंनी x वजा केल्यास आपल्याला 3 = -3x मिळेल. आणि शेवटी, दोन्ही बाजूंना -3 ने विभाजित केल्यावर आपल्याला -1 = x किंवा x = -1 देखील मिळेल. आता आपल्याला एक x सापडला आहे जो आपले तर्कशुद्ध समीकरण सोडवितो.

पद्धत 2 पैकी 2: पद्धत दोन: संप्रेरकांचे किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधणे

1. प्रत्येकाचे कमीतकमी सामान्य गुणधर्म शोधणे स्पष्ट आहे हे समजून घ्या. संप्रेरकांपैकी सर्वात सामान्य सामान्य (एलसीएम) तर्कसंगत समीकरण सुलभ करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते, ज्यामुळे त्यांचे चलांची मूल्ये शोधणे शक्य होईल. जर समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला एकच अंश किंवा तर्कसंगत अभिव्यक्ती असेल तर तर्कसंगत समीकरण सहजपणे अशा स्वरूपात पुन्हा लिहिता येत नाही तर एलसीएम शोधणे ही चांगली कल्पना आहे. तीन किंवा त्यापेक्षा अधिक अटींसह तर्कसंगत समीकरणे सोडविण्यासाठी, एलसीएम उपयुक्त साधन आहे. परंतु केवळ दोन अटींसह तर्कसंगत समीकरणे सोडविण्यासाठी क्रॉस गुणाकार करणे बरेचदा जलद होते.
2. प्रत्येक अपूर्णांकाचे विभाजक पहा. सर्वात लहान संख्या शोधा जी कोणत्याही भाजकाद्वारे पूर्णपणे विभाज्य आहे. हे आपल्या समीकरणाचे एलसीएम आहे.
   • कधीकधी सर्वात सामान्य बहुविध - प्रत्येक संज्ञाद्वारे पूर्णपणे विभाज्य होणारी सर्वात लहान संख्या त्वरित दिसून येते. उदाहरणार्थ, जर तुमची अभिव्यक्ती एक्स / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6 सारखी दिसत असेल तर एलसीएम 3, 2, आणि 6 ने भाग करणे आवश्यक आहे आणि म्हणून ते 6 इतके आहे हे पाहणे सोपे आहे.
   • परंतु बर्‍याचदा तर्कसंगत तुलनाचे एलसीएम त्वरित स्पष्ट होत नाही. अशा प्रकरणांमध्ये, सर्वात मोठ्या संप्रेरकाचे गुणाकार पहा जोपर्यंत आपणास इतर, लहान संप्रेरकांचे गुणाकार नसणारी संख्या सापडत नाही. बहुतेकदा एलसीएम दोन संप्रेरकांचे उत्पादन असते. उदाहरणार्थ, एक्स / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9 हे समीकरण घ्या, जेथे एलसीएम 8 * 9 = 72 आहे.
   • जर एका किंवा अधिक संप्रेरकांमध्ये चल असेल तर ही प्रक्रिया काही अधिक अवघड होईल, परंतु ती अशक्य नाही. अशा परिस्थितीत, एलसीएम एक अभिव्यक्ति (व्हेरिएबल्ससह) असते जी केवळ एका संख्येने नव्हे तर सर्व भाजकांना पूर्णपणे फिट करते. उदाहरण म्हणून, / / ​​(x-1) = 1 / x + 2 / (3x) हे समीकरण जेथे एलसीएम 3x (x-1) इतकेच आहे, कारण ते कोणत्याही विभाजनाद्वारे पूर्णपणे विभाज्य आहे - भागाद्वारे (x- 1) ) 3x, 3x उत्पादनांनी विभाजन (x-1) आणि x ने भागाकार 3 (x-1) दिले.
3. तर्कसंगत समीकरणातील प्रत्येक अपूर्णांक 1 ने गुणाकार करा. प्रत्येक संज्ञाला 1 ने गुणाकार करणे निरुपयोगी वाटेल, परंतु येथे एक युक्ती आहे. बहुदा, 1 अपूर्णांक म्हणून लिहिले जाऊ शकते - उदा. 2/2 आणि 3/3. आपल्या तर्कसंगत समीकरणातील प्रत्येक अपूर्णांक 1 ने गुणाकार करा, प्रत्येक वेळी 1 किंवा प्रत्येक संज्ञाने अपूर्णांक म्हणून एलसीएम देण्यासाठी संख्या किंवा संज्ञा म्हणून लिहा.
   • आमच्या उदाहरणात, आम्ही 2x / 6 मिळविण्यासाठी x / 3 2/2 ने गुणाकार करू शकतो आणि 3/6 मिळविण्यासाठी 1/2 ला 3/3 ने गुणाकार करू शकतो. 3x +1/6 मध्ये आधीपासून 6 (एलसीएम) संप्रेरक म्हणून आहे, म्हणून आम्ही ते 1/1 ने गुणाकार करू किंवा फक्त ते सोडू.
   • डिनोमिनेटर्समध्ये चल असलेल्या आमच्या उदाहरणात, संपूर्ण प्रक्रिया थोडी अधिक क्लिष्ट आहे. एलसीएम 3x (x-1) च्या बरोबरीने, आम्ही प्रत्येक तर्कसंगत अभिव्यक्तीस अंशांद्वारे गुणाकार करतो ज्यात 3x (x-1) मिळते. आम्ही (3x) / (3x) ने 5 / (x-1) गुणाकार करतो आणि हे 5 (3x) / (3x) (x-1) देते, आम्ही 1 / x 3 (x-1) / 3 (x) ने गुणाकार करतो -1) आणि हे 3 (x-1) / 3x (x-1) देते आणि आम्ही 2 / (3x) (x-1) / (x-1) ने गुणाकार करतो आणि हे शेवटी 2 (x-1) / देते 3x (x-1)
4. सुलभ करा आणि x साठी सोडवा. आता आपल्या तर्कसंगत समीकरणातील प्रत्येक संज्ञेमध्ये समान संप्रेरक आहे, समीकरणावरून संप्रेरक दूर करणे आणि अंक सोडवणे शक्य आहे. संप्रदायापासून मुक्त होण्यासाठी एलसीएम ने समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस फक्त गुणाकार करा जेणेकरून आपल्याकडे केवळ अंक मोजले जातील. आता हे नियमित समीकरण बनले आहे की आपण समान चिन्हाच्या एका बाजूला अलग ठेवून व्हेरिएबलचे निराकरण करू शकता.
   • आमच्या उदाहरणात, गुणाकारानंतर, 1चा अंश म्हणून वापर करून, आपल्याला 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6 मिळते. जर समान अंश असल्यास दोन भिन्न जोडले जाऊ शकतात, म्हणून आम्ही हे समीकरण (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 असे लिहू शकतो ज्याचे मूल्य न बदलता. भाजक रद्द करण्यासाठी दोन्ही बाजूंना 6 ने गुणाकार करा, 2x + 3 = 3x + 1 सोडून. येथे 2x + 2 = 3x सोडण्यासाठी दोन्ही बाजूंकडून 1 वजा करा आणि 2 = x सोडण्यासाठी दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा, जे नंतर x = 2 देखील लिहिले जाऊ शकते.
   • भाजकांमधील चल असलेल्या आमच्या उदाहरणात, "1" ने प्रत्येक संज्ञाचे गुणाकार नंतरचे समीकरण 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). एलसीएमद्वारे प्रत्येक संज्ञाचे गुणाकार केल्यामुळे संप्रेरक रद्द करणे शक्य होते, जे आता आपल्याला 5 (3x) = 3 (एक्स -1) + 2 (एक्स -1) देते. पुढे वर्णन केल्यावर हे 15x = 3x - 3 + 2x -2 होते, जे पुन्हा 15x = x म्हणून सुलभ केले जाऊ शकते - 5. दोन्ही बाजूंच्या एक्स वजा केल्यास 14x = -5 मिळते, जेणेकरून अंतिम उत्तर x = - वर सोपे केले जाऊ शकते 5/14.

टिपा

• एकदा तुम्हाला व्हेरिएबलचे मूल्य सापडल्यानंतर मूळ समीकरणात हे मूल्य प्रविष्ट करून आपले उत्तर तपासा. जर आपल्याला व्हेरिएबल राईटचे मूल्य प्राप्त झाले तर आपण समीकरण एका सोप्या, योग्य प्रमेयासारखे सुलभ करण्यास सक्षम असावे, जसे 1 = 1.
• प्रत्येक समीकरण तर्कसंगत अभिव्यक्ती म्हणून लिहिले जाऊ शकते; त्यास फक्त भाजक १ वर एक अंश म्हणून ठेवा. म्हणून x + 3 हे समीकरण (x + 3) / 1 असे लिहिले जाऊ शकते, दोन्हीचे मूल्य समान आहे.