सामग्री

• पावले
• 3 पैकी 1 पद्धत: एकल यादृच्छिक घटनेची संभाव्यता
• 3 पैकी 2 पद्धत: एकाधिक यादृच्छिक घटनांची संभाव्यता
• 3 पैकी 3 पद्धत: संभाव्यतेला संभाव्यतेमध्ये रूपांतरित करणे
• टिपा

संभाव्यता विशिष्ट संख्येच्या पुनरावृत्तीसह इव्हेंटची शक्यता दर्शवते. संभाव्य परिणामांची संख्या ही एक किंवा अधिक परिणामांसह संभाव्य घटनांच्या एकूण संख्येने विभागली जाते. समस्येचे वैयक्तिक संभाव्यतेमध्ये विभाजन करून आणि नंतर या संभाव्यतांना गुणाकार करून अनेक घटनांची संभाव्यता मोजली जाते.

पावले

3 पैकी 1 पद्धत: एकल यादृच्छिक घटनेची संभाव्यता

1. 1 परस्पर अनन्य परिणामांसह एक कार्यक्रम निवडा. संभाव्यतेची गणना फक्त तेव्हाच केली जाऊ शकते जेव्हा प्रश्नातील घटना एकतर घडते किंवा घडत नाही. कोणत्याही इव्हेंट आणि उलट परिणाम एकाच वेळी प्राप्त करणे अशक्य आहे. अशा घटनांची उदाहरणे म्हणजे गेम डाईवर 5 चा रोल किंवा शर्यतीत विशिष्ट घोड्याचा विजय. एकतर पाच गुंडाळलेले आहेत किंवा नाही; एक विशिष्ट घोडा आधी येईल किंवा नाही.

   उदाहरणार्थ: "अशा घटनेच्या संभाव्यतेची गणना करणे अशक्य आहे: डायच्या एका रोलसह, 5 आणि 6 एकाच वेळी लावले जातील.

   
   
2. 2 घडणाऱ्या सर्व संभाव्य घटना आणि परिणाम ओळखा. समजा तुम्हाला 6-अंकी गेम डायवर 3 आणले जाईल याची शक्यता निश्चित करायची आहे. एक प्रकारची तीन एक घटना आहे आणि आम्हाला माहित आहे की 6 पैकी कोणतीही संख्या येऊ शकते, संभाव्य परिणामांची संख्या सहा आहे. अशा प्रकारे, आम्हाला माहित आहे की या प्रकरणात 6 संभाव्य परिणाम आणि एक घटना आहे, ज्याची संभाव्यता आपण ठरवू इच्छितो. खाली आणखी दोन उदाहरणे आहेत.
   • उदाहरण 1. आठवड्याच्या शेवटी येणारा दिवस तुम्ही यादृच्छिकपणे निवडण्याची शक्यता काय आहे? या प्रकरणात, इव्हेंट "आठवड्याच्या शेवटी येणाऱ्या दिवसाची निवड" आहे आणि संभाव्य परिणामांची संख्या आठवड्याच्या दिवसांच्या संख्येइतकी आहे, म्हणजे सात.
   • उदाहरण 2. बॉक्समध्ये 4 निळे, 5 लाल आणि 11 पांढरे गोळे आहेत. जर तुम्ही यादृच्छिक चेंडू बॉक्सच्या बाहेर काढला तर तो लाल होण्याची शक्यता किती आहे? इव्हेंट "लाल बॉल बाहेर काढणे" आहे आणि संभाव्य परिणामांची संख्या एकूण बॉलच्या संख्येइतकी आहे, म्हणजे वीस.
3. 3 संभाव्य परिणामांच्या संख्येने घटनांची संख्या विभाजित करा. हे एकाच कार्यक्रमाची शक्यता निश्चित करेल. जर आपण डाय डायल रोल वर 3 चा विचार केला तर इव्हेंट्सची संख्या 1 आहे (3 डायच्या फक्त एका चेहऱ्यावर आहे), आणि एकूण निकालांची संख्या 6 आहे. परिणाम 1/6, 0.166 चे गुणोत्तर आहे, किंवा 16.6%. वरील दोन उदाहरणांसाठी इव्हेंटची संभाव्यता खालीलप्रमाणे आहे:
   • उदाहरण 1. आठवड्याच्या शेवटी येणारा दिवस तुम्ही यादृच्छिकपणे निवडण्याची शक्यता काय आहे? एका आठवड्यात दोन दिवस सुट्टी असल्याने इव्हेंटची संख्या 2 आहे आणि एकूण निकालांची संख्या 7 आहे. अशा प्रकारे, संभाव्यता 2/7 आहे. प्राप्त झालेला निकाल 0.285 किंवा 28.5%म्हणूनही लिहिला जाऊ शकतो.
   • उदाहरण 2. बॉक्समध्ये 4 निळे, 5 लाल आणि 11 पांढरे गोळे आहेत. जर तुम्ही एक यादृच्छिक चेंडू बॉक्सच्या बाहेर काढला तर तो लाल होण्याची शक्यता किती आहे? इव्हेंटची संख्या 5 आहे, कारण बॉक्समध्ये 5 लाल बॉल आहेत आणि एकूण निकालांची संख्या 20 आहे. संभाव्यता शोधा: 5/20 = 1/4. मिळवलेला निकाल 0.25 किंवा 25%म्हणून नोंदवला जाऊ शकतो.
4. 4 सर्व संभाव्य घटनांची संभाव्यता जोडा आणि बेरीज 1 च्या बरोबरीची आहे का ते तपासा. सर्व संभाव्य घटनांची एकूण संभाव्यता 1, किंवा 100%असावी.जर तुम्ही १००%अपयशी ठरलात, तर तुमची चूक होण्याची शक्यता आहे आणि एक किंवा अधिक संभाव्य कार्यक्रम चुकले आहेत. आपली गणना तपासा आणि आपण सर्व संभाव्य परिणामांमध्ये घटक असल्याचे सुनिश्चित करा.
   • उदाहरणार्थ, 3 ला डाय रोलवर आणण्याची शक्यता 1/6 आहे. या प्रकरणात, उर्वरित पाचपैकी इतर कोणत्याही अंकातून बाहेर पडण्याची शक्यता देखील 1/6 आहे. परिणामी, आम्हाला 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, म्हणजे 100%मिळते.
   • जर तुम्ही, उदाहरणार्थ, डाईवरील 4 क्रमांकाबद्दल विसरलात, संभाव्यता जोडल्यास तुम्हाला फक्त 5/6, किंवा 83%मिळेल, जे एकाच्या बरोबरीचे नाही आणि त्रुटी दर्शवते.
5. 5 अशक्य परिणामाची संभाव्यता 0 म्हणून कल्पना करा. याचा अर्थ असा की ही घटना घडू शकत नाही आणि त्याची संभाव्यता 0. आहे. अशा प्रकारे, आपण अशक्य घटना विचारात घेऊ शकता.
   • उदाहरणार्थ, जर तुम्ही 2020 मध्ये सोमवारी ईस्टर येतो याची संभाव्यता मोजली तर तुम्हाला 0 मिळेल कारण इस्टर नेहमी रविवारी साजरा केला जातो.

3 पैकी 2 पद्धत: एकाधिक यादृच्छिक घटनांची संभाव्यता

1. 1 स्वतंत्र घटनांचा विचार करताना, प्रत्येक संभाव्यतेची स्वतंत्रपणे गणना करा. एकदा आपण इव्हेंटची संभाव्यता काय आहे हे ठरवल्यानंतर, त्यांची स्वतंत्रपणे गणना केली जाऊ शकते. समजा तुम्हाला अशी संभाव्यता जाणून घ्यायची आहे की जेव्हा तुम्ही सलग दोनदा फासे लाटता, 5. आम्हाला माहित आहे की एक पाच मिळण्याची शक्यता 1/6 आहे आणि दुसरे पाच मिळण्याची शक्यता देखील 1/6 आहे. पहिला निकाल दुसऱ्याशी संबंधित नाही.
   • फाइव्हचे अनेक हिट म्हटले जातात स्वतंत्र घटना, जे पहिल्यांदा रोल केले आहे त्याचा दुसऱ्या इव्हेंटवर परिणाम होत नाही.
2. 2 आश्रित घटनांच्या संभाव्यतेची गणना करताना मागील निकालांच्या प्रभावाचा विचार करा. जर पहिली घटना दुसऱ्या निकालाच्या संभाव्यतेवर परिणाम करते, तर ते संभाव्यतेची गणना करण्याबद्दल बोलतात आश्रित घटना... उदाहरणार्थ, जर तुम्ही 52 कार्डांच्या डेकमधून दोन कार्डे निवडली, तर पहिले कार्ड काढल्यानंतर, डेकची रचना बदलते, जे दुसऱ्या कार्डाच्या निवडीवर परिणाम करते. दोन आश्रित घटनांच्या दुसऱ्या संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, दुसऱ्या घटनेच्या संभाव्यतेची गणना करताना संभाव्य परिणामांच्या संख्येतून 1 वजा करा.
   • उदाहरण 1... पुढील घटनेचा विचार करा: एकामागून एक यादृच्छिकपणे डेकमधून दोन कार्डे काढली जातात. दोन्ही कार्डे क्लबची असण्याची शक्यता काय आहे? पहिल्या कार्डमध्ये क्लब सूट असण्याची शक्यता 13/52 किंवा 1/4 आहे, कारण डेकमध्ये समान सूटची 13 कार्डे आहेत.
     • त्यानंतर, दुसरे कार्ड क्लबचे असण्याची शक्यता 12/51 आहे, कारण क्लबचे एक कार्ड आता राहिले नाही. कारण पहिली घटना दुसऱ्यावर परिणाम करते. जर तुम्ही तीन क्लब काढले आणि ते परत ठेवले नाहीत, तर डेकमध्ये एक कमी कार्ड असेल (52 ऐवजी 51).
   • उदाहरण 2. बॉक्समध्ये 4 निळे, 5 लाल आणि 11 पांढरे गोळे आहेत. आपण यादृच्छिकपणे तीन चेंडू निवडल्यास, पहिला लाल, दुसरा निळा आणि तिसरा पांढरा होण्याची शक्यता काय आहे?
     • पहिला चेंडू लाल होण्याची शक्यता 5/20 किंवा 1/4 आहे. दुसरा चेंडू निळा असण्याची शक्यता 4/19 आहे, कारण बॉक्समध्ये एक कमी चेंडू शिल्लक आहे, पण तरीही 4 निळा बॉल शेवटी, तिसरा चेंडू पांढरा होण्याची शक्यता 11/18 आहे, कारण आम्ही आधीच दोन चेंडू काढले आहेत.
3. 3 प्रत्येक वैयक्तिक कार्यक्रमाची संभाव्यता गुणाकार करा. आपण स्वतंत्र किंवा आश्रित घटना, तसेच परिणामांची संख्या (2, 3 किंवा 10 असू शकतात) हाताळत आहात की नाही याची पर्वा न करता, प्रत्येक प्रश्नातील संभाव्यतेची गुणाकार करून आपण संपूर्ण संभाव्यता मोजू शकता इतर परिणामी, तुम्हाला पुढील अनेक कार्यक्रमांची संभाव्यता मिळेल एक एक करून... उदाहरणार्थ, कार्य आहे सलग दोनदा फासे फिरवताना संभाव्यता शोधा, 5... या दोन स्वतंत्र घटना आहेत, त्या प्रत्येकाची संभाव्यता 1/6 आहे. अशा प्रकारे, दोन्ही घटनांची संभाव्यता 1/6 x 1/6 = 1/36, म्हणजेच 0.027 किंवा 2.7%आहे.
   • उदाहरण 1. एकामागून एक यादृच्छिकपणे डेकमधून दोन कार्डे काढली जातात.दोन्ही कार्डे क्लबची असण्याची शक्यता काय आहे? पहिल्या कार्यक्रमाची संभाव्यता 13/52 आहे. दुसऱ्या कार्यक्रमाची संभाव्यता 12/51 आहे. एकूण संभाव्यता शोधा: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, जे 0.058 किंवा 5.8%आहे.
   • उदाहरण 2. बॉक्समध्ये 4 निळे, 5 लाल आणि 11 पांढरे गोळे आहेत. जर तुम्ही बॉक्समधून एकामागून तीन चेंडू काढले तर पहिला लाल, दुसरा निळा आणि तिसरा पांढरा होण्याची शक्यता काय आहे? पहिल्या कार्यक्रमाची संभाव्यता 5/20 आहे. दुसऱ्या कार्यक्रमाची संभाव्यता 4/19 आहे. तिसऱ्या कार्यक्रमाची संभाव्यता 11/18 आहे. तर एकूण संभाव्यता 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032, किंवा 3.2%आहे.

3 पैकी 3 पद्धत: संभाव्यतेला संभाव्यतेमध्ये रूपांतरित करणे

1. 1 अंकामध्ये संधीचा सकारात्मक अंश म्हणून विचार करा. चला रंगीत बॉलसह आपल्या उदाहरणाकडे परत जाऊया. समजा तुम्हाला चेंडूच्या संपूर्ण संचातून (20) एक पांढरा चेंडू (एकूण 11 आहेत) मिळण्याची शक्यता जाणून घ्यायची आहे. एखादी घटना घडण्याची शक्यता ही संभाव्यतेच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीची आहे होईल, संभाव्यतेसाठी नाही होईल. बॉक्समध्ये 11 पांढरे चेंडू आणि वेगळ्या रंगाचे 9 चेंडू असल्याने, पांढरा चेंडू काढण्याची क्षमता 11: 9 च्या गुणोत्तराइतकी आहे.
   • 11 क्रमांक हा पांढरा बॉल मारण्याची संभाव्यता दर्शवितो आणि 9 नंबर वेगळ्या रंगाचा बॉल काढण्याची संभाव्यता आहे.
   • अशा प्रकारे, आपल्याला पांढरा बॉल मिळण्याची शक्यता जास्त आहे.
2. 2 संभाव्यतेला संभाव्यतेमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी ही मूल्ये जोडा. संधीचे रूपांतर करणे अगदी सोपे आहे. प्रथम, ते दोन स्वतंत्र कार्यक्रमांमध्ये विभागले गेले पाहिजे: पांढरा बॉल (11) काढण्याची संधी आणि वेगळ्या रंगाचा बॉल (9) काढण्याची संधी. संभाव्य घटनांची एकूण संख्या शोधण्यासाठी संख्या एकत्र करा. प्रत्येक संभाव्य परिणामांच्या संख्येसह संभाव्यता म्हणून प्रत्येक गोष्ट लिहा.
   • तुम्ही 11 प्रकारे पांढरा बॉल आणि 9 वेगळ्या रंगाचा बॉल काढू शकता. अशा प्रकारे, एकूण घटनांची संख्या 11 + 9 आहे, म्हणजे 20.
3. 3 एखाद्या इव्हेंटच्या संभाव्यतेची गणना करत असल्यासारखी संधी शोधा. आम्ही आधीच ठरवल्याप्रमाणे, एकूण 20 शक्यता आहेत आणि 11 प्रकरणांमध्ये तुम्हाला पांढरा बॉल मिळू शकतो. अशाप्रकारे, पांढरा चेंडू काढण्याची संभाव्यता इतर कोणत्याही एकाच घटनेच्या संभाव्यतेप्रमाणे मोजली जाऊ शकते. 11 (सकारात्मक परिणामांची संख्या) 20 ने विभाजित करा (सर्व संभाव्य घटनांची संख्या) आणि आपण संभाव्यता निश्चित कराल.
   • आमच्या उदाहरणात, पांढरा बॉल मारण्याची शक्यता 11/20 आहे. परिणामी, आम्हाला 11/20 = 0.55, किंवा 55%मिळते.

टिपा

• एखादी घटना घडण्याची शक्यता वर्णन करण्यासाठी गणितज्ञ सहसा "सापेक्ष संभाव्यता" हा शब्द वापरतात. "सापेक्ष" व्याख्या म्हणजे परिणाम 100% हमी नाही. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही 100 वेळा नाणे पलटवले तर, कदाचित, नक्की 50 डोके आणि 50 शेपटी सोडली जाणार नाहीत. सापेक्ष संभाव्यता हे विचारात घेते.
• कोणत्याही घटनेची संभाव्यता नकारात्मक असू शकत नाही. जर तुम्हाला नकारात्मक मूल्य मिळाले तर तुमची गणना तपासा.
• बहुतेकदा, संभाव्यता अपूर्णांक, दशांश, टक्केवारी किंवा 1-10 च्या स्केलवर लिहिल्या जातात.
• आपल्याला हे जाणून घेणे उपयुक्त वाटेल की क्रीडा आणि सट्टेबाजीमध्ये सट्टेबाजीची शक्यता विरोधाभास म्हणून व्यक्त केली जाते, याचा अर्थ असा की अहवाल दिलेल्या घटनेची शक्यता प्रथम क्रमांकावर आहे आणि अपेक्षित नसलेल्या इव्हेंटची शक्यता दुसऱ्या क्रमांकावर आहे. हे गोंधळात टाकणारे असू शकते, परंतु जर तुम्ही कोणत्याही क्रीडा स्पर्धेवर पैज लावणार असाल तर हे लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे.