सामग्री

• पाऊल टाकण्यासाठी
• पद्धत 3 पैकी 1: बदलण्याची पद्धत वापरणे
• पद्धत 3 पैकी 2: निर्मूलन पद्धत वापरणे
• कृती 3 पैकी 3: आलेख समीकरण
• टिपा
• चेतावणी

"समीकरण प्रणाली" मध्ये आपल्याला एकाच वेळी दोन किंवा अधिक समीकरणे सोडविण्यास सांगितले जाते. जेव्हा या दोहोंमध्ये x आणि y किंवा a आणि b सारख्या भिन्न चल असतात, तेव्हा त्यांचे निराकरण कसे करावे हे पाहणे प्रथम दृष्टीक्षेपात अवघड होते. सुदैवाने, एकदा आपल्याला काय करावे हे माहित झाल्यावर आपल्यास समस्येचे निराकरण करण्यासाठी फक्त काही मूलभूत गणिताची कौशल्ये (आणि कधीकधी काही अपूर्णांक ज्ञान) आवश्यक आहे. आवश्यक असल्यास किंवा आपण व्हिज्युअल विद्यार्थी असल्यास समीकरणांचे आलेख कसे काढायचे ते शिका. "काय चालले आहे ते पहा" किंवा आपले कार्य तपासण्यासाठी आलेख ग्राफ करणे (प्लॉट करणे) उपयुक्त ठरू शकते परंतु ते इतर पद्धतींपेक्षा धीमे देखील असू शकते आणि ते सर्व समीकरण प्रणालीसह कार्य करत नाही.

पाऊल टाकण्यासाठी

पद्धत 3 पैकी 1: बदलण्याची पद्धत वापरणे

1. व्हेरिएबल्सला समीकरणाच्या वेगवेगळ्या बाजूंनी हलवा. ही "सबस्टीट्यूशन" पद्धत एका समीकरणात "एक्स फॉरवर्डिंग x" (किंवा इतर कोणत्याही चल) सह प्रारंभ होते. उदाहरणार्थ, आपल्याकडे खालील समीकरणे आहेत: 4x + 2 आय = 8 आणि 5x + 3x = 9. सर्व प्रथम, आम्ही प्रथम तुलना पाहतो. प्रत्येक बाजूला 2y वजा करून पुन्हा व्यवस्थित करा आणि आपल्याला मिळेल: 4x = 8-2y.
   • ही पद्धत बहुतेक वेळा नंतरच्या टप्प्यावर भागांचा वापर करते. आपण अपूर्णांकांवर काम न करण्यास प्राधान्य दिल्यास आपण खाली काढण्याची पद्धत देखील वापरू शकता.
2. "X" सोडवण्यासाठी समीकरणाच्या दोन्ही बाजू विभाजित करा. एकदा समीकरणाच्या एका बाजूला x (किंवा आपण वापरणारे कोणतेही वेरियेबल) संज्ञा असल्यास, व्हेरिएबल विभक्त करण्यासाठी समीकरणाच्या दोन्ही बाजू विभाजित करा. उदाहरणार्थ:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2 वाय / 4)
   • x = 2 - .y
3. हे परत इतर समीकरणात प्लग करा. परत जा याची खात्री करा इतर तुलना, आपण आधीपासून वापरलेली एक नाही. त्या समीकरणात, आपण सोडविलेले व्हेरिएबल पुनर्स्थित कराल, फक्त एक चल सोडून. उदाहरणार्थ:
   • आपल्याला आता हे माहित आहे: x = 2 - .y.
   • दुसरे समीकरण, जे तुम्ही अद्याप बदललेले नाही, तेः 5x + 3x = 9.
   • दुसर्‍या समीकरणात x ला "२ - ½y" सह बदला: 5 (2 - )y) + 3y = 9.
4. उर्वरित चल करीता सोडवा. आता आपल्याकडे फक्त एकच चल असलेले समीकरण आहे. त्या व्हेरिएबलचे निराकरण करण्यासाठी सामान्य बीजगणित तंत्र वापरा. जर व्हेरिएबल्स एकमेकांना रद्द करतात तर शेवटच्या टप्प्यावर जा. अन्यथा, आपण आपल्या एका व्हेरिएबलाचे उत्तर दिलेः
   • 5 (2 - )y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (जर आपल्याला ही पायरी समजली नसेल तर फ्रॅक्शन्स कसे जोडायचे ते शिका. या पद्धतीसह हे बर्‍याचदा, परंतु नेहमीच आवश्यक नसते).
   • 10 + =y = 9
   • =y = -1
   • y = -2
5. इतर व्हेरिएबलचे निराकरण करण्यासाठी उत्तर वापरा. अर्ध्यावरुन समस्या संपवण्याची चूक करू नका. आपल्याला मूळ समीकरणांपैकी एक मिळालेले उत्तर आपल्याला पुन्हा प्रविष्ट करावे लागेल जेणेकरुन आपण इतर व्हेरिएबलचे निराकरण करू शकाल:
   • आपल्याला आता हे माहित आहे: y = -2
   • मूळ समीकरणांपैकी एक म्हणजेः 4x + 2 आय = 8. (दोन्ही समीकरणे या चरणासाठी वापरली जाऊ शकतात).
   • Y ऐवजी -2 प्लग इन करा: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. दोन्ही व्हेरिएबल्स एकमेकांना रद्द केल्यास काय करावे हे जाणून घ्या. जेव्हा आपण x = 3y + 2 किंवा इतर समीकरणात समान उत्तर मिळवा, आपण केवळ एका चल सह समीकरण मिळविण्याचा प्रयत्न करीत आहात. कधीकधी आपण त्याऐवजी एखाद्या समीकरणासह समाप्त केले विना चल. आपले काम दोनदा पहा आणि दुसर्‍या समीकरणात (पुनर्रचित) प्रथम समीकरण न बदलण्याचे सुनिश्चित करा, प्रथम समीकरण नाही. आपल्याला खात्री आहे की आपण काही चुका केल्या नाहीत, आपल्याला पुढीलपैकी एक निकाल मिळेल:
   • जर आपण चल नसलेल्या समीकरणासह समाप्त केले आणि ते सत्य नाही (उदा. 3 = 5), तर आपल्याला समस्या आहे उपाय नाही. (जर आपण ही समीकरणे काढली असतील तर आपण त्यांना समांतर असल्याचे आणि कधीही छेदू नये असे दिसेल)
   • जर तुम्ही व्हेरिएबल्सशिवाय समिकरणास समाप्त केले तर ते चांगले सत्य आहे (उदाहरणार्थ, 3 = 3), मग त्यात समस्या आहे समाधानाची असीम संख्या. दोन समीकरणे अगदी बरोबर आहेत. (जर आपण दोन समीकरणे आलेख केली तर ती आपल्याला अगदी आच्छादित दिसेल)

पद्धत 3 पैकी 2: निर्मूलन पद्धत वापरणे

1. व्हेरिएबल काढून टाकण्यासाठी निश्चित करते. कधीकधी समीकरणे एकत्र जोडताच एकमेकांना एका व्हेरिएबलमध्ये "समाप्त" करतात. उदाहरणार्थ जेव्हा आपण समीकरणे करता 3x + 2y = 11 आणि 5 एक्स - 2 आय = 13 एकत्रितपणे, "+ 2y" आणि "-2y" सर्व "y" सह एकमेकांना रद्द करेलs समीकरणातून काढून टाकले जाते. अशाप्रकारे कुठल्याही व्हेरिएबल्सचा नाश होईल की नाही हे शोधण्यासाठी आपल्या समस्येतील समीकरणे पहा. व्हेरिएबल्सपैकी काहीही काढून टाकले नाही तर सल्ल्यासाठी पुढील चरण वर वाचा.
2. व्हेरिएबल रद्द करण्यासाठी समीकरण गुणाकार करा. (व्हेरिएबल्सने एकमेकांना आधीच काढून टाकले असल्यास हा चरण वगळा). जर समीकरणांमधील कोणतेही बदल स्वतःच रद्द केले नाहीत तर आपल्याला समीकरणांपैकी एक बदलणे आवश्यक आहे जेणेकरुन ते होईल. एखाद्या उदाहरणासह हे समजणे सर्वात सोपे आहे:
   • समजा आपल्याकडे समीकरणांची व्यवस्था आहे 3x - y = 3 आणि -x + 2y = 4.
   • पहिले समीकरण बदलू जेणेकरुन व्हेरिएबल असेल y दूर आहे. (आपण हे यासाठी देखील करू शकता एक्स करा आणि समान उत्तर मिळवा).
   • द - y " पहिल्या समीकरणाचे सह काढून टाकले पाहिजे + 2 वा दुसर्‍या समीकरणात आम्ही हे करू शकतो - वाय 2 ने गुणाकार करा.
   • आम्ही पहिल्या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करतोः 2 (3x - y) = 2 (3), आणि म्हणून 6 एक्स - 2 आय = 6. आता होईल - 2 वा च्या विरुद्ध दूर पडणे + 2 वा दुसर्‍या समीकरणात
3. दोन समीकरणे एकत्र करा. दोन समीकरणे एकत्र करण्यास सक्षम होण्यासाठी डावी व उजवी बाजू एकत्र जोडा. जर आपण हे समीकरण योग्यरित्या लिहिले असेल तर व्हेरिएबल्सपैकी एकाने दुसर्‍या विरूद्ध रद्द केले पाहिजे. शेवटच्या चरणात समान समीकरणे वापरण्याचे एक उदाहरण येथे आहे:
   • आपली समीकरणे अशीः 6 एक्स - 2 आय = 6 आणि -x + 2y = 4.
   • डाव्या बाजू एकत्र करा: 6 एक्स - 2 ए - एक्स + 2 ए =?
   • उजव्या बाजू एकत्र करा: 6 एक्स - 2 ए - एक्स + 2 ए = 6 + 4.
4. शेवटच्या चल साठी सोडवा. एकत्रित समीकरण सुलभ करा आणि नंतर शेवटच्या व्हेरिएबलचे निराकरण करण्यासाठी मूलभूत बीजगणित वापरा. जर सरलीकरणानंतर कोणतेही व्हेरिएबल्स शिल्लक नसतील तर या विभागात शेवटच्या टप्प्यावर जा. अन्यथा, आपण आपल्या चलपैकी एकास सोपे उत्तर देऊन समाप्त केले पाहिजे. उदाहरणार्थ:
   • तुझ्याकडे आहे: 6 एक्स - 2 ए - एक्स + 2 ए = 6 + 4.
   • चलांचे गटबद्ध करा एक्स आणि y एकमेकांशी: 6 एक्स - एक्स - 2 ए + 2 ए = 6 + 4.
   • सरलीकृत करा: 5x = 10
   • X साठी सोडवा: (5x) / 5 = 10/5, म्हणून की x = 2.
5. इतर चल करीता सोडवा. आपल्याला एक व्हेरिएबल सापडला आहे, परंतु आपण अद्याप पूर्ण केलेला नाही. आपले उत्तर एका मूळ समीकरणात बदला जेणेकरुन आपण इतर चल करीता निराकरण करू शकाल. उदाहरणार्थ:
   • तुला माहीत आहे x = 2, आणि ते आपले मूळ समीकरण आहे 3x - y = 3 आहे.
   • X ऐवजी 2 इन प्लग करा: 3 (2) - y = 3.
   • समीकरणात y सोडवा: 6 - वाय = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, म्हणून 6 = 3 + वाय
   • 3 = वाय
6. जेव्हा दोन्ही व्हेरिएबल्स एकमेकांना रद्द करतात तेव्हा काय करावे ते जाणून घ्या. कधीकधी दोन समीकरणे एकत्र केल्याने परिणाम निश्चित होत नाही की असे समीकरण उद्भवते किंवा समस्या सोडविण्यात आपल्याला मदत करत नाही. सुरुवातीपासूनच आपले कार्य दोनदा तपासा, परंतु आपण चूक केली नसल्यास पुढीलपैकी एक उत्तर लिहा:
   • आपल्या एकत्रित समीकरणात कोणतेही चल नसल्यास आणि ते सत्य नसल्यास (जसे की 2 = 7) तेथे आहे उपाय नाही ज्याला दोन्ही समीकरणे आहेत. (जर आपण दोन्ही समीकरणे आलेखत केली तर ती समांतर असल्याचे आणि कधीही छेदू नये असे दिसेल)
   • आपल्या एकत्रित समीकरणात कोणतेही चल नसल्यास आणि ते सत्य असल्यास (जसे की 0 = 0), तर तेथे आहेत समाधानाची असीम संख्या. दोन समीकरणे प्रत्यक्षात एकसारखी आहेत. (जर आपण हे आलेखात ठेवत असाल तर ते एकमेकांना पूर्णपणे आच्छादित करतील हे पहाल).

कृती 3 पैकी 3: आलेख समीकरण

1. निर्दिष्ट केल्यावरच ही पद्धत वापरा. जोपर्यंत आपण संगणक किंवा ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर वापरत नाही तोपर्यंत या समीकरणाच्या बर्‍याच प्रणाल्या अंदाजे निराकरण केल्या जाऊ शकतात. आपला शिक्षक किंवा गणिताची पाठ्यपुस्तक कदाचित तुम्हाला ही पद्धत वापरण्यास सांगू शकेल, म्हणूनच तुम्हाला कदाचित रेषा सारख्या ग्राफिकल समीकरणाशी परिचित असेल. इतर कोणत्याही पद्धतींमधील आपली उत्तरे बरोबर आहेत की नाही हे तपासण्यासाठी आपण ही पद्धत देखील वापरू शकता.
   • मूलभूत कल्पना अशी आहे की आपण दोन्ही समीकरणे आलेख करा आणि ते कोणत्या बिंदूतून विभाजित होतील हे निर्धारित करा. या क्षणी x आणि y ची व्हॅल्यूज समीकरणाच्या प्रणालीत x चे मूल्य आणि y चे मूल्य देतात.
2. Y साठी दोन्ही समीकरणे सोडवा. दोन समीकरणे वेगळी ठेवा आणि प्रत्येक समीकरण "y = __x + __" स्वरूपात रूपांतरित करण्यासाठी बीजगणित वापरा. उदाहरणार्थ:
   • पहिले समीकरणः 2x + y = 5. यावर बदला: y = -2x + 5.
   • दुसरे समीकरणः -3x + 6y = 0. यात बदला 6y = 3x + 0, आणि सुलभ करा y = +x + 0.
   • दोन्ही समीकरणे एकसारखे आहेतनंतर संपूर्ण ओळ एक "छेदनबिंदू" बनते. लिहा: अनंत निराकरण.
3. एक समन्वय प्रणाली काढा. आलेख कागदाच्या शीटवर एक अनुलंब "वाय-अक्ष" आणि क्षैतिज "एक्स-अक्ष" काढा. जिथे रेषा एकमेकांना छेदतात त्या बिंदूपासून प्रारंभ करा आणि y, अक्षाच्या वर आणि 1 अक्षांसह, 1, 2, 3, 4 इ. वर लेबल लावा. Y अक्षाच्या खाली -1 आणि -2 इत्यादी संख्या अक्षासह डावीकडे आणि लेबल लावा.
   • आपल्याकडे आलेख कागद नसल्यास, संख्या समान प्रमाणात अंतर आहेत हे सुनिश्चित करण्यासाठी शासक वापरा.
   • आपण मोठ्या संख्येने किंवा दशांश स्थाने वापरत असल्यास आपल्याला चार्ट मोजण्याची आवश्यकता असू शकते. (उदाहरणार्थ 1, 2, 3 ऐवजी 10, 20, 30 किंवा 0.1, 0.2, 0.3).
4. प्रत्येक ओळीसाठी y छेदनबिंदू काढा. एकदा आपल्याकडे फॉर्ममध्ये समीकरण आले y = __x + __ आपण रेखांकन सुरू करू शकता जेथे बिंदू सेट करुन वाय-अक्ष थांबेल. हे नेहमी y च्या मूल्यात असते, या समीकरणातील शेवटच्या संख्येइतकेच.
   • पूर्वी नमूद केलेल्या उदाहरणांमध्ये, एक ओळ (y = -2x + 5) y- अक्षामध्ये 5. दुसरी ओळ (y = +x + 0) शून्य बिंदूतून जातो 0. (हे आलेखातील बिंदू (0.5) आणि (0.0) आहेत.
   • शक्य असल्यास प्रत्येक ओळीला वेगळ्या रंगाने सूचित करा.
5. रेषा रेखांकन सुरू ठेवण्यासाठी उतार वापरा. च्या रूपात y = __x + __, x व्या क्रमांकाची संख्या आहे उतार ओळ सोडून प्रत्येक वेळी एक्सने एकाने वाढ केली तर उतारच्या मूल्यासह y मूल्य वाढेल. जेव्हा x = १ (वैकल्पिकरित्या, प्रत्येक समीकरणासाठी x = 1 पर्याय द्या आणि y साठी सोडवा) तेव्हा प्रत्येक ओळीच्या आलेखावरील बिंदू शोधण्यासाठी या माहितीचा वापर करा.
   • आमच्या उदाहरणात, ओळ आहे y = -2x + 5 च्या उतार -2. X = 1 वर ओळ ​​2 खाली येते खाली x = 0. बिंदूतून रेषाखंड (0.5) आणि (1.3) दरम्यान काढा.
   • नियम y = +x + 0ची उतार आहे ½. X = 1 वाजता, रेषा ½ वर जाईल वर बिंदू x = 0. वरून रेखा विभाग (0,0) आणि (1, ½) दरम्यान काढा.
   • जेव्हा रेषांचा समान उतार असेल रेषा कधीच एकमेकांना छेदणार नाहीत, म्हणूनच समीकरणाच्या प्रणालीसाठी कोणतेही निराकरण नाही. लिहा: उपाय नाही.
6. रेषा एकमेकांना छेदतील तोपर्यंत प्लॉट करणे सुरू ठेवा. थांबा आणि आपला चार्ट पहा. जर रेषा आधीच एकमेकांना ओलांडल्या असतील तर पुढच्या टप्प्यावर जा. अन्यथा, ओळी काय करतात यावर आधारित आपण निर्णय घेता:
   • रेषा एकमेकांकडे जात असताना आपण त्या दिशेने बिंदू रेखाटत रहा.
   • जर रेषा एकमेकांपासून दूर जात असतील तर परत जा आणि दुसर्‍या दिशेने बिंदू काढा, x = -1 पासून प्रारंभ करा.
   • रेषा कोठेही एकमेकांच्या जवळ नसल्यास, पुढे जा आणि पुढील बिंदू प्लॉट करा, जसे की x = 10.
7. उत्तर रेषांच्या छेदनबिंदूवर शोधा. एकदा दोन ओळी छेदल्या की त्या बिंदूवरील x आणि y मूल्ये ही समस्येचे निराकरण करतात. आपण भाग्यवान असल्यास, उत्तर पूर्णांक असेल. उदाहरणार्थ, आमच्या उदाहरणांमध्ये, दोन ओळी एकमेकांना छेदतात (2,1) तुझे उत्तरही आहे x = 2 आणि y = 1. समीकरणांच्या काही प्रणालींमध्ये, रेषा दोन पूर्णांकांच्या दरम्यान मूल्ये विभाजित करतात आणि आपला आलेख अत्यंत अचूक असल्याशिवाय हे कोठे आहे हे सांगणे कठीण होईल. जर अशी स्थिती असेल तर आपण असे उत्तर देऊ शकताः "x 1 ते 2 दरम्यान आहे". अचूक उत्तर शोधण्यासाठी आपण बदलण्याची पद्धत किंवा निर्मूलन पद्धत देखील वापरू शकता.

टिपा

• उत्तरे परत मूळ समीकरणांमध्ये प्रविष्ट करुन आपण आपले कार्य तपासू शकता. जर समीकरणे खरी असतील (उदाहरणार्थ, 3 = 3), तर आपले उत्तर बरोबर आहे.
• एलिमिनेशन पद्धतीत, कधीकधी आपल्याला व्हेरिएबल काढून टाकण्यासाठी समीकरण नकारात्मक संख्येने गुणाकार करावे लागते.

चेतावणी

• आपण x सारख्या उर्जा क्रमांकासह काम करत असल्यास या पद्धती वापरल्या जाऊ शकत नाहीत. या प्रकारच्या समीकरणांबद्दल अधिक जाणून घेण्यासाठी, आपल्याला दोन चलांसह फॅक्टर स्क्वेअर करण्यासाठी मार्गदर्शक आवश्यक आहे.