सामग्री

• पावले
• 3 पैकी 1 भाग: द्विपदांचे गुणन
• 3 पैकी 2 भाग: समीकरणे सोडवण्यासाठी द्विपदांचे गुणन
• 3 पैकी 3 भाग: जटिल समस्या सोडवणे
• टिपा
• चेतावणी

द्विपद (द्विपद) एक गणितीय अभिव्यक्ती आहे ज्यामध्ये दोन संज्ञा आहेत ज्यामध्ये एक प्लस किंवा वजा चिन्ह आहे, उदाहरणार्थ, ${ displaystyle ax + b}$... पहिल्या सदस्यामध्ये व्हेरिएबलचा समावेश आहे, आणि दुसऱ्यामध्ये ते समाविष्ट आहे किंवा नाही. द्विपदीय गुणन करताना त्यात अटी शोधणे समाविष्ट असते जे, गुणाकार केल्यावर, मूळ द्विपद तयार करते ते सोडवण्यासाठी किंवा सुलभ करण्यासाठी.

पावले

3 पैकी 1 भाग: द्विपदांचे गुणन

1. 1 फॅक्टरिंग प्रक्रियेच्या मूलभूत गोष्टी समजून घ्या. द्विपद मोजताना, मूळ द्विपदांच्या प्रत्येक संज्ञेचा विभाजक असणारा घटक कंसातून बाहेर काढला जातो. उदाहरणार्थ, 6 ही संख्या 1, 2, 3, 6 ने पूर्णपणे विभाज्य आहे. अशा प्रकारे, 6 क्रमांकाचे विभाजक संख्या 1, 2, 3, 6 आहेत.
   • विभाजक 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • कोणत्याही संख्येचे विभाजक 1 आणि संख्या स्वतः असतात. उदाहरणार्थ, 3 चे विभाजक 1 आणि 3 आहेत.
   • पूर्णांक विभाजक केवळ पूर्णांक असू शकतात. 32 संख्या 3.564 किंवा 21.4952 ने विभागली जाऊ शकते, परंतु आपल्याला पूर्णांक नाही तर दशांश अपूर्णांक मिळतो.
2. 2 फॅक्टरिंग प्रक्रिया सुलभ करण्यासाठी द्विपद च्या अटी ऑर्डर करा. द्विपद म्हणजे दोन पदांची बेरीज किंवा फरक, त्यापैकी कमीतकमी एकामध्ये व्हेरिएबल असते. कधीकधी व्हेरिएबल्स पॉवरमध्ये वाढवल्या जातात, उदाहरणार्थ, ${ displaystyle x ^ {2}}$ किंवा ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... द्विपदांच्या अटींना घातांच्या चढत्या क्रमाने ऑर्डर करणे चांगले आहे, म्हणजेच, सर्वात लहान घातांक असलेली संज्ञा प्रथम लिहिलेली आहे आणि सर्वात मोठी - शेवटची. उदाहरणार्थ:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • 2 च्या समोर वजा चिन्ह पहा.
3. 3 दोन्ही पदांचे सर्वात मोठे सामान्य विभाजक (GCD) शोधा. जीसीडी ही सर्वात मोठी संख्या आहे ज्याद्वारे द्विपदातील दोन्ही सदस्य विभाज्य आहेत. हे करण्यासाठी, द्विपदातील प्रत्येक पदांचे विभाजक शोधा आणि नंतर सर्वात मोठे सामान्य विभाजक निवडा. उदाहरणार्थ:
   • एक कार्य:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • भागाकार 3: 1, 3
     • विभाजक 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 द्विपदातील प्रत्येक पद ग्रेटेस्ट कॉमन डिव्हिझर (GCD) द्वारे विभाजित करा. GCD काढण्यासाठी हे करा. लक्षात घ्या की द्विपदातील प्रत्येक सदस्य कमी होतो (कारण ते विभाज्य आहे), परंतु जर GCD कंसातून वगळले गेले तर अंतिम अभिव्यक्ती मूळच्या समान असेल.
   • एक कार्य:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD शोधा: 3
   • प्रत्येक द्विपद पद gcd द्वारे विभाजित करा:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 भागाला कंसातून हलवा. यापूर्वी, आपण द्विपद च्या दोन्ही पदांना विभाजक 3 ने विभाजित केले आणि मिळाले ${ displaystyle t + 2}$... परंतु आपण 3 पासून मुक्त होऊ शकत नाही - प्रारंभिक आणि अंतिम अभिव्यक्तींची मूल्ये समान होण्यासाठी, आपल्याला 3 कोष्ठकांच्या बाहेर ठेवण्याची आवश्यकता आहे आणि कंसात विभाजनाच्या परिणामी प्राप्त अभिव्यक्ती लिहा. उदाहरणार्थ:
   • एक कार्य:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD शोधा: 3
   • प्रत्येक द्विपद पद gcd द्वारे विभाजित करा:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • परिणामी अभिव्यक्तीने विभाजक गुणाकार करा:${ प्रदर्शन शैली 3 (टी + 2)}$
   • उत्तर: ${ प्रदर्शन शैली 3 (टी + 2)}$
6. 6 तुमचे उत्तर तपासा. हे करण्यासाठी, ब्रॅकेटच्या आधीच्या टर्मला ब्रॅकेटच्या आत असलेल्या प्रत्येक टर्मने गुणाकार करा. जर तुम्हाला मूळ द्विपद मिळाले तर उपाय योग्य आहे. आता समस्या सोडवा ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • सदस्यांना आदेश द्या:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • GCD शोधा:${ प्रदर्शन शैली 6}$
   • प्रत्येक द्विपद पद gcd द्वारे विभाजित करा:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • परिणामी अभिव्यक्तीने विभाजक गुणाकार करा:${ प्रदर्शन शैली 6 (3 + 2t)}$
   • उत्तर तपासा:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

3 पैकी 2 भाग: समीकरणे सोडवण्यासाठी द्विपदांचे गुणन

1. 1 द्विपद हे घटक सोपे करण्यासाठी आणि समीकरण सोडवण्यासाठी. पहिल्या दृष्टीक्षेपात, काही समीकरणे सोडवणे अशक्य वाटते (विशेषत: जटिल द्विपदांसह). उदाहरणार्थ, समीकरण सोडवा ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... या समीकरणात शक्ती आहेत, म्हणून प्रथम अभिव्यक्तीला कारक करा.
   • एक कार्य:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • लक्षात ठेवा की द्विपद दोन सदस्य असतात. जर अभिव्यक्तीमध्ये अधिक अटी समाविष्ट असतील तर बहुपद कसे सोडवायचे ते शिका.
2. 2 समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना काही मोनोमियल जोडा किंवा वजा करा जेणेकरून समीकरणाच्या एका बाजूला शून्य राहील. गुणनकरणाच्या बाबतीत, समीकरणांचे समाधान अपरिवर्तनीय वस्तुस्थितीवर आधारित आहे की कोणत्याही अभिव्यक्तीला शून्याने गुणाकार करणे शून्य समान आहे. म्हणून, जर आपण समीकरण शून्य केले तर त्याचे कोणतेही घटक शून्यासारखे असणे आवश्यक आहे. समीकरणाची एक बाजू 0 वर सेट करा.
   • एक कार्य:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • शून्यावर सेट करा:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 परिणामी डब्याला कारक बनवा. मागील विभागात वर्णन केल्याप्रमाणे हे करा. सर्वात मोठा सामान्य घटक (GCD) शोधा, द्विपदीच्या दोन्ही संज्ञा त्याद्वारे विभाजित करा आणि नंतर घटक कोष्ठकाच्या बाहेर हलवा.
   • एक कार्य:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • शून्यावर सेट करा:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • घटक:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 प्रत्येक घटक शून्यावर सेट करा. परिणामी अभिव्यक्तीमध्ये, 2y हे 4 - y ने गुणाकार केले जाते आणि हे उत्पादन शून्याच्या बरोबरीचे आहे. कोणतीही अभिव्यक्ती (किंवा संज्ञा) शून्याने गुणाकार केल्याने, 2y किंवा 4 - y हे 0 आहे. "Y" शोधण्यासाठी परिणामी एकपद आणि द्विपद शून्यावर सेट करा.
   • एक कार्य:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • शून्यावर सेट करा:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • घटक:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • दोन्ही घटक 0 वर सेट करा:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 अंतिम उत्तर (किंवा उत्तरे) शोधण्यासाठी परिणामी समीकरणे सोडवा. प्रत्येक घटक शून्याशी समतुल्य असल्याने, समीकरणात अनेक उपाय असू शकतात. आमच्या उदाहरणात:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 तुमचे उत्तर तपासा. हे करण्यासाठी, मूळ मूल्ये मूळ समीकरणात बदला. जर समानता खरी असेल तर निर्णय योग्य आहे. "Y" ऐवजी सापडलेल्या मूल्यांची जागा घ्या. आमच्या उदाहरणात, y = 0 आणि y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$हा योग्य निर्णय आहे
   • ${ प्रदर्शन शैली 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ प्रदर्शन शैली 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$आणि हा योग्य निर्णय आहे

3 पैकी 3 भाग: जटिल समस्या सोडवणे

1. 1 लक्षात ठेवा की व्हेरिएबलची संज्ञा देखील कारक ठरू शकते, जरी व्हेरिएबलला पॉवरमध्ये वाढवले ​​गेले. फॅक्टरिंग करताना, आपल्याला एकपदी शोधणे आवश्यक आहे जे द्विपदातील प्रत्येक सदस्याला अविभाज्यपणे विभाजित करते. उदाहरणार्थ, मोनोमियल ${ displaystyle x ^ {4}}$ गुणांकित केले जाऊ शकते ${ displaystyle x * x * x * x}$... म्हणजेच, द्विपदीच्या दुसऱ्या टर्ममध्येही "x" व्हेरिएबल असेल, तर "x" कंसातून बाहेर काढता येईल. अशा प्रकारे, व्हेरिएबल्सला पूर्णांक म्हणून हाताळा. उदाहरणार्थ:
   • द्विपदातील दोन्ही सदस्य ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ "टी" समाविष्ट आहे, म्हणून "टी" कंसातून काढले जाऊ शकते: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • तसेच, पॉवरमध्ये वाढलेला व्हेरिएबल कंसातून बाहेर काढला जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ, द्विपदातील दोन्ही सदस्य ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ समाविष्ट ${ displaystyle x ^ {2}}$, म्हणून ${ displaystyle x ^ {2}}$ कंसातून बाहेर काढले जाऊ शकते: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 द्विपद मिळवण्यासाठी तत्सम अटी जोडा किंवा वजा करा. उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती दिली ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हे एक बहुपद आहे, परंतु खरं तर, हे अभिव्यक्ती द्विपद मध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते. समान अटी जोडा: 6 आणि 14 (व्हेरिएबल समाविष्ट करू नका), आणि 2x आणि 3x (समान व्हेरिएबल "x"). या प्रकरणात, फॅक्टरिंगची प्रक्रिया सुलभ केली जाईल:
   • मूळ अभिव्यक्ती:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • सदस्यांना आदेश द्या:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • तत्सम अटी जोडा:${ प्रदर्शन शैली 5x + 20}$
   • GCD शोधा:${ प्रदर्शन शैली 5 (x) +5 (4)}$
   • घटक:${ प्रदर्शन शैली 5 (x + 4)}$
3. 3 परिपूर्ण चौरसांमधील फरक लक्षात घ्या. एक परिपूर्ण वर्ग म्हणजे एक संख्या ज्याचे वर्गमूळ एक पूर्णांक आहे, उदाहरणार्थ ${ प्रदर्शन शैली 9}$${ प्रदर्शन शैली (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ प्रदर्शन शैली (x * x)}$ आणि अगदी ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... जर द्विपद म्हणजे परिपूर्ण चौरसांचा फरक असेल, उदाहरणार्थ, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, नंतर ते सूत्रानुसार गुणांकित केले जाते:
   • चौरस सूत्रातील फरक:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • एक कार्य:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • वर्गमूळ काढा:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • सूत्रात सापडलेल्या मूल्यांची जागा घ्या: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 पूर्ण चौकोनी तुकड्यांमधील फरक लक्षात घ्या. जर द्विपद पूर्ण क्यूब्सचा फरक असेल, उदाहरणार्थ, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, नंतर ते एक विशेष सूत्र वापरून गुणांकित केले जाते. या प्रकरणात, द्विपदातील प्रत्येक सदस्याकडून क्यूब रूट काढणे आवश्यक आहे आणि सूत्रात सापडलेल्या मूल्यांची जागा घेणे आवश्यक आहे.
   • चौकोनी तुकड्यांमधील फरकाचे सूत्र:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • एक कार्य:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • क्यूबिक मुळे काढा:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • सूत्रात सापडलेल्या मूल्यांची जागा घ्या: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 पूर्ण चौकोनी तुकड्यांची बेरीज करा. परिपूर्ण चौरसाच्या बेरीजच्या विपरीत, पूर्ण चौकोनांची बेरीज, उदाहरणार्थ, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, एक विशेष सूत्र वापरून गुणांकित केले जाऊ शकते. हे क्यूब्समधील फरकाच्या सूत्रासारखे आहे, परंतु चिन्हे उलट आहेत. सूत्र अगदी सोपे आहे - ते वापरण्यासाठी, समस्येमध्ये पूर्ण चौकोनांची बेरीज शोधा.
   • चौकोनी तुकड्यांच्या बेरीजचे सूत्र:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • एक कार्य:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • क्यूबिक मुळे काढा:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • सूत्रात सापडलेल्या मूल्यांची जागा घ्या: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

टिपा

• कधीकधी द्विपद सदस्यांना सामान्य विभाजक नसतो. काही कार्यांमध्ये, सदस्यांना सरलीकृत स्वरूपात सादर केले जाते.
• जर तुम्हाला लगेच GCD सापडत नसेल, तर छोट्या संख्येने भाग करून सुरू करा. उदाहरणार्थ, जर तुम्हाला 32 आणि 16 संख्यांची जीसीडी 16 आहे असे दिसत नसेल, तर दोन्ही संख्यांना 2 ने विभाजित करा. तुम्हाला 16 आणि 8 मिळतील; या संख्या 8 ने विभागल्या जाऊ शकतात. आता तुम्हाला 2 आणि 1 मिळतील; ही संख्या कमी करता येत नाही. अशा प्रकारे, हे स्पष्ट आहे की एक मोठी संख्या आहे (8 आणि 2 च्या तुलनेत), जी दोन दिलेल्या संख्यांचा सामान्य विभाजक आहे.
• लक्षात घ्या की सहाव्या क्रमांकाच्या अटी (6 च्या घातांकाने, उदाहरणार्थ x) दोन्ही परिपूर्ण चौरस आणि परिपूर्ण चौकोनी आहेत. अशा प्रकारे, सहाव्या क्रमांकाच्या अटींसह द्विपदांसाठी, उदाहरणार्थ, x - 64, कोणीही (कोणत्याही क्रमाने) चौरसाचा फरक आणि क्यूबच्या फरकासाठी सूत्र लागू करू शकतो. परंतु द्विपदीसह अधिक अचूकपणे विघटित होण्यासाठी प्रथम चौरसांच्या फरकासाठी सूत्र लागू करणे चांगले आहे.

चेतावणी

• एक द्विपद, जो परिपूर्ण चौकोनांची बेरीज आहे, त्याला गुणन करता येत नाही.