सामग्री

• पावले
• 3 पैकी 1 पद्धत: दोन ओळींच्या उताराची तुलना करणे
• 3 पैकी 2 पद्धत: रेखीय समीकरण वापरणे
• 3 पैकी 3 पद्धत: समांतर रेषेचे समीकरण शोधणे

समांतर सरळ रेषा सरळ रेषा आहेत ज्या एकाच विमानात असतात आणि कधीही एकमेकांना छेदत नाहीत (संपूर्ण अनंत काळात). समांतर रेषांना समान उतार असतो.उतार हा सरळ रेषेच्या झुकण्याच्या कोनाच्या स्पर्शिकेच्या समान आहे जो अब्सिसा अक्षाकडे आहे, म्हणजेच "y" समन्वयातील बदलाचे गुणोत्तर "x" निर्देशांकातील बदलाशी आहे. समांतर सरळ रेषा बहुतेक वेळा "ll" चिन्हाद्वारे दर्शविल्या जातात. उदाहरणार्थ, ABllCD म्हणजे रेषा AB ही CD CD ला समांतर आहे.

पावले

3 पैकी 1 पद्धत: दोन ओळींच्या उताराची तुलना करणे

1. 1 उताराची गणना करण्यासाठी सूत्र लिहा. सूत्र: k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), जेथे "x" आणि "y" सरळ रेषेवर पडलेल्या दोन बिंदू (कोणत्याही) चे समन्वय आहेत. मूळच्या जवळ असलेल्या पहिल्या बिंदूचे निर्देशांक (x₁, y₁); दुसऱ्या बिंदूचे निर्देशांक, जे मूळपासून पुढे आहे, (x₂, y₂).
   • वरील सूत्र खालीलप्रमाणे तयार केले जाऊ शकते: उभ्या अंतराचे (दोन बिंदूंमधील) क्षैतिज अंतर (दोन बिंदूंमधील) चे गुणोत्तर.
   • जर रेषा वाढत असेल (वर निर्देश करत असेल), तर तिचा उतार सकारात्मक आहे.
   • जर रेषा कमी होत असेल (खाली निर्देशित करत असेल), तर तिचा उतार नकारात्मक आहे.
2. 2 प्रत्येक ओळीवर असलेल्या दोन बिंदूंचे निर्देशांक निश्चित करा. गुणांचे निर्देशांक (x, y) स्वरूपात लिहिलेले आहेत, जेथे “x” हे X- अक्ष (abscissa) बरोबर समन्वय आहे, “y” हा “y” अक्ष (समन्वय) सह समन्वय आहे. उताराची गणना करण्यासाठी, प्रत्येक ओळीवर दोन बिंदू चिन्हांकित करा.
   • कोऑर्डिनेट प्लेनवर सरळ रेषा काढल्या गेल्यास बिंदू चिन्हांकित करणे सोपे आहे.
   • एका बिंदूचे निर्देशांक निश्चित करण्यासाठी, त्यापासून प्रत्येक अक्षावर लंब (ठिपके रेषा) काढा. क्ष-अक्ष सह ठिपकलेल्या रेषेच्या छेदनबिंदूचा बिंदू हा x- समन्वय आहे आणि y-axis सह छेदनबिंदू हा y- समन्वय आहे.
   • उदाहरणार्थ: रेषा l वर निर्देशांक (1, 5) आणि (-2, 4), आणि रेषा r -गुणांक (3, 3) आणि (1, -4) असलेले गुण आहेत.
3. 3 सूत्रांमध्ये गुणांचे निर्देशांक प्लग इन करा. नंतर संबंधित निर्देशांक वजा करा आणि प्राप्त परिणामांचे गुणोत्तर शोधा. सूत्रात निर्देशांक बदलताना, त्यांच्या ऑर्डरमध्ये गोंधळ करू नका.
   • सरळ रेषेच्या उताराची गणना l: k = (5 - (-4)) / (1 - (-2))
   • वजाबाकी: k = 9/3
   • विभाग: के = 3
   • सरळ रेषेच्या उताराची गणना r: k = (3 - (-4)) / (3 - 1) = 7/2
4. 4 उताराची तुलना करा. लक्षात ठेवा की समांतर रेषांना समान उतार असतात. चित्रात, रेषा समांतर दिसू शकतात, परंतु उतार समान नसल्यास, रेषा एकमेकांना समांतर नसतात.
   • आमच्या उदाहरणात, 3 हे 7/2 च्या बरोबरीचे नाही, त्यामुळे डेटा लाईन्स समांतर नाहीत.

3 पैकी 2 पद्धत: रेखीय समीकरण वापरणे

1. 1 एक रेषीय समीकरण लिहा. रेषीय समीकरणाला y = kx + b असे स्वरूप आहे, जेथे k उतार आहे, b हा Y अक्ष्यासह सरळ रेषेच्या छेदनबिंदूचा “y” समन्वय आहे, “x” आणि “y” हे निर्धारित केलेले व्हेरिएबल्स आहेत सरळ रेषेवर असलेल्या बिंदूंचे निर्देशांक. या सूत्राचा वापर करून, आपण उतार k ची सहज गणना करू शकता.
   • उदाहरणार्थ. 4y - 12x = 20 आणि y = 3x -1 ही समीकरणे रेखीय समीकरण म्हणून सादर करा. 4y - 12x = 20 हे समीकरण आवश्यक स्वरूपात सादर करणे आवश्यक आहे, परंतु y = 3x -1 हे समीकरण आधीच रेखीय समीकरण म्हणून लिहिलेले आहे.
2. 2 रेखीय समीकरण म्हणून समीकरण पुन्हा लिहा. कधीकधी एक समीकरण दिले जाते जे रेखीय समीकरणाच्या स्वरूपात दर्शविले जात नाही. असे समीकरण पुनर्लेखन करण्यासाठी, आपल्याला अनेक साध्या गणिती ऑपरेशन्स करणे आवश्यक आहे.
   • उदाहरणार्थ: रेखीय समीकरण म्हणून 4y - 12x = 20 हे समीकरण पुन्हा लिहा.
   • समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 12x जोडा: 4y - 12x + 12x = 20 + 12x
   • Y: 4y / 4 = 12x / 4 + 20/4 वेगळे करण्यासाठी समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने विभाजित करा
   • रेखीय स्वरूपात समीकरण: y = 3x + 5.
3. 3 उताराची तुलना करा. लक्षात ठेवा की समांतर रेषांना समान उतार असतात. Y = kx + b हे समीकरण वापरून, जेथे k उतार आहे, आपण दोन ओळींच्या उतार शोधू आणि तुलना करू शकता.
   • आमच्या उदाहरणामध्ये, पहिल्या ओळीचे वर्णन y = 3x + 5 समीकरणाने केले आहे, त्यामुळे उतार 3 आहे. दुसऱ्या ओळीचे वर्णन y = 3x - 1 समीकरणाने केले आहे, त्यामुळे उतार देखील 3 आहे. उतार समान असल्याने , या ओळी समांतर आहेत.
   • लक्षात घ्या की जर समान उतार असलेल्या रेषांमध्ये समान गुणांक बी (वाय-अक्ष असलेल्या रेषेच्या छेदनबिंदूचा y- समन्वय) देखील समान असेल तर अशा रेषा जुळतात आणि समांतर नसतात.

3 पैकी 3 पद्धत: समांतर रेषेचे समीकरण शोधणे

1. 1 समीकरण लिहा. खालील समीकरण आपल्याला समांतर (द्वितीय) सरळ रेषेचे समीकरण शोधण्याची परवानगी देईल, जर पहिल्या सरळ रेषेचे समीकरण आणि मागितलेल्या समांतर (दुसऱ्या) सरळ रेषेवर असलेल्या बिंदूचे निर्देशांक दिलेले असतील: y - y₁= k (x - x₁), जेथे k उतार आहे, x₁ आणि y₁ - इच्छित सरळ रेषेवर पडलेल्या बिंदूचे निर्देशांक, "x" आणि "y" - पहिल्या सरळ रेषेवर असलेल्या बिंदूंच्या निर्देशांकाद्वारे निर्धारित व्हेरिएबल्स.
   • उदाहरणार्थ: y = -4x + 3 या ओळीच्या समांतर असलेल्या रेषेचे समीकरण शोधा आणि जे निर्देशांक (1, -2) सह बिंदूमधून जाते.
2. 2 या (पहिल्या) सरळ रेषेचा उतार निश्चित करा. समांतर (द्वितीय) सरळ रेषेचे समीकरण शोधण्यासाठी, आपल्याला प्रथम त्याचा उतार निश्चित करणे आवश्यक आहे. समीकरण रेषीय समीकरण स्वरूपात असल्याची खात्री करा आणि नंतर उतार मूल्य (के) शोधा.
   • दुसरी ओळ या ओळीला समांतर असणे आवश्यक आहे, ज्याचे वर्णन y = -4x + 3. समीकरणाने केले आहे, या समीकरणात k = -4, म्हणून दुसऱ्या ओळीला समान उतार असेल.
3. 3 सादर केलेल्या समीकरणात दुसऱ्या सरळ रेषेवर असलेल्या बिंदूचे निर्देशांक बदला. दुसऱ्या सरळ रेषेवर पडलेल्या बिंदूचे निर्देशांक दिल्यासच ही पद्धत लागू होते, ज्याचे समीकरण शोधायचे आहे. अशा (पहिल्या) सरळ रेषेवर असलेल्या बिंदूच्या निर्देशांकासह अशा बिंदूचे निर्देशांक गोंधळात टाकू नका. लक्षात ठेवा की जर समान उतार असलेल्या रेषांमध्ये समान गुणांक बी (Y- अक्ष असलेल्या रेषेच्या छेदनबिंदूचा y- समन्वय) देखील समान असेल, तर या रेषा जुळतात आणि समांतर नसतात.
   • आमच्या उदाहरणात, दुसऱ्या ओळीच्या बिंदूमध्ये निर्देशांक (1, -2) आहेत.
4. 4 दुसऱ्या ओळीचे समीकरण लिहा. हे करण्यासाठी, ज्ञात मूल्ये समीकरण y - y मध्ये प्लग करा₁= k (x - x₁). सापडलेल्या उतार आणि दुसऱ्या सरळ रेषावरील बिंदूचे निर्देशांक प्लग करा.
   • आमच्या उदाहरणात, k = -4, आणि बिंदूचे निर्देशांक (1, -2): y -(-2) = -4 (x -1)
5. 5 समीकरण सोपे करा. समीकरण सरळ करा आणि ते एक रेषीय समीकरण म्हणून लिहा. जर तुम्ही कोऑर्डिनेट प्लेनवर दुसरी रेषा काढली तर ती या (पहिल्या) ओळीला समांतर असेल.
   • उदाहरणार्थ: y - (-2) = -4 (x - 1)
   • दोन "minuses" एक "प्लस" देतात: y + 2 = -4 (x -1)
   • कंस विस्तृत करा: y + 2 = -4x + 4.
   • समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी -2 वजा करा: y + 2 - 2 = -4x + 4 - 2
   • सरलीकृत समीकरण: y = -4x + 2