सामग्री

• पाऊल टाकण्यासाठी
• पद्धत 1 पैकी 3: समस्या समजून घेणे
• पद्धत 3 पैकी: एक पुरावा रचना
• कृती 3 पैकी 3: पुरावे तयार करणे
• टिपा

गणिताचे पुरावे अवघड असू शकतात परंतु गणिताची योग्य पार्श्वभूमी आणि पुरावाच्या रचनेमुळे आपण त्या यशस्वीपणे तयार करू शकता. दुर्दैवाने, पुरावा कसा तयार करायचा हे शिकण्याचा कोणताही वेगवान आणि सोपा मार्ग नाही. आपला पुरावा तार्किकदृष्ट्या विकसित करण्यासाठी आपल्यास योग्य ज्ञान आणि व्याख्या घेऊन येणे आवश्यक आहे. उदाहरणे वाचून आणि स्वत: चा सराव करून, आपण गणिताच्या प्रूफिंगची कौशल्ये प्राप्त करण्यास सक्षम व्हाल.

पाऊल टाकण्यासाठी

पद्धत 1 पैकी 3: समस्या समजून घेणे

1. प्रश्न समजून घ्या. आपण प्रथम आपण ते ठरविण्याचा प्रयत्न करीत आहात की ते सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करीत आहात. हा प्रश्न पुरावा अंतिम प्रबंध म्हणून काम करेल. या चरणात आपण कार्य करत असलेल्या गृहितकांना देखील परिभाषित कराल. प्रश्न ओळखणे आणि आवश्यक गृहितक करणे आपल्याला समस्या समजून घेण्यासाठी आणि पुरावा विकसित करण्यासाठी प्रारंभिक बिंदू देते.
2. रेखाचित्र काढा. गणिताच्या समस्येचे अंतर्गत कार्य समजून घेण्याचा प्रयत्न करीत असताना, काय घडत आहे याचा आकृती काढणे कधीकधी सोपे असते. भौमितिक पुराव्यांमध्ये चार्ट विशेषतः महत्त्वपूर्ण आहेत कारण ते आपल्याला जे सिद्ध करायचे आहेत त्याचे व्हिज्युअल दृश्य करण्याची परवानगी देतात.
   • पुराव्याचे चित्र काढण्यासाठी समस्येमध्ये पुरविलेल्या माहितीचा वापर करा. ओळखीचे आणि अनोळखी व्यक्तींची नावे सांगा.
   • पुरावा कार्य करीत असताना, पुराव्यास समर्थन देण्यासाठी आवश्यक माहिती वापरा.
3. संबंधित प्रमेयांचा अभ्यास पुरावा. पुरावा तयार करणे शिकणे अवघड आहे, परंतु हे शिकण्याचा उत्कृष्ट मार्ग म्हणजे संबंधित विधाने आणि ते कसे सिद्ध केले गेले याचा अभ्यास करणे.
   • लक्षात घ्या की पुरावा हा एक चांगला युक्तिवाद आहे जिथे प्रत्येक चरण सिद्ध केले जाते. ऑनलाईन आणि पाठ्यपुस्तकात दोन्ही अभ्यासासाठी तुम्हाला पुष्कळ पुरावे सापडतील.
4. प्रश्न विचारा. एखाद्या पुरावामध्ये अडकणे अगदी सामान्य गोष्ट आहे. आपण हे समजू शकत नसल्यास आपल्या शिक्षक किंवा वर्गमित्रांना विचारा. नंतरचे कदाचित असेच प्रश्न असू शकतात आणि आपण समस्यांवर एकत्र काम करू शकता. प्रश्न विचारणे आणि नंतर पुराव्याद्वारे डोळे मिटून जाण्यापेक्षा समजणे चांगले.
   • अतिरिक्त स्पष्टीकरणासाठी वर्गानंतर आपल्या शिक्षकांचा सल्ला घ्या.

पद्धत 3 पैकी: एक पुरावा रचना

1. गणिताचे पुरावे परिभाषित करा. गणिताचा पुरावा म्हणजे तार्किक विधानांचा एक संच आहे जो प्रमेय आणि व्याख्यांनी समर्थित आहे जो दुसर्या गणिताच्या विधानाची शुद्धता सिद्ध करतो. हक्क सांगणे गणिताच्या दृष्टीने वैध आहे की नाही हे जाणून घेण्यासाठी पुरावा हा एकमेव मार्ग आहे.
   • गणिताचा पुरावा तयार करण्यात सक्षम होणे स्वतः समस्येचे मूलभूत आकलन आणि समस्येमध्ये सामील असलेल्या सर्व संकल्पना दर्शविते.
   • पुरावा आपल्याला गणिताकडे नवीन आणि उत्साहपूर्ण मार्गाने पाहण्यास देखील भाग पाडतो. शेवटी काहीतरी सिद्ध करण्याचा प्रयत्न केल्याने आपल्याला त्याबद्दल अधिक ज्ञान आणि अंतर्ज्ञान मिळेल, जरी आपला पुरावा शेवटी योग्य वाटत नसेल तरीही.
2. आपल्या प्रेक्षकांना जाणून घ्या. एखादा पुरावा लिहिण्यापूर्वी आपण ज्या प्रेक्षकांसाठी ते लिहित आहात त्याबद्दल आणि त्यांना आधीच काय माहित आहे याचा विचार करा. आपण एखाद्या प्रकाशनासाठी पुरावे लिहिले तर आपण हे हायस्कूल वर्गापेक्षा वेगळ्या प्रकारे कराल.
   • आपल्या प्रेक्षकांना जाणून घेतल्यामुळे आपल्याला प्रेक्षकांना किती पार्श्वभूमी ज्ञानाची जाणीव होते हे समजून घेण्याचा एक मार्ग अशा प्रकारे पुरावा तयार करण्याची अनुमती देते.
3. आपण पुढे करत असलेल्या पुराव्यांचा प्रकार समजून घ्या. तेथे काही भिन्न प्रकारचे पुरावे आहेत आणि आपण निवडलेला एक आपल्या लक्षित प्रेक्षकांवर आणि असाइनमेंटवर अवलंबून आहे. कोणती आवृत्ती वापरायची याबद्दल आपल्याला खात्री नसल्यास आपल्या शिक्षकांना सल्ला घ्या. हायस्कूलमध्ये, आपल्याकडून औपचारिक दोन-स्तंभ पुरावा अशा विशिष्ट स्वरूपात पुरावा तयार करणे अपेक्षित आहे.
   • दोन-स्तंभ पुरावा एक अशी रचना आहे जिथे डेटा आणि ठामपणे एका स्तंभात ठेवला जातो आणि त्यापुढील दुसर्‍या स्तंभात त्यास पाठिंबा देणारा पुरावा. ते बहुधा भूमितीमध्ये वापरले जातात.
   • अनौपचारिक परिच्छेद पुरावा व्याकरणदृष्ट्या योग्य विधाने आणि कमी चिन्हे वापरतात. उच्च स्तरावर आपण नेहमीच एक अनौपचारिक पुरावा वापरला पाहिजे.
4. विहंगावलोकन म्हणून दोन स्तंभात पुरावा लिहा. दोन स्तंभांमध्ये एक पुरावा रचना आपला विचार आयोजित करण्याचा आणि समस्येचा विचार करण्याचा एक सोपा मार्ग आहे. पृष्ठाच्या मध्यभागी एक रेषा काढा आणि सर्व डेटा आणि स्टेटमेंट्स डावीकडे लिहा. त्यांनी समर्थन केलेल्या डेटाच्या पुढे, संबंधित व्याख्या / स्टेटमेन्ट्स उजवीकडे लिहा.
   • उदाहरणार्थ:
   • कोन ए आणि कोन बी एक रेखीय जोडी तयार करतात. दिले.
   • कॉर्नर एबीसी सरळ आहे. समकोनाची व्याख्या.
   • कोन एबीसी 180 ° आहे. ओळीची व्याख्या.
   • कोन ए + कोन बी = कोन एबीसी. कोन जोडण्यासाठी पोस्ट्युलेट करा.
   • कोन ए + कोन बी = 180 °. प्रतिस्थापन.
   • कोन ए च्या पूरक म्हणून कोन अ. अतिरिक्त कोनांची व्याख्या.
   • Q.E.D.
5. पुरावा दोन स्तंभांमधून अनौपचारिक पुराव्यामध्ये रूपांतरित करा. दोन स्तंभांमधील पुराव्याच्या आधारावर, अनुच्छेद म्हणून एक अनौपचारिक पुरावा बरेच चिन्हे आणि संक्षेप न लिहा.
   • उदाहरणार्थ, समजा कोन A आणि B हे रेषात्मक जोड्या आहेत. अशी कल्पना आहे की कोन ए आणि कोन बी एकमेकांना पूरक आहेत (पूरक आहेत) कोन ए आणि कोन बी एक सरळ रेषा तयार करतात कारण ते रेखीय जोड्या आहेत. एक सरळ रेषा 180 of च्या कोनात परिभाषित केली जाते. कोन जोडण्याकरिता टपाल दिल्यास, अ आणि बी कोन एकत्रितपणे एबीसी रेखा तयार करतात. प्रतिस्थानाच्या मार्गाने, ए आणि बी एकत्रितपणे 180 are आहेत, म्हणून ते पूरक कोन आहेत. Q.E.D.

कृती 3 पैकी 3: पुरावे तयार करणे

1. गणिताच्या पुराव्यांची शब्दसंग्रह जाणून घ्या. अशी काही विधानं आणि वाक्यं आहेत जी तुम्ही गणिताच्या दाखल्यात पहात आहात. आपल्यास परिचित असले पाहिजेत आणि आपल्या स्वत: च्या पुरावा तयार करताना ते चांगल्या प्रकारे वापरण्यास सक्षम असावेत ही वाक्ये आहेत.
   • "जर ए, तर बी" याचा अर्थ असा आहे की आपण A दर्शविल्या पाहिजेत, बी देखील खरे असले पाहिजे.
   • "ए जर आणि फक्त बी" म्हणजेच आपण ए आणि बी एकाच वेळी सत्य आणि खोटे असल्याचे सिद्ध केले पाहिजे. "जर ए, तर बी" आणि "ए नाही तर बी नाही" हे दोन्ही सिद्ध करा.
   • "अ तर फक्त बी" चा अर्थ "इफ ए, नंतर बी" सारखाच असतो, म्हणून तो बर्‍याचदा वापरला जात नाही. जेव्हा आपण यावर लक्ष द्याल तेव्हा हे जाणून घेणे चांगले आहे.
   • पुरावा देताना आपण "आम्ही" च्या बाजूने "मी" वापरणे टाळावे.
2. सर्व डेटा लिहा. पुरावा एकत्र ठेवताना, पहिली पायरी म्हणजे सर्व डेटा ओळखणे आणि रेकॉर्ड करणे. हे प्रारंभ करण्यासाठी सर्वोत्तम स्थान आहे कारण हे आपल्याला पुरावे पूर्ण करण्यासाठी काय ज्ञात आहे आणि कोणती माहिती आवश्यक आहे याचा विचार करण्यास मदत करेल. समस्या वाचा आणि माहितीचा प्रत्येक तुकडा लिहा.
   • उदाहरणार्थ: हे सिद्ध करा की दोन कोन रेखीय जोडी (कोन अ आणि कोन बी) चे पूरक आहेत.
   • दिलेः कोन ए आणि कोन बी एक रेखीय जोडी बनवतात
   • पुरावा: कोन अ हा कोन बीला पूरक आहे.
3. सर्व चल परिभाषित करा. डेटा लिहिण्याव्यतिरिक्त, सर्व व्हेरिएबल्स परिभाषित करणे देखील उपयुक्त आहे. वाचकांचा गोंधळ टाळण्यासाठी पुराव्याच्या सुरूवातीस व्याख्या लिहा. जर व्हेरिएबल्सची व्याख्या केली गेली नसेल तर आपला पुरावा समजून घेण्याचा प्रयत्न करून वाचक सहज गमावू शकतो.
   • आपल्या पुरावा मध्ये चल वापरू नका जे अद्याप परिभाषित केलेले नाहीत.
   • उदाहरणार्थ: व्हेरिएबल्स म्हणजे कोन अ आणि कोन बी चे उपाय.
4. पुराव्यांद्वारे मागे काम करा. एखाद्या समस्येबद्दल मागासलेला विचार करणे नेहमीच सोपे असते. आपण काय सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करीत आहात या निष्कर्षासह प्रारंभ करा आणि आपण सुरुवातीस परत आणू शकणार्‍या चरणांचा विचार करा.
   • सुरुवातीच्या चरणांचे संपादन करा आणि ते समान आहेत की नाही हे पहाण्यासाठी. आपण शिकलेला डेटा, व्याख्या आणि तत्सम पुरावा वापरा.
   • वाटेत स्वत: ला प्रश्न विचारा. "हे असं का आहे?" आणि "हे काही खोटे आहे का?" कोणत्याही विधान किंवा दाव्यासाठी चांगले प्रश्न आहेत.
   • अंतिम पुराव्यासाठी अनुक्रमात चरणे लिहायला विसरू नका.
   • उदाहरणार्थ: अ आणि बी कोन पूरक असल्यास, नंतर ते एकत्र 180 be असले पाहिजेत. दोन कोपरे एकत्रितपणे एबीसी रेखा बनवतात. आपल्याला माहित आहे की रेषात्मक जोड्यांच्या परिभाषामुळे ते एक ओळ बनवतात. एक सरळ रेषा 180 is असल्याने, कोन अ आणि कोन बी 180 to पर्यंत जोडा हे सिद्ध करण्यासाठी आपण पर्याय वापरू शकता.
5. आपले चरण तार्किक क्रमाने ठेवा. सुरुवातीला पुरावा सुरू करा आणि आपल्या निर्णयावरुन निष्कर्षापर्यंत कार्य करा. पुराव्याविषयी विचार करणे उपयुक्त ठरेल, निष्कर्ष ने प्रारंभ करून आणि मागे काम करून, वास्तविक पुरावे सादर करताना, आपण शेवटी निष्कर्ष काढता. पुराव्यांमधील स्टेटमेन्ट्स प्रत्येक वक्तव्याची सबब दाखवून एकमेकांकडून वाहायला हवीत, जेणेकरून आपल्या पुराव्यांच्या वैधतेवर शंका घेण्याचे कोणतेही कारण नाही.
   • आपण कार्य करीत असलेल्या गृहितकांची सूची देऊन प्रारंभ करा.
   • त्यांना सोप्या आणि स्पष्ट चरणांमध्ये विभाजित करा जेणेकरून वाचकाला आश्चर्य वाटू नये की एक पाऊल तर्कशुद्धपणे दुसर्‍यापासून कसे वाहते.
   • संकल्पनेचे अनेक पुरावे तयार करणे असामान्य नाही. सर्व चरण सर्वात तार्किक क्रमाने होईपर्यंत पुन्हा व्यवस्था करणे सुरू ठेवा.
   • उदाहरणार्थ: सुरूवातीस प्रारंभ करा.
     • कोन ए आणि कोन बी एक रेखीय जोडी तयार करतात.
     • कॉर्नर एबीसी सरळ आहे.
     • कोन एबीसी 180 ° आहे.
     • कोन ए + कोन बी = कोन एबीसी.
     • कोन ए + कोन बी = 180 °.
     • कोन अ हे कोन बी चे पूरक आहे.
6. लेखी पुरावा मध्ये बाण आणि संक्षेप वापरणे टाळा. आपल्या पुराव्याच्या योजनेची रूपरेषा देताना आपण शॉर्टहँड आणि चिन्हे वापरू शकता, परंतु अंतिम पुरावा लिहिताना बाणांसारखे चिन्हे वाचकाला गोंधळात टाकू शकतात. त्याऐवजी "मग" किंवा "म्हणून" असे शब्द वापरा.
   • संक्षेप वापरण्यासाठी अपवाद आहेतः उदा. (उदाहरणार्थ) आणि म्हणजे (म्हणजे) परंतु आपण ते योग्यरित्या वापरत असल्याचे सुनिश्चित करा.
7. प्रमेय (प्रमेय), कायदा किंवा परिभाषा असलेल्या सर्व विधानांचे समर्थन करा. पुरावा वापरल्याप्रमाणेच चांगला आहे. आपण एखाद्या परिभाषासह सबमिट केल्याशिवाय आपण विधान करू शकत नाही. उदाहरणार्थ इतर तत्सम पुरावा पहा.
   • आपला पुरावा अशा प्रकरणात लागू करण्याचा प्रयत्न करा जेथे खोटे असणे आवश्यक आहे आणि सत्यापित करा की ही वास्तविकता आहे. जर निकाल चुकीचा नसेल तर पुरावा समायोजित करा जेणेकरून ते आहे.
   • स्टेटमेन्ट आणि पुराव्यांसह अनेक भौमितीय पुरावे दोन-स्तंभ पुरावा म्हणून लिहिलेले असतात. प्रकाशनासाठी तयार केलेला औपचारिक गणिताचा पुरावा योग्य व्याकरणासह परिच्छेद म्हणून लिहिलेला आहे.
8. याचा अंत एखाद्या निष्कर्षाने करा किंवा Q.E.D. पुरावा अंतिम विधान आपण सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करीत होता अशी गृहीतके असणे आवश्यक आहे. एकदा आपण हे विधान केल्यावर, Q.E.D सारख्या अंतिम चिन्हासह पुरावा बंद करा. किंवा ठोस चौकोन, पुरावा पूर्ण असल्याचे दर्शविण्यासाठी.
   • Q.E.D. याचा अर्थ "क्विड एरट प्रात्यंत्रण" (लॅटिन भाषेसाठी "जे सिद्ध करावे लागले").
   • आपला पुरावा बरोबर आहे की नाही याची आपल्याला खात्री नसल्यास, आपला निष्कर्ष काय आहे आणि ते महत्त्वपूर्ण का आहे हे फक्त काही वाक्यांमध्ये लिहा.

टिपा

• आपला डेटा सर्व आपल्या अंतिम पुरावा संबंधित असणे आवश्यक आहे. प्रविष्टीने काहीही योगदान दिले नाही तर आपण ते वगळू शकता.