सामग्री

• पाऊल टाकण्यासाठी
• भाग 3 पैकी 1: एक असाइनमेंट काम करणे
• भाग 3 पैकी 2: वारंवार अंदाज करून घन मूळ शोधणे
• टिपा
• चेतावणी
• गरजा

कॅल्क्युलेटर वापरुन, कोणत्याही संख्येच्या क्यूब रूटची गणना करणे काही की दाबण्यापेक्षा जास्त नसते. परंतु कदाचित आपल्याकडे कॅल्क्युलेटर नाही किंवा आपल्या घन रूट फ्रीहँडवर कार्य करण्याची क्षमता असलेल्या आपल्या मित्रांना प्रभावित करू इच्छित आहात. अशी एक पद्धत आहे जी पहिल्या दृष्टीक्षेपात थोडीशी कठीण दिसते, परंतु थोड्या सरावासह अगदी सहज कार्य करते. अंकगणित कौशल्याच्या क्षेत्रातील आणि घन संख्यांची गणना करण्यासाठी काही तयार ज्ञान असणे उपयुक्त आहे.

पाऊल टाकण्यासाठी

भाग 3 पैकी 1: एक असाइनमेंट काम करणे

1. समस्या काढा. एका संख्येचे क्यूब रूट निराकरण करणे येथे आणि त्याठिकाणी काही फरक असलेल्या लांब प्रभागाचे निराकरण करण्यासारखे दिसेल. पहिली पायरी म्हणजे स्टेटमेंट बरोबर लिहा.
   • आपण ज्याचे घन मूळ निर्धारित करू इच्छित आहात त्या नंबरवर लिहा. स्वल्पविराम प्रारंभ बिंदू म्हणून, तीन गटात क्रमांक लिहा. या उदाहरणात आपण 10 चे क्यूब रूट निश्चित करणार आहात. हे 10.000000 म्हणून लिहा. उत्तराच्या अचूकतेसाठी शून्य आवश्यक आहेत.
   • संख्येवर घन चौरस मूळ काढा. हे लांब प्रभागातील रेषाप्रमाणेच समान उद्देश करते. फरक फक्त चिन्हाचा आकार आहे.
   • ओळीच्या वर स्वल्पविराम ठेवा, मूळ संख्येमध्ये थेट स्वल्पविरामांच्या वर.
2. युनिट्सचे चौकोनी तुकडे जाणून घ्या. आपण हे आपल्या गणितामध्ये वापरणार आहात. हे खालील तृतीय शक्ती संबंधित:
   • ${ डिस्प्लेस्टाईल 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$आपल्या उत्तराचा पहिला अंक निश्चित करा. क्यूब वर, अशी एक संख्या निवडा जी सर्वात मोठ्या संभाव्य परिणामाची पूर्तता करेल जी तीन संख्यांच्या पहिल्या संचापेक्षा कमी असेल.
     • या उदाहरणात, तीन संख्यांचा पहिला गट एकत्र गुणाकार 10 इतका आहे. 10 पेक्षा कमी असलेले सर्वात मोठे घन शोधा. ते 8 आहे, आणि त्याचे घन मूळ 2 आहे.
     • चौरस मुळाच्या वर, क्रमांक 10 वर, क्रमांक 2 लिहा. चे मूल्य लिहा $डिस्प्लेस्टाईल 2 ^ {3}$पुढील अंकासाठी सेटअप करा. उर्वरित तीन क्रमांकाचा पुढील गट लिहा आणि परिणामी संख्येच्या डावीकडे एक छोटी अनुलंब रेषा काढा. आपल्या घन मूळच्या द्रावणातील पुढील अंक निर्धारित करण्यासाठी आम्ही वापरत असलेली ही संख्या असेल. या उदाहरणात, हे 2000 होते, जे आपण खाली घेतलेल्या तीन शून्यांच्या गटासह मागील वजाबाकीच्या उर्वरित 2 वरून तयार केले गेले आहे.
       • उभ्या रेषाच्या डावीकडे, तीन विभक्त क्रमांकाची बेरीज म्हणून पुढील विभाजकचे समाधान लिहा. खाली खाली असलेल्या चिन्हे असलेल्या तीन रिक्त जागा अधोरेखित करुन या क्रमांकासाठी रिक्त रिक्त स्थान दर्शवा.
     • पुढील विभाजक प्रारंभ करा. भागाच्या पहिल्या भागासाठी चौरस मूळ चिन्हाच्या वरील जे काही असेल त्यापेक्षा तीनशे पट चौरस लिहा. या प्रकरणात ते 2 आहे; 2 ^ 2 4 आणि 4 * 300 = 1200 आहे. प्रथम रिक्त जागेत आपले 1200 लिहा. सोल्यूशनच्या या चरणात विभाजक 1200 होते, शिवाय काहीतरी दुसरे जे आपण एका क्षणात गणना कराल.
     • आपल्या घन मूळात पुढील क्रमांक शोधा. आपण भागाकाराने (1200 चे आणखी काही) काय गुणाकार करू शकता ते निवडून पुढील निराकरणाचा पुढील अंक शोधा आणि त्यानंतर 2000 च्या उर्वरित वजा करा. हे फक्त 1 असू शकते, कारण 2 वेळा 1200 म्हणजेच 2400, जे 2000 पेक्षा मोठे आहे. चौरस रूट चिन्हाच्या पुढील भागावर नंबर 1 लिहा.
     • दुभाजक उर्वरित शोधा. सोल्यूशनच्या या चरणात विभाजक तीन भाग असतात. पहिला भाग आपल्याकडे आधीपासून असलेल्या 1200 चा आहे. विभक्त पूर्ण करण्यासाठी आपल्याला आता आणखी दोन अटी जोडाव्या लागतील.
       • आता चौरस रूट चिन्हाच्या वरच्या आपल्या सोल्यूशनमध्ये दोन अंकांपैकी प्रत्येकासाठी 3 वेळा 10 वेळा गणना करा. या सोप्या व्यायामासाठी, म्हणजे 3 * 10 * 2 * 1, जे 60 च्या बरोबरीचे आहे. आपल्याकडे आधीपासून असलेल्या 1200 मध्ये हे जोडा आणि आपल्याला 1260 मिळेल.
       • शेवटी, शेवटच्या अंकाचा वर्ग जोडा. या उदाहरणात ते 1 आहे; आणि 1 ^ 2 अजूनही आहे. म्हणून एकूण विभाजक 1200 + 60 + 1, किंवा 1261 आहे. हे उभ्या रेषाच्या डावीकडे लिहा.
     • गुणाकार आणि वजाबाकी. आपल्या सोल्यूशनचा शेवटचा अंक गुणाकार करुन द्रावणाच्या या भागाची गोल करा - या प्रकरणात, संख्या 1 - आपण नुकत्याच मोजलेल्या विभाजकाच्या (1261) वेळा. 1 * 1261 = 1261. 2000 च्या खाली हे लिहा आणि 739 मिळविण्यासाठी 1261 वजा करा.
     • अधिक अचूक उत्तरासाठी पुढे जाण्याचा निर्णय घ्या. प्रत्येक चरणातील वजाबाकी पूर्ण केल्यावर, आपले उत्तर पुरेसे आहे की नाही ते तपासावे. 10 च्या घन मुळासाठी, पहिल्या वजा नंतर, घन मूळ केवळ 2 होते, जे खरोखर अचूक नाही. आता, दुसर्‍या फेरीनंतर, समाधान 2.1 आहे.
       • आपण घन वापरुन या परिणामाची सुस्पष्टता तपासू शकता: 2.1 * 2.1 * 2.1. निकाल 9.261 आहे.
       • जर आपल्याला असे वाटत असेल की निकाल पुरेसा अचूक असेल तर आपण थांबवू शकता. आपल्याला अधिक अचूक उत्तर हवे असल्यास आपल्याला दुसर्‍या फे through्यात जावे लागेल.
     • पुढील फेरीसाठी विभाजक निश्चित करा. या प्रकरणात, अधिक सराव आणि अधिक अचूक उत्तरासाठी पुढील फेरीसाठी पुढील चरणांची पुनरावृत्ती कराः
       • पुढील तीन क्रमांकाचा गट खाली आणा. या प्रकरणात, हे तीन शून्य आहेत, जे उर्वरित 739 नंतर 739,000 बनतात.
       • सध्या चौरस मूळ चिन्हाच्या वर असलेल्या संख्येच्या चौरस 300 पट सह विभाजक प्रारंभ करा. हे आहे $डिस्प्लेस्टाईल 300 * 21 ^ {2}}$निकालाने विभाजक गुणाकार करा. या पुढील फेरीत विभाजक मोजल्यानंतर आणि आणखी एका अंशाने आपला सोल्यूशन विस्तृत केल्यानंतर, पुढीलप्रमाणे पुढे जा:
         • आपल्या सोल्यूशनच्या शेवटच्या अंकाद्वारे विभाजक गुणाकार करा. 135,475 * 5 = 677,375.
         • वजा करा. 739,000-677,375 = 61,625.
         • उपाय 2.15 पुरेसे अचूक आहे की नाही याचा विचार करा. त्याच्या घनची गणना करा आणि तुम्हाला मिळेल $डिस्प्लेस्टाईल 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$आपले अंतिम उत्तर लिहा. चौरस रूट वरील परिणाम घन मूळ आहे, तीन महत्त्वपूर्ण अंकांची अचूकता. या उदाहरणात, 10 चे घन मूळ 2.15 च्या समतुल्य आहे. 2.15 ^ 3 = 9.94 ची गणना करुन हे तपासा जे 10 पर्यंत पूर्ण केले जाऊ शकते. आपल्याला अधिक अचूक उत्तराची आवश्यकता असल्यास, समाधानी होईपर्यंत हे करत रहा.

भाग 3 पैकी 2: वारंवार अंदाज करून घन मूळ शोधणे

1. वरच्या आणि खालच्या मर्यादा सेट करण्यासाठी क्यूबिक नंबर वापरा. दिलेल्या संख्येच्या क्यूब रूटसाठी विचारले असता, आपल्या लक्ष्य संख्येपेक्षा जास्त नसावे, शक्य तितक्या जवळ असलेले घन निवडून प्रारंभ करा.
   • उदाहरणार्थ, आपण 600 चे घन मूळ शोधू इच्छित असल्यास, ते लक्षात ठेवा (किंवा एक घन घन वापरा) $डिस्प्लेस्टाईल 8 ^ {3} = 512}$पुढील अंकांचा अंदाज घ्या. आपण ठराविक क्यूबिक नंबरच्या आपल्या ज्ञानाद्वारे पहिला अंक हटविला. पुढील अंकी, 0 आणि 9 दरम्यानच्या संख्येचा अंदाज घ्या जेथे आपली लक्ष्य संख्या दोन मर्यादेच्या संख्येच्या दरम्यान येते.
     • उदाहरणार्थ समस्येमध्ये, 600 (आपली लक्ष्य संख्या) मर्यादा संख्या 512 आणि 729 च्या जवळपास अर्ध्या भागावर येते. म्हणून आपण आपला पुढील क्रमांक म्हणून 5 निवडा.
   • तिचा घन निश्चित करुन आपल्या अंदाजाची चाचणी घ्या. आपण लक्ष्य क्रमांकाच्या किती जवळ आहात हे शोधण्यासाठी आपण सध्या कार्य करीत असलेला अंदाज गुणाकार करण्याचा प्रयत्न करा.
     • या उदाहरणात, आपण गुणाकार करीत आहात $प्रदर्शन शैली 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$आपला अंदाज आवश्यकतेनुसार समायोजित करा. आपल्या नवीनतम अंदाजाच्या घन पर्यंत उठविल्यानंतर, आपल्या लक्ष्य क्रमांकाच्या विरूद्ध निकाल तपासा. निकाल लक्ष्यापेक्षा जास्त असल्यास आपला अंदाज कमी असेल. निकाल ध्येयापेक्षा कमी असल्यास, आपण ध्येय गाठण्यापर्यंत ते वरच्या बाजूला समायोजित करावे लागेल.
       • उदाहरणार्थ, या विधानात $डिस्प्लेस्टाईल 8.5 {} 3}$अधिक अचूक उत्तरासाठी पुढील अंकी अंदाज लावा. आपले उत्तर आपल्याला पाहिजे तितके अचूक होईपर्यंत 0 ते 9 पर्यंत क्रमांकाचे आकलन करण्याची ही प्रक्रिया सुरू ठेवा. प्रत्येक फेरीच्या अंदाजाआधी, आपण सीमा क्रमांकाच्या दरम्यान आपल्या शेवटच्या गणनेची स्थिती तपासून प्रारंभ करा.
         • या उदाहरण व्यायामामध्ये, आपल्या गणिताची शेवटची फेरी दर्शविते की $प्रदर्शन शैली 8.4 ^ {3} = 592.7}$अंदाज करणे आणि समायोजित करणे सुरू ठेवा आवश्यकतेपेक्षा जास्त वेळा असे करा, आपला अंदाज क्यूबिक उर्जेवर वाढवा आणि लक्ष्य संख्येशी ते कसे तुलना होते ते पहा. लक्ष्य संख्येच्या अगदी खाली किंवा त्यापेक्षा वरच्या क्रमांकासाठी संख्या पहा.
           • या उदाहरणार्थ व्यायामासाठी, आपण त्यास लक्षात घेऊन प्रारंभ कराल $डिस्प्लेस्टाईल 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$आपण इच्छित अचूकतेपर्यंत पोहोचत नाही तोपर्यंत सुरू ठेवा. जोपर्यंत आपला समाधान आपल्याला पाहिजे तितका अचूक होईपर्यंत आवश्यकतेनुसार अंदाज करणे, तुलना करणे आणि पुन्हा-अंदाज करणे सुरू ठेवा. लक्षात घ्या की प्रत्येक दशांशसह, आपली लक्ष्य संख्या वास्तविक संख्येच्या जवळ आणि जवळ येते.
             • 600 च्या घन मूळसाठी, दोन दशांश संख्या गृहीत धरून आपण 8.43 ने लक्ष्य संख्येपेक्षा 1 च्या अंतरावर आहात. आपण तीन दशांश ठिकाणी सुरू ठेवल्यास, ती आपल्याला दिसेल $प्रदर्शन शैली 8.434 ^} 3} = 599.93}$न्यूटनच्या बिनोमिनियमचा आढावा घ्या. हे अल्गोरिदम क्यूबचे मूळ निश्चित करण्यासाठी का कार्य करते हे समजून घेण्यासाठी, आपण प्रथम घन द्विपदीसारखे दिसते त्याबद्दल पुन्हा विचार केला पाहिजे. आपण कदाचित हे हायस्कूलच्या गणितामध्ये शिकले असेल (आणि बर्‍याच लोकांप्रमाणे आपण कदाचित याबद्दल लवकरात लवकर विसरलात). दोन चल निवडा ${ डिस्प्लेस्टाईल ए$द्विपदी क्यूबिक स्वरूपात लिहा. आम्ही प्रथम क्यूब निश्चित करून आणि नंतर क्यूब रूट सोल्यूशन का कार्य करते हे शोधून मागे कार्य करीत आहोत. आम्हाला मूल्ये पाहिजे $डिस्प्लेस्टाईल (10 ए + बी) {{3}$दीर्घ विभाजनाचा अर्थ जाणून घ्या. लक्षात घ्या की क्यूब रूट पद्धत लांब प्रभागांप्रमाणेच कार्य करते. लांब प्रभागात आपण पहात आहात की दोन घटक एकत्र गुणाकार केल्याने आपण प्रारंभ केलेली संख्या देते. या गणनामध्ये आपण शोधत असलेली संख्या (अखेरीस चौरस मुळाच्या वर दिसते) ही घन मूळ आहे. याचा अर्थ ते पद (10 ए + बी) बरोबर असते. जोपर्यंत आपल्याला उत्तराशी संबंध समजत नाही तोपर्यंत वास्तविक ए आणि बी आता असंबद्ध आहेत.
             • विस्तारित आवृत्ती पहा. जेव्हा आपण न्यूटनच्या बिनोमिनियमकडे पाहता तेव्हा आपण पाहू शकता की क्यूब रूट अल्गोरिदम योग्य का आहे. अल्गोरिदमच्या प्रत्येक चरणावरील विभाजक आपल्यास गणना करणे आणि जोडणे आवश्यक असलेल्या चार पदांच्या बेरीज कसे आहे ते पहा. या अटी खालीलप्रमाणे उद्भवतात:
               • पहिल्या टर्ममध्ये 1000 चे बहुगुणित असेल. आपण प्रथम एक संख्या निवडली जी घन पर्यंत वाढविली जाऊ शकते आणि तरीही प्रथम क्रमांक म्हणून लांब प्रभावाच्या श्रेणीमध्ये राहील. हे द्विपदीत 1000A the 3 संज्ञा देते.
               • न्यूटनच्या बिनोमियमच्या दुसर्‍या टर्ममध्ये त्याचे गुणांक 300 आहेत. (हे येते $डिस्प्लेस्टाईल 3 * 10 ^ {2}}$पहा अचूकता वाढते. लांब विभाग काम करत असताना, आपण पूर्ण केलेली प्रत्येक चरण आपल्या उत्तरास उत्तम अचूकता देते. उदाहरणार्थ, या लेखात कार्य केलेल्या समस्येचे निराकरण १० क्यूबचे मूळ निश्चित करण्यासाठी आहे. पहिल्या चरणात, समाधान 2 आहे, कारण $डिस्प्लेस्टाईल 2 ^ {3}$ जवळ येते पण १० पेक्षा कमी आहे. खरं तर ते धरून आहे ${ डिस्प्लेस्टाईल 2 ^ {3} = 8}$. दुसर्‍या फेरीनंतर आपले समाधान २.१ आहे. एकदा आपण हे पूर्ण केले की आपल्याला मिळेल $डिस्प्लेस्टाईल 2.1 ^ {3} = 9,261}$, जो इच्छित परिणामाच्या अगदी जवळ आहे (10) तिसर्‍या फेरीनंतर आपल्याकडे 2.15 आहे, जे आपल्याला देते $डिस्प्लेस्टाईल 2.15 ^ {3} = 9.94}$. तीन क्रमांकाच्या गटात काम करत रहा आणि आपल्याला हवे तसे उत्तर मिळेल.

टिपा

• कशासही पसंत केल्याने तुमची गणित कौशल्ये सुधारतील. आपण जितका अधिक सराव कराल तितके चांगले आपण या प्रकारच्या गणना करण्यास सक्षम असाल.

चेतावणी

• यासह चूक करणे सोपे आहे. आपले कार्य काळजीपूर्वक तपासा आणि पुन्हा विस्ताराने जा.

गरजा

• पेन किंवा पेन्सिल
• कागद
• शासक
• इरेसर