सामग्री

• प्राथमिक माहिती
• पावले
• 3 पैकी 1 भाग: मूलभूत
• 3 पैकी 2 भाग: लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मचे गुणधर्म
• 3 पैकी 3 भाग: मालिका विस्ताराद्वारे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म शोधणे

लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म हे एक अविभाज्य परिवर्तन आहे जे स्थिर गुणांकांसह भिन्न समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरले जाते. हे परिवर्तन भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकीमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.

आपण योग्य सारण्या वापरू शकत असताना, लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म समजून घेणे उपयुक्त आहे जेणेकरून आवश्यक असल्यास आपण ते स्वतः करू शकता.

प्राथमिक माहिती

• एक कार्य दिले ${ displaystyle f (t)}$साठी परिभाषित ${ displaystyle t geq 0.}$ मग लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म कार्य ${ displaystyle f (t)}$ प्रत्येक मूल्याचे पुढील कार्य आहे ${ प्रदर्शन शैली s}$, ज्यावर अभिन्न अभिसरण:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} ट}$
• लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म टी-रीजन (टाइम स्केल) पासून एस-रिजन (ट्रान्सफॉर्मेशन रीजन) पर्यंत फंक्शन घेते, जेथे ${ displaystyle F (s)}$ जटिल व्हेरिएबलचे एक जटिल कार्य आहे. हे आपल्याला फंक्शनला अशा क्षेत्रात हलविण्यास अनुमती देते जिथे समाधान अधिक सहज सापडेल.
• स्पष्टपणे, लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म एक रेखीय ऑपरेटर आहे, म्हणून जर आपण अटींची बेरीज करत असाल तर प्रत्येक अविभाज्य स्वतंत्रपणे मोजले जाऊ शकते.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• लक्षात ठेवा की लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म फक्त तेव्हाच कार्य करते जेव्हा अविभाज्य एकत्रित होते. जर कार्य ${ displaystyle f (t)}$ अनियमितता आहे, सावधगिरी बाळगणे आवश्यक आहे आणि अनिश्चितता टाळण्यासाठी एकीकरणाच्या मर्यादा योग्यरित्या सेट करणे आवश्यक आहे.

पावले

3 पैकी 1 भाग: मूलभूत

1. 1 फंक्शनला लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म फॉर्म्युलामध्ये बदला. सैद्धांतिकदृष्ट्या, फंक्शनचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म गणना करणे खूप सोपे आहे. उदाहरण म्हणून, फंक्शनचा विचार करा ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, कुठे ${ प्रदर्शन शैली a}$ सह एक जटिल स्थिरांक आहे ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 उपलब्ध पद्धती वापरून अभिन्नतेचा अंदाज लावा. आमच्या उदाहरणामध्ये, अंदाज अगदी सोपा आहे आणि आपण साध्या गणनेने मिळवू शकता. अधिक जटिल प्रकरणांमध्ये, अधिक जटिल पद्धतींची आवश्यकता असू शकते, उदाहरणार्थ, भागांद्वारे एकत्रीकरण किंवा अविभाज्य चिन्हाखाली भेद. निर्बंध अट ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ म्हणजे अविभाज्य अभिसरण, म्हणजेच त्याचे मूल्य 0 प्रमाणे आहे ${ displaystyle t to infty}$
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {संरेखित}}}$
   • लक्षात घ्या की हे आम्हाला दोन प्रकारचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म देते, साइन आणि कोसाइनसह, कारण यूलरच्या सूत्रानुसार ${ displaystyle e ^ {iat}}$... या प्रकरणात, भाज्यामध्ये आपल्याला मिळते ${ displaystyle s-ia,}$ आणि ते फक्त वास्तविक आणि काल्पनिक भाग निश्चित करण्यासाठी शिल्लक आहे. आपण थेट निकालाचे मूल्यांकन देखील करू शकता, परंतु यास थोडा जास्त वेळ लागेल.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 पॉवर फंक्शनच्या लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मचा विचार करा. प्रथम, आपल्याला पॉवर फंक्शनचे परिवर्तन परिभाषित करण्याची आवश्यकता आहे, कारण रेखीय गुणधर्म आपल्याला यासाठी परिवर्तन शोधण्याची परवानगी देते सर्व बहुपदी फॉर्मचे कार्य ${ displaystyle t ^ {n},}$ कुठे ${ प्रदर्शन शैली n}$ - कोणताही सकारात्मक पूर्णांक. एक पुनरावृत्ती नियम परिभाषित करण्यासाठी तुकडा तुकडा एकत्रित केला जाऊ शकतो.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n}} = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • हा परिणाम स्पष्टपणे व्यक्त केला जातो, परंतु आपण अनेक मूल्ये बदलल्यास ${ displaystyle n,}$ आपण एक विशिष्ट नमुना स्थापित करू शकता (ते स्वतः करण्याचा प्रयत्न करा), जे आपल्याला खालील परिणाम प्राप्त करण्यास अनुमती देते:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n}} = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • आपण गामा फंक्शन वापरून फ्रॅक्शनल पॉवरचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म देखील परिभाषित करू शकता. उदाहरणार्थ, अशा प्रकारे आपण फंक्शनचे रूपांतर शोधू शकता जसे की ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n}} = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2}} = { frac { गामा (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • जरी अपूर्णांक शक्ती असलेल्या फंक्शन्समध्ये कट असणे आवश्यक आहे (लक्षात ठेवा, कोणतीही जटिल संख्या ${ displaystyle z}$ आणि ${ displaystyle alpha}$ म्हणून लिहिले जाऊ शकते ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, कारण ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), ते नेहमी अशा प्रकारे परिभाषित केले जाऊ शकतात की कट डाव्या अर्ध्या विमानात असतात आणि अशा प्रकारे विश्लेषणात्मक समस्या टाळतात.

3 पैकी 2 भाग: लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मचे गुणधर्म

1. 1 गुणाकार केलेल्या फंक्शनचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म शोधूया ईअट{ displaystyle e ^ {at}}. मागील विभागात मिळालेल्या परिणामांनी आम्हाला लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मचे काही मनोरंजक गुणधर्म शोधण्याची परवानगी दिली. कोसाइन, साइन आणि घातांक फंक्शन सारख्या फंक्शन्सचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म पॉवर फंक्शन ट्रान्सफॉर्म पेक्षा सोपे वाटते. द्वारे गुणाकार ${ displaystyle e ^ {at}}$ टी-क्षेत्राशी संबंधित आहे शिफ्ट एस-प्रदेशात:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • ही मालमत्ता आपल्याला तत्काळ फंक्शन्सचे रूपांतर शोधण्याची परवानगी देते ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, अविभाज्य गणना न करता:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 गुणाकार केलेल्या फंक्शनचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म शोधूया टn{ displaystyle t ^ {n}}. प्रथम, गुणाकाराने विचार करा ${ displaystyle t}$... व्याख्येनुसार, एखादी व्यक्ती अविभाज्य अंतर्गत फंक्शनमध्ये फरक करू शकते आणि आश्चर्यकारकपणे साधे परिणाम मिळवू शकते:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} th mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • या ऑपरेशनची पुनरावृत्ती करून, आम्हाला अंतिम परिणाम मिळतो:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • जरी एकत्रीकरण आणि भिन्नतेच्या ऑपरेटरच्या पुनर्रचनेसाठी काही अतिरिक्त औचित्य आवश्यक आहे, आम्ही ते येथे सादर करणार नाही, परंतु फक्त लक्षात ठेवा की अंतिम परिणाम अर्थपूर्ण असल्यास हे ऑपरेशन योग्य आहे. आपण व्हेरिएबल्सची वस्तुस्थिती देखील विचारात घेऊ शकता ${ प्रदर्शन शैली s}$ आणि ${ displaystyle t}$ एकमेकांवर अवलंबून राहू नका.
   • या नियमाचा वापर करून, फंक्शन्सचे रूपांतर शोधणे सोपे आहे जसे की ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$भागांद्वारे पुन्हा एकीकरण न करता:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 फंक्शनचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म शोधा f(अट){ displaystyle f (at)}. ट्रान्सफॉर्मची व्याख्या वापरून व्हेरिएबलला यू सह बदलून हे सहज केले जाऊ शकते:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {aligned}}}$
   • वर, आम्हाला लॅप्लेस फंक्शनचे रूपांतर आढळले ${ displaystyle sin at}$ आणि ${ displaystyle cos at}$ घातांक कार्यापासून थेट. या मालमत्तेचा वापर करून, जर तुम्हाला वास्तविक आणि काल्पनिक भाग सापडले तर तुम्ही समान परिणाम मिळवू शकता ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 डेरिव्हेटिव्हचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म शोधा f′(ट){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. मागील उदाहरणांप्रमाणे, या प्रकरणात आहे तुकडा तुकडा एकत्र करा:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • दुसरे व्युत्पन्न अनेक शारीरिक समस्यांमध्ये होत असल्याने, आम्हाला त्याच्यासाठी लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म देखील आढळतो:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • सामान्य प्रकरणात, नवव्या ऑर्डर डेरिव्हेटिव्हचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे (हे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म वापरून विभेदक समीकरणे सोडविण्यास अनुमती देते):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3 पैकी 3 भाग: मालिका विस्ताराद्वारे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म शोधणे

1. 1 नियतकालिक कार्यासाठी लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म शोधूया. नियतकालिक कार्य अट पूर्ण करते ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ कुठे ${ displaystyle T}$ फंक्शनचा कालावधी आहे, आणि ${ प्रदर्शन शैली n}$ एक सकारात्मक पूर्णांक आहे. सिग्नल प्रोसेसिंग आणि इलेक्ट्रिकल इंजिनिअरिंगसह अनेक अनुप्रयोगांमध्ये नियतकालिक कार्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरली जातात. साध्या बदलांचा वापर करून, आम्हाला खालील परिणाम मिळतो:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} th mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} गणित {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { संरेखित}}}$
   • जसे आपण पाहू शकता, नियतकालिक कार्याच्या बाबतीत, एका कालावधीसाठी लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म करणे पुरेसे आहे.
2. 2 नैसर्गिक लॉगरिदमसाठी लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म करा. या प्रकरणात, इंटिग्रल प्राथमिक फंक्शन्सच्या स्वरूपात व्यक्त केले जाऊ शकत नाही. गामा फंक्शन आणि त्याची मालिका विस्तार वापरणे आपल्याला नैसर्गिक लॉगरिदम आणि त्याच्या अंशांचा अंदाज लावण्यास अनुमती देते. यूलर-माचेरोनी स्थिरताची उपस्थिती ${ displaystyle gamma}$ हे दर्शवते की या अविभाज्यचा अंदाज लावण्यासाठी, मालिका विस्तार वापरणे आवश्यक आहे.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 असामान्य सिन फंक्शनच्या लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मचा विचार करा. कार्य ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ सिग्नल प्रक्रियेसाठी मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते, विभेदक समीकरणांमध्ये ते पहिल्या प्रकारच्या गोलाकार बेसल फंक्शन आणि शून्य ऑर्डरच्या बरोबरीचे आहे ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ या फंक्शनचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म देखील मानक पद्धतींद्वारे मोजले जाऊ शकत नाही. या प्रकरणात, मालिकेतील वैयक्तिक सदस्यांचे परिवर्तन, जे पॉवर फंक्शन्स आहेत, केले जातात, म्हणून त्यांचे परिवर्तन दिलेल्या अंतराने अपरिहार्यपणे एकत्र होतात.
   • प्रथम, आम्ही टेलर मालिकेत फंक्शनचा विस्तार लिहितो:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • आता आम्ही पॉवर फंक्शनचे आधीच ज्ञात लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म वापरतो. फॅक्टोरिअल्स रद्द केले जातात आणि परिणामी आम्हाला आर्टॅन्जेंटसाठी टेलर विस्तार मिळतो, म्हणजेच साइनसाठी टेलर मालिकेसारखी एक पर्यायी मालिका, परंतु फॅक्टोरियलशिवाय:
     • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$