सामग्री

• पावले
• 3 पैकी 1 भाग: मॅट्रिक्स हस्तांतरित करा
• 3 पैकी 2 भाग: स्थानांतरण गुणधर्म
• 3 पैकी 3 भाग: जटिल घटकांसह हर्मिशियन संयुग्म मॅट्रिक्स
• टिपा

जर तुम्ही मॅट्रीसेसचे हस्तांतरण कसे करावे हे शिकलात तर तुम्हाला त्यांच्या संरचनेची अधिक चांगली समज होईल. तुम्हाला चौरस मॅट्रीसेस आणि त्यांच्या सममितीबद्दल आधीच माहिती असू शकते जेणेकरून तुम्हाला ट्रान्सपोझिशनवर प्रभुत्व मिळवता येईल. इतर गोष्टींबरोबरच, ट्रान्सपोजिशन वेक्टरला मॅट्रिक्स स्वरूपात रूपांतरित करण्यास आणि वेक्टर उत्पादने शोधण्यात मदत करते. गुंतागुंतीच्या मॅट्रिसेससह काम करताना, हर्मीटियन-कॉंज्युगेट (कॉंज्युगेट-ट्रान्सपोझ) मॅट्रिसेस आपल्याला विविध प्रकारच्या समस्यांचे निराकरण करण्यात मदत करू शकतात.

पावले

3 पैकी 1 भाग: मॅट्रिक्स हस्तांतरित करा

1. 1 कोणतेही मॅट्रिक्स घ्या. पंक्ती आणि स्तंभांची संख्या विचारात न घेता कोणताही मॅट्रिक्स बदलला जाऊ शकतो. बर्याचदा स्क्वेअर मॅट्रिसेसमध्ये समान संख्या असलेल्या पंक्ती आणि स्तंभ हस्तांतरित करणे आवश्यक असते, म्हणून साधेपणासाठी, खालील मॅट्रिक्सचे उदाहरण म्हणून विचार करा:
   • मॅट्रिक्स अ =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 थेट मॅट्रिक्सची पहिली पंक्ती ट्रान्सपोज्ड मॅट्रिक्सचा पहिला स्तंभ म्हणून कल्पना करा. स्तंभ म्हणून फक्त पहिली ओळ लिहा:
   • ट्रान्सपोज्ड मॅट्रिक्स = ए
   • मॅट्रिक्स A चा पहिला स्तंभ:
     1
     2
     3
3. 3 उर्वरित ओळींसाठी असेच करा. मूळ मॅट्रिक्सची दुसरी पंक्ती ट्रान्सपोज्ड मॅट्रिक्सचा दुसरा स्तंभ बनेल. सर्व पंक्तींचे स्तंभांमध्ये भाषांतर करा:
   • अ =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 नॉन-स्क्वेअर मॅट्रिक्स हस्तांतरित करण्याचा प्रयत्न करा. कोणताही आयताकृती मॅट्रिक्स त्याच प्रकारे हस्तांतरित केला जाऊ शकतो. फक्त पहिली ओळ पहिल्या स्तंभाप्रमाणे, दुसरी ओळ दुसऱ्या स्तंभासारखी लिहा वगैरे. खालील उदाहरणामध्ये, मूळ मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक पंक्तीला त्याच्या स्वतःच्या रंगाने चिन्हांकित केले आहे जेणेकरून हस्तांतरित केल्यावर त्याचे रूपांतर कसे होते हे स्पष्ट होईल:
   • मॅट्रिक्स झेड =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • मॅट्रिक्स झेड =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 चला ट्रान्सपोझिशन गणितीय नोटेशनच्या स्वरूपात व्यक्त करूया. ट्रान्सपोजिशनची कल्पना जरी अगदी सोपी असली तरी ती एक कठोर सूत्र म्हणून लिहून ठेवणे चांगले. मॅट्रिक्स नोटेशनसाठी कोणत्याही विशेष अटींची आवश्यकता नाही:
   • समजा एक मॅट्रिक्स B समाविष्ट आहे मी x n घटक (m पंक्ती आणि n स्तंभ), नंतर हस्तांतरित मॅट्रिक्स B हा एक संच आहे n x मी घटक (n पंक्ती आणि m स्तंभ).
   • प्रत्येक घटकासाठी b_xy (ओळ x आणि स्तंभ y) मॅट्रिक्स B मध्ये मॅट्रिक्स B मध्ये समतुल्य घटक b आहे_yx (ओळ y आणि स्तंभ x).

3 पैकी 2 भाग: स्थानांतरण गुणधर्म

1. 1 (एम = एम. दुहेरी हस्तांतरणानंतर, मूळ मॅट्रिक्स प्राप्त होतो. हे अगदी स्पष्ट आहे, कारण जेव्हा आपण पुन्हा स्थानांतरित करता, तेव्हा आपण पंक्ती आणि स्तंभ पुन्हा बदलता, परिणामी मूळ मॅट्रिक्स.
2. 2 मुख्य कर्णभोवती मॅट्रिक्स मिरर करा. स्क्वेअर मॅट्रिसेस मुख्य कर्णशी संबंधित "फ्लिप" केले जाऊ शकतात. शिवाय, मुख्य कर्ण बाजूचे घटक (क पासून₁₁ मॅट्रिक्सच्या तळाशी-उजव्या कोपऱ्यावर) जागेवर राहतात आणि उर्वरित घटक या कर्णच्या दुसऱ्या बाजूला जातात आणि त्यापासून त्याच अंतरावर राहतात.
   • जर तुम्हाला या पद्धतीची कल्पना करणे कठीण वाटत असेल तर कागदाचा तुकडा घ्या आणि 4x4 मॅट्रिक्स काढा. नंतर मुख्य कर्णशी संबंधित त्याच्या बाजूच्या घटकांची पुनर्रचना करा. त्याच वेळी, घटकांचा शोध घ्या a₁₄ आणि अ₄₁... हस्तांतरित केल्यावर, ते साइड घटकांच्या इतर जोड्यांप्रमाणे बदलले जाणे आवश्यक आहे.
3. 3 सममितीय मॅट्रिक्स हस्तांतरित करा. अशा मॅट्रिक्सचे घटक मुख्य कर्ण बद्दल सममितीय असतात. जर तुम्ही वरील ऑपरेशन केले आणि सममितीय मॅट्रिक्स "फ्लिप" केले तर ते बदलणार नाही. सर्व घटक समान घटकांमध्ये बदलतील. खरं तर, दिलेला मॅट्रिक्स सममितीय आहे की नाही हे निर्धारित करण्याचा हा मानक मार्ग आहे. जर समानता A = A धरली तर मॅट्रिक्स A सममित आहे.

3 पैकी 3 भाग: जटिल घटकांसह हर्मिशियन संयुग्म मॅट्रिक्स

1. 1 एक जटिल मॅट्रिक्स विचारात घ्या. एक जटिल मॅट्रिक्सचे घटक वास्तविक आणि काल्पनिक भागांनी बनलेले असतात. असे मॅट्रिक्स देखील हस्तांतरित केले जाऊ शकते, जरी बहुतेक व्यावहारिक अनुप्रयोगांमध्ये संयुग्म-हस्तांतरित किंवा हर्मिशियन-संयुग्म मॅट्रिक्स वापरले जातात.
   • तेथे मॅट्रिक्स C = द्या
     2+मी     3-2मी
     0+मी     5+0मी
2. 2 जटिल संयुग्म संख्यांसह घटक पुनर्स्थित करा. जटिल संयोगाच्या ऑपरेशनमध्ये, वास्तविक भाग समान राहतो आणि काल्पनिक भाग त्याचे चिन्ह उलट बदलतो. हे मॅट्रिक्सच्या चारही घटकांसह करू.
   • जटिल संयुग्म मॅट्रिक्स C * = शोधा
     2-मी     3+2मी
     0-मी     5-0मी
3. 3 आम्ही परिणामी मॅट्रिक्स हस्तांतरित करतो. सापडलेले कॉम्प्लेक्स कॉंजुगेट मॅट्रिक्स घ्या आणि फक्त ते हस्तांतरित करा. परिणामी, आम्हाला एक संयुग्म-हस्तांतरित (हर्मिशियन-संयुग्म) मॅट्रिक्स मिळते.
   • conjugate-transposed matrix C =
     2-मी        0-मी
     3+2मी     5-0मी

टिपा

• या लेखात, मॅट्रिक्स A शी संबंधित ट्रान्सपोज्ड मॅट्रिक्स A म्हणून दर्शविले गेले आहे. A 'किंवा not हे नोटेशन देखील आहे.
• या लेखात, हर्मिटियन-संयुग्म मॅट्रिक्स ए मॅट्रिक्सच्या संदर्भात ए म्हणून दर्शविले गेले आहे, जे रेखीय बीजगणित मध्ये एक सामान्य नोटेशन आहे. क्वांटम मेकॅनिक्समध्ये, नोटेशन ए सहसा वापरले जाते.कधीकधी एक हर्मिटीयन संयुग्म मॅट्रिक्स A *स्वरूपात लिहिले जाते, परंतु हे संकेतन टाळणे चांगले आहे, कारण हे एक जटिल संयुग्म मॅट्रिक्स लिहिण्यासाठी देखील वापरले जाते.