सामग्री

• पावले
• 2 पैकी 1 पद्धत: दोन ओळींचा छेदनबिंदू
• 2 पैकी 2 पद्धत: द्विघात कार्यांसह समस्या
• टिपा

द्विमितीय जागेत, दोन सरळ रेषा फक्त एका बिंदूवर छेदतात, निर्देशांक (x, y) द्वारे निर्दिष्ट. दोन्ही रेषा त्यांच्या छेदनबिंदूच्या मधून जात असल्याने, निर्देशांक (x, y) या ओळींचे वर्णन करणारी दोन्ही समीकरणे पूर्ण करणे आवश्यक आहे.काही अतिरिक्त कौशल्यांसह, आपण पॅराबोलस आणि इतर चतुर्भुज वक्रांचे छेदनबिंदू शोधू शकता.

पावले

2 पैकी 1 पद्धत: दोन ओळींचा छेदनबिंदू

1. 1 समीकरणाच्या डाव्या बाजूला y व्हेरिएबल वेगळे करून प्रत्येक ओळीचे समीकरण लिहा. समीकरणातील इतर अटी समीकरणाच्या उजव्या बाजूला ठेवल्या पाहिजेत. कदाचित तुम्हाला "y" ऐवजी दिलेल्या समीकरणात f (x) किंवा g (x) व्हेरिएबल असेल; या प्रकरणात, असे व्हेरिएबल वेगळे करा. व्हेरिएबल वेगळे करण्यासाठी, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी योग्य गणित करा.
   • सरळ रेषांची समीकरणे तुम्हाला दिली नसल्यास, तुम्हाला माहिती असलेल्या माहितीच्या आधारे शोधा.
   • उदाहरण... दिलेल्या समीकरणांद्वारे वर्णन केलेल्या सरळ रेषा आहेत ${ displaystyle y = x + 3}$ आणि ${ displaystyle y -12 = -2x}$... दुसऱ्या समीकरणात y वेगळे करण्यासाठी, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 12 जोडा: ${ displaystyle y = 12-2x}$
2. 2 प्रत्येक समीकरणाच्या उजव्या बाजूला अभिव्यक्ती समतुल्य करा. आमचे कार्य दोन्ही सरळ रेषांच्या छेदनबिंदू शोधणे आहे, म्हणजेच ज्या बिंदूचे निर्देशांक (x, y) दोन्ही समीकरणे पूर्ण करतात. व्हेरिएबल "y" प्रत्येक समीकरणाच्या डाव्या बाजूला स्थित असल्याने, प्रत्येक समीकरणाच्या उजव्या बाजूला असलेल्या अभिव्यक्तींचे समीकरण केले जाऊ शकते. नवीन समीकरण लिहा.
   • उदाहरण... म्हणून ${ displaystyle y = x + 3}$ आणि ${ displaystyle y = 12-2x}$, नंतर आपण खालील समानता लिहू शकता: ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 व्हेरिएबल "x" चे मूल्य शोधा. नवीन समीकरणात फक्त एक व्हेरिएबल "x" आहे. "X" शोधण्यासाठी, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना योग्य गणित करून समीकरणाच्या डाव्या बाजूला हे व्हेरिएबल वेगळे करा. आपल्याला x = __ फॉर्मचे समीकरण मिळाले पाहिजे (जर हे शक्य नसेल तर या विभागाच्या शेवटी वगळा).
   • उदाहरण. ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$
   • जोडा ${ displaystyle 2x}$ समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूला:
   • ${ displaystyle 3x + 3 = 12}$
   • समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूने 3 वजा करा:
   • ${ displaystyle 3x = 9}$
   • समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूचे 3 ने विभाजन करा:
   • ${ displaystyle x = 3}$.
4. 4 व्हेरिएबल "y" चे मूल्य काढण्यासाठी "x" व्हेरिएबलचे सापडलेले मूल्य वापरा. हे करण्यासाठी, समीकरण (कोणत्याही) सरळ रेषेत सापडलेले मूल्य "x" ला बदला.
   • उदाहरण. ${ displaystyle x = 3}$ आणि ${ displaystyle y = x + 3}$
   • ${ displaystyle y = 3 + 3}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
5. 5 तुमचे उत्तर तपासा. हे करण्यासाठी, रेषेच्या दुसर्या समीकरणात "x" मूल्य बदला आणि "y" मूल्य शोधा. जर तुम्हाला भिन्न y मूल्ये मिळाली तर तुमची गणना योग्य आहे का ते तपासा.
   • उदाहरण:${ displaystyle x = 3}$ आणि ${ displaystyle y = 12-2x}$
   • ${ displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ displaystyle y = 12-6}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
   • आम्हाला "y" साठी समान मूल्य मिळाले आहे, म्हणून आमच्या गणनेमध्ये कोणत्याही त्रुटी नाहीत.
6. 6 निर्देशांक (x, y) लिहा. "X" आणि "y" च्या मूल्यांची गणना करून, आपल्याला दोन ओळींच्या छेदनबिंदूचे निर्देशांक सापडले आहेत. छेदनबिंदूचे निर्देशांक फॉर्ममध्ये (x, y) लिहा.
   • उदाहरण. ${ displaystyle x = 3}$ आणि ${ displaystyle y = 6}$
   • अशा प्रकारे, दोन ओळी एका बिंदूवर निर्देशांक (3,6) सह छेदतात.
7. 7 विशेष प्रकरणांमध्ये गणना. काही प्रकरणांमध्ये, "x" व्हेरिएबलचे मूल्य सापडत नाही. पण याचा अर्थ असा नाही की तुम्ही चूक केली आहे. जेव्हा खालील अटींपैकी एक पूर्ण केली जाते तेव्हा एक विशेष प्रकरण उद्भवते:
   • जर दोन ओळी समांतर असतील तर त्या एकमेकांना छेदत नाहीत. या प्रकरणात, "x" व्हेरिएबल फक्त रद्द केले जाईल आणि समीकरण निरर्थक समानतेमध्ये बदलेल (उदाहरणार्थ, ${ displaystyle 0 = 1}$). या प्रकरणात, आपल्या उत्तरात असे लिहा सरळ रेषा एकमेकांना छेदत नाहीत किंवा उपाय नाही.
   • जर दोन्ही समीकरणे एका सरळ रेषेचे वर्णन करतात, तर तेथे छेदनबिंदूंची अनंत संख्या असेल. या प्रकरणात, "x" व्हेरिएबल फक्त रद्द केले जाईल आणि समीकरण कठोर समानतेमध्ये बदलेल (उदाहरणार्थ, ${ प्रदर्शन शैली 3 = 3}$). या प्रकरणात, आपल्या उत्तरात असे लिहा दोन सरळ रेषा जुळतात.

2 पैकी 2 पद्धत: द्विघात कार्यांसह समस्या

1. 1 चतुर्भुज कार्याची व्याख्या. चतुर्भुज कार्यामध्ये, एक किंवा अधिक व्हेरिएबल्सकडे दुसरी पदवी असते (परंतु जास्त नाही), उदाहरणार्थ, ${ displaystyle x ^ {2}}$ किंवा ${ displaystyle y ^ {2}}$... क्वाड्रॅटिक फंक्शन प्लॉट्स असे वक्र असतात जे एक किंवा दोन बिंदूंवर किंवा एकमेकांना छेदू शकत नाहीत. या विभागात, आम्ही आपल्याला चतुर्भुज वक्रांच्या छेदनबिंदू किंवा बिंदू कसे शोधायचे ते दर्शवू.
   • जर समीकरणात कंसात अभिव्यक्ती समाविष्ट असेल तर फंक्शन चतुर्भुज आहे हे सुनिश्चित करण्यासाठी कंस विस्तृत करा. उदाहरणार्थ, फंक्शन ${ displaystyle y = (x + 3) (x)}$ द्विघात आहे, कारण कंस विस्तारित करते ${ displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • वर्तुळाचे वर्णन करणाऱ्या फंक्शनमध्ये दोन्हीचा समावेश आहे ${ displaystyle x ^ {2}}$आणि ${ displaystyle y ^ {2}}$... या फंक्शनसह समस्या सोडवताना तुम्हाला काही समस्या असल्यास, "टिपा" विभागात जा.
2. 2 समीकरणाच्या डाव्या बाजूला y व्हेरिएबल वेगळे करून प्रत्येक समीकरण पुन्हा लिहा. समीकरणातील इतर अटी समीकरणाच्या उजव्या बाजूला ठेवल्या पाहिजेत.
   • उदाहरण... आलेखांच्या छेदनबिंदूचे बिंदू शोधा ${ displaystyle x ^ {2} + 2x -y = -1}$ आणि ${ displaystyle y = x + 7}$
   • समीकरणाच्या डाव्या बाजूला y व्हेरिएबल इन्सुलेट करा:
   • ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ आणि ${ displaystyle y = x + 7}$.
   • या उदाहरणात, आपल्याला एक चतुर्भुज कार्य आणि एक रेषीय कार्य दिले आहे. लक्षात ठेवा जर तुम्हाला दोन चतुर्भुज फंक्शन्स दिले गेले असतील, तर गणना खालील पायऱ्यांसारखीच आहे.
3. 3 प्रत्येक समीकरणाच्या उजव्या बाजूला अभिव्यक्ती समतुल्य करा. व्हेरिएबल "y" प्रत्येक समीकरणाच्या डाव्या बाजूला स्थित असल्याने, प्रत्येक समीकरणाच्या उजव्या बाजूला असलेल्या अभिव्यक्तींचे समीकरण केले जाऊ शकते.
   • उदाहरण. ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ आणि ${ displaystyle y = x + 7}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 परिणामी समीकरणाच्या सर्व अटी त्याच्या डाव्या बाजूला हस्तांतरित करा आणि उजव्या बाजूला 0 लिहा. हे करण्यासाठी, मूलभूत गणिताचे ऑपरेशन करा. हे आपल्याला परिणामी समीकरण सोडविण्यास अनुमती देईल.
   • उदाहरण. ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी "x" वजा करा:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी 7 वजा करा:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 द्विघात समीकरण सोडवा. समीकरणाच्या सर्व अटी त्याच्या डाव्या बाजूला हलवल्यास, आपल्याला चतुर्भुज समीकरण मिळते. हे तीन प्रकारे सोडवले जाऊ शकते: एक विशेष सूत्र वापरणे, पूर्ण चौकोनाला पूरक आणि समीकरणाचा कारक.
   • उदाहरण. ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • समीकरण काढताना, तुम्हाला दोन द्विपद मिळतात जे तुम्ही मूळ समीकरण मिळवण्यासाठी गुणाकार करता. आमच्या उदाहरणात, पहिली संज्ञा ${ displaystyle x ^ {2}}$ x * x मध्ये वाढवता येते. खालील प्रविष्टी करा: (x) (x) = 0
   • आमच्या उदाहरणामध्ये, विनामूल्य पद -6 खालील घटकांमध्ये विस्तारित केले जाऊ शकते: ${ displaystyle -6 * 1}$, ${ displaystyle -3 * 2}$, ${ displaystyle -2 * 3}$, ${ displaystyle -1 * 6}$.
   • आमच्या उदाहरणात, दुसरे पद x (किंवा 1x) आहे. इंटरसेप्ट फॅक्टर्सची प्रत्येक जोडी जोडा (आमच्या उदाहरणात -6) जोपर्यंत तुम्हाला 1 मिळत नाही. आमच्या उदाहरणात, इंटरसेप्ट फॅक्टर्सची योग्य जोडी -2 आणि 3 (${ displaystyle -2 * 3 = -6}$), म्हणून ${ displaystyle -2 + 3 = 1}$.
   • सापडलेल्या संख्यांच्या जोडीने रिक्त जागा भरा: ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 दोन आलेखांच्या दुसऱ्या छेदनबिंदूबद्दल विसरू नका. घाईघाईत, आपण दुसऱ्या छेदनबिंदूबद्दल विसरू शकता. दोन छेदनबिंदूंचे एक्स-निर्देशांक कसे शोधायचे ते येथे आहे:
   • उदाहरण (गुणन)... जर समीकरणात ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ कंसातील एक अभिव्यक्ती 0 च्या बरोबरीची असेल, तर संपूर्ण समीकरण 0. च्या बरोबरीचे असेल. म्हणून, तुम्ही ते असे लिहू शकता: ${ displaystyle x-2 = 0}$ → ${ displaystyle x = 2}$ आणि ${ displaystyle x + 3 = 0}$ → ${ displaystyle x = -3}$ (म्हणजे, तुम्हाला समीकरणाची दोन मुळे सापडली).
   • उदाहरण (फॉर्म्युला वापरणे किंवा पूर्ण चौकोनाला पूरक)... यापैकी एक पद्धत वापरताना, वर्गमूळ समाधान प्रक्रियेत दिसेल. उदाहरणार्थ, आमच्या उदाहरणातील समीकरण फॉर्म घेईल ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... लक्षात ठेवा, जेव्हा तुम्ही वर्गमूळ घेता तेव्हा तुम्हाला दोन उपाय मिळतात. आमच्या बाबतीत: ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, आणि${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$... तर दोन समीकरणे लिहा आणि दोन x मूल्ये शोधा.
7. 7 आलेख एका ठिकाणी छेदतात किंवा अजिबात छेदत नाहीत. अशा परिस्थिती उद्भवतात जेव्हा खालील अटी पूर्ण केल्या जातात:
   • जर आलेख एका बिंदूवर छेदतात, तर चतुर्भुज समीकरण समान घटकांमध्ये विघटित होते, उदाहरणार्थ, (x-1) (x-1) = 0, आणि 0 चे वर्गमूल सूत्रात दिसते (${ displaystyle { sqrt {0}}}$). या प्रकरणात, समीकरणाचा एकच उपाय आहे.
   • जर आलेख अजिबात छेदत नाहीत, तर समीकरण घटकांमध्ये विघटित होत नाही आणि numberण संख्येचे वर्गमूल सूत्रात दिसून येते (उदाहरणार्थ, ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$). या प्रकरणात, उत्तरात लिहा की उपाय नाही.
8. 8 वक्र समीकरण (कोणत्याही) मध्ये "x" व्हेरिएबलचे सापडलेले मूल्य बदला. हे y व्हेरिएबलचे मूल्य शोधेल. आपल्याकडे "x" व्हेरिएबलसाठी दोन मूल्ये असल्यास, "x" च्या दोन्ही मूल्यांसह वर्णन केलेल्या प्रक्रियेचे अनुसरण करा.
   • उदाहरण... तुम्हाला "x" व्हेरिएबलसाठी दोन मूल्ये सापडली: ${ displaystyle x = 2}$ आणि ${ displaystyle x = -3}$... या प्रत्येक मूल्यांना रेषीय समीकरणात प्लग करा ${ displaystyle y = x + 7}$... तुम्हाला मिळेल: ${ displaystyle y = 2 + 7 = 9}$ आणि ${ displaystyle y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 छेदनबिंदूचे निर्देशांक फॉर्ममध्ये (x, y) लिहा. X आणि y मूल्यांची गणना करून, आपल्याला दोन आलेखांच्या छेदनबिंदूचे निर्देशांक सापडले आहेत. जर तुम्ही "x" आणि "y" ही दोन मूल्ये ओळखली असतील, तर संबंधित मूल्ये "x" आणि "y" मध्ये गोंधळ न घालता समन्वयाच्या दोन जोड्या लिहा.
   • उदाहरण... जेव्हा समीकरण मध्ये बदलले जाते ${ displaystyle x = 2}$ तुम्हाला मिळेल ${ displaystyle y = 9}$, म्हणजे, एक जोडी समन्वय (2, 9)... दुसऱ्या x- मूल्यासह समान गणना करून, आपल्याला निर्देशकांची दुसरी जोडी मिळेल (-3, 4).

टिपा

• वर्तुळाचे वर्णन करणाऱ्या फंक्शनमध्ये दोन्हीचा समावेश आहे ${ displaystyle x ^ {2}}$आणि ${ displaystyle y ^ {2}}$... वर्तुळ आणि सरळ रेषेचे छेदनबिंदू (s) शोधण्यासाठी, रेखीय समीकरण वापरून "x" मोजा. नंतर वर्तुळाचे वर्णन करणाऱ्या फंक्शनमध्ये सापडलेले x मूल्य प्लग करा आणि तुम्हाला एक साधे चतुर्भुज समीकरण मिळेल ज्यात कदाचित समाधान नाही किंवा एक किंवा दोन उपाय नाहीत.
• एक वर्तुळ आणि वक्र (चतुर्भुज किंवा अन्यथा) एक, दोन, तीन, चार बिंदूंवर छेद किंवा छेदू शकत नाही. या प्रकरणात, आपल्याला x ("x" नाही) चे मूल्य शोधण्याची आवश्यकता आहे आणि नंतर त्यास दुसऱ्या फंक्शनमध्ये बदला. Y ची गणना करून, आपल्याला एक किंवा दोन उपाय मिळतात, किंवा कोणतेही समाधान नाही. आता सापडलेले मूल्य "y" दोन फंक्शन्सपैकी एकामध्ये प्लग करा आणि "x" मूल्य शोधा. या प्रकरणात, आपल्याला एक किंवा दोन उपाय मिळतील, किंवा कोणतेही समाधान नाही.