सामग्री

• पायर्‍या
• सल्ला
• आपल्याला काय पाहिजे

गणितामध्ये, घटक विश्लेषण दिलेली संख्या किंवा समीकरणाचे उत्पादन असलेली संख्या किंवा अभिव्यक्ती शोधणे आहे. मूलभूत बीजगणित समस्या सोडविण्याकरिता फॅक्टर विश्लेषण हे एक उपयुक्त कौशल्य आहे: कार्य करण्याच्या बाबतीत कुशलतेने घटक बनविण्याची क्षमता जवळजवळ गंभीर असते. बीजगणित समीकरण किंवा इतर बहुपदी फॉर्मसह. बीजगणित अभिव्यक्ती कमी करण्यासाठी फॅक्टर विश्लेषणाचा वापर केला जाऊ शकतो, ज्यामुळे समस्या अधिक सोपी होईल. त्याबद्दल धन्यवाद, आपण हातांनी निराकरण करण्यापेक्षा काही विशिष्ट उत्तरे देखील जलद दूर करू शकता.

पायर्‍या

3 पैकी 1 पद्धत: घटकांमध्ये संख्या आणि मूलभूत बीजगणित शब्दांचे विश्लेषण करा

1. 

   
   
   एकल अंकांवर अर्ज करताना घटक विश्लेषणाची व्याख्या समजून घ्या. वैचारिकदृष्ट्या सोपे असले तरीही, प्रत्यक्षात, जटिल समीकरणे लागू करणे खूपच कठीण आहे. म्हणून, सर्वात प्रगत अनुप्रयोगांसह पुढे जाण्यापूर्वी सर्वात सोपा घटक विश्लेषण संकल्पनात्मक दृष्टीकोन म्हणजे एका क्रमांकापासून प्रारंभ करणे आणि नंतर साध्या समीकरणेकडे जाणे. फॅक्टर दिलेल्या संख्येसाठी समान संख्येच्या उत्पादनासह संख्या आहेत. उदाहरणार्थ, 1, 12, 2, 6, 3 आणि 4 हे 12 चे घटक आहेत कारण 1 × 12, 2 × 6 आणि 3 × 4 सर्व 12 आहेत.
   • दुसर्‍या शब्दांत, दिलेल्या संख्येचे घटक म्हणजे संख्या विभाजित आहे त्या संख्येने
   • आपण 60 चे पूर्ण घटक शोधू शकता? Number० संख्या बर्‍याच वेगवेगळ्या उद्देशाने वापरली जाते (एका तासामध्ये मिनिटे, एका मिनिटात सेकंद इ.) कारण ती बर्‍याच संख्येने विभाजित आहे.
     • संख्या 60 मध्ये खालील घटक आहेतः 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 आणि 60.

2. 

   
   
   हे समजून घ्या की चल असणारी अभिव्यक्ती देखील घटकबद्ध केली जाऊ शकतात. स्वतंत्र संख्या तसेच अंकगणित गुणांक असलेले चल देखील घटकबद्ध केले जाऊ शकतात. हे करण्यासाठी, आपल्याला फक्त व्हेरिएबलच्या गुणांकांचे घटक शोधणे आवश्यक आहे. विश्लेषणाचे घटक कसे बनवायचे हे जाणून घेण्यासारखे व्हेरिएबल्स असलेल्या साध्या ट्रान्सफॉर्मिंग बीजगणित समीकरणामध्ये खूप उपयुक्त आहे.
   • उदाहरणार्थ 12x चे परिणाम 12 आणि x चे पुन्हा लिहिले जाऊ शकतात. 12x 3 (4x), 2 (6x) इत्यादी म्हणून लिहणे शक्य आहे आणि 12 चा हेतू असलेल्या वापरासाठी योग्य घटकांचा वापर करणे शक्य आहे.
     • आपण अगदी 12x विश्लेषणापर्यंत जाऊ शकता पुष्कळ वेळा. दुस words्या शब्दांत, 3 (4x) किंवा 2 (6x) वर थांबायची आवश्यकता नाही - आम्ही अनुक्रमे 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) मिळविण्यासाठी 4x आणि 6x चे विश्लेषण करू शकतो. हे सूत्र समतुल्य आहे.

3. 

   
   
   बीजगणित समीकरणे निश्चित करण्यासाठी गुणाकाराचे साहसी गुणधर्म लागू करा. स्वतंत्र संख्या आणि गुणांक दोन्ही घटकांचे विश्लेषण करण्याच्या आपल्या ज्ञानाचा वापर करून आपण समीकरणात समाविष्ट असलेल्या संख्येचे आणि घटकांचे सामान्य घटक शोधून साध्या बीजगणित समीकरणे सुलभ करू शकता. बहुतेकदा, समीकरण शक्य तितके सोपे होण्यासाठी आम्ही सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्याचा प्रयत्न करू. हे सोपे परिवर्तन गुणाकाराच्या सहकार स्वरूपामुळे शक्य आहे - अ, बी आणि सी प्रत्येक संख्येसाठी: a (बी + सी) = अबी + एसी.
   • चला खालील उदाहरणावरील समस्येचा विचार करूया. बीजगणित समीकरण 12x + 6 चे घटक काढण्यासाठी प्रथम, आपल्याला 12x आणि 6 चा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आढळतो. 12x आणि 6 या दोहोंद्वारे विभाजीत होणारी सर्वात मोठी संख्या आहे, तर आपण फक्त बदलू शकतो समीकरण 6 पर्यंत कमी करा (2x + 1).
   • तीच प्रक्रिया नकारात्मक चिन्हे आणि अपूर्णांक असलेल्या समीकरणावर लागू होते. उदाहरणार्थ x / 2 + 4 हे सहजपणे 1/2 (x + 8) मध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते आणि -7x + -21 विघटित केले जाऊ शकते -7 (x + 3).
   जाहिरात

3 पैकी 2 पद्धत: घटकांमध्ये चौरस समीकरणांचे विश्लेषण

1. 

   हे समीकरण चतुर्भुज स्वरूपात असल्याचे सुनिश्चित करा (ax + bx + c = 0). चतुर्भुज समीकरणात अक्ष + बीएक्स + सी = ० हा फॉर्म आहे, जिथे अ, ब आणि क स्थिर आहेत आणि अ नॉनझेरो आहे (लक्षात घ्या की मे समान 1 किंवा -1). जर व्हेरिएबल (एक्स) समीकरणात एक किंवा अधिक संज्ञा समाविष्टीत असतील ज्यात x चा वर्ग असेल तर आपण सहसा समान चिन्हाच्या एका बाजूला बेसिक बीजगणित ऑपरेटर रुपांतरित करू शकता आणि कु ax्हाड वगैरे लावू शकता. दुसर्‍या बाजूला
   • उदाहरणार्थ, बीजगणित समीकरण 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 x + 6x + 9 = 0 पर्यंत कमी केले जाऊ शकते, जे एक चतुर्भुज प्रकार आहे.
   • X, एक्स, एक्स इत्यादींसारख्या एक्सचे एक्सपोन्शन जास्त असणारी समीकरणे. चौरस असू शकत नाही. ते चतुर्भुज, चतुर्भुज आहेत ... जोपर्यंत 3 किंवा त्यापेक्षा जास्त x चे सामर्थ्य असलेल्या संज्ञा काढून समीकरण कमी केले जाऊ शकत नाही.

2. 

   चतुर्भुज समीकरणांसह, जेव्हा a = 1 होते तेव्हा आम्ही (x + d) (x + e) ​​विघटित करतो, जिथे d × e = c आणि d + e = b. जर चतुर्भुज समीकरण x + bx + c = 0 स्वरूपात असेल (दुस words्या शब्दांत, x = 1 चे गुणांक असल्यास) आपण एक तुलनेने वेगवान गणना वापरू शकतो अशी शक्यता आहे (परंतु खात्री नाही). हे समीकरण काढणे सोपे आहे. सी च्या बरोबर दोन संख्या शोधा आणि बेरीज ब. एकदा आपल्याला डी आणि ई सापडल्यानंतर त्यांना पुढील अभिव्यक्तीसह बदला: (x + डी) (x + ई). जेव्हा एकत्र गुणाकार केला जातो तेव्हा हे दोन घटक आपल्याला वरील चौरस समीकरण देतात - दुस words्या शब्दांत ते समीकरणांचे घटक आहेत.
   • उदाहरणार्थ द्विघात समीकरण x + 5x + 6 = 0. 3 आणि 2 चे उत्पादन 6 असेल आणि त्याच वेळी एकूण 5 असू शकतात. म्हणूनच आपण समीकरणाला (x + 3) रूपांतरित करू शकता ( x + 2).
   • हे मूलभूत द्रुत निराकरण थोडे वेगळे असेल जेव्हा समीकरण स्वतःच थोडे वेगळे असेल:
     • जर चतुर्भुज समीकरण एक्स-बीएक्स + सी स्वरूपात असेल तर आपले उत्तर या फॉर्मचे असेल: (x - _) (x - _).
     • ते एक्स + बीएक्स + सी फॉर्ममध्ये असल्यास आपले उत्तर असेलः (x + _) (x + _).
     • ते x-bx-c मध्ये असल्यास, आपला प्रतिसाद (x + _) (x - _) स्वरूपात असेल.
   • टीपः रिक्त स्थानांमध्ये अपूर्णांक किंवा दशांश असू शकतात. उदाहरणार्थ, x + (21/2) x + 5 = 0 हे समीकरण (x + 10) (x + 1/2) मध्ये विघटित होते.

3. 

   
   
   शक्य असल्यास चाचणीद्वारे घटक विश्लेषण करा. त्यावर विश्वास ठेवा किंवा नाही, असंघटित चतुर्भुज समीकरणासह, घटक ठरविण्याची एक स्वीकारली जाणारी पद्धत म्हणजे फक्त समस्येकडे पाहणे आणि परिणाम सापडल्याशिवाय सर्व संभाव्य उत्तरे तोलणे. बरोबर उत्तर. हे चाचणी पद्धत म्हणून देखील ओळखले जाते.समीकरणात अक्ष + बीएक्स + सी आणि ए> १ फॉर्म असल्यास आपल्या घटक विश्लेषणामध्ये फॉर्म असेल (डीएक्स +/- _) (उदा +/- _), जिथे डी आणि ई स्थिर आहेत इतर अ बरोबर नाही. डी किंवा ई (किंवा दोन्ही) मे समान 1, जरी ते अपरिहार्यपणे होणार नाही. दोन्ही समान 1 असल्यास, आपण मुळात वर दर्शविलेले द्रुत काम वापरले असते.
   • पुढील उदाहरण समस्येचा विचार करा. पहिल्या दृष्टीक्षेपात, 3x - 8x + 4 खूपच भयानक दिसत आहे. तथापि, एकदा आपल्याला हे समजले की 3 मध्ये फक्त दोन घटक आहेत (3 आणि 1), समस्या अधिक सुलभ होते कारण आम्हाला माहित आहे की उत्तर फॉर्मचे (3x +/- _) (x +/- _) असणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, दोन्ही जागेमध्ये -2 बदलणे योग्य उत्तर देते. -2 × 3x = -6x आणि -2 × x = -2x. -6x आणि -2x एकूण -8x -2 × -2 = 4, म्हणून हे पाहिले जाऊ शकते की कंसात विश्लेषित केलेले घटक आपल्याला प्रारंभिक समीकरण देतात.

4. 

   
   
   स्क्वेअर पूर्ण करून समस्येचे निराकरण करा. काही प्रकरणांमध्ये, एक विशेष बीजगणित ओळख वापरून चतुर्भुज समीकरणे जलद आणि सहज गुणाकार होऊ शकतात. एक्स + 2 एक्सएच + एच = (एक्स + एच) फॉर्मचे कोणतेही चौरस समीकरण. म्हणूनच जर समीकरणामध्ये, बी c च्या दुप्पट चौरस असेल तर हे समीकरण (x + (sqrt (c))) मध्ये विघटित केले जाऊ शकते.
   • या फॉर्मसाठी x + 6x + 9 हे समीकरण कार्य करेल, उदाहरणार्थ. Equ बरोबर and आणि × × २ समान 6.. म्हणून आम्हाला हे माहित आहे की या समीकरणाचा फॅक्टरिझेशन फॉर्म (x + 3) (x + 3) किंवा (x + 3) आहे.

5. 

   
   
   चौरस समीकरणे घटकांसह सोडवा. कोणत्याही प्रकारे, एकदा चतुष्कोणीय अभिव्यक्तीचे घटक बनल्यानंतर आपण प्रत्येक घटकाला शून्य देऊन आणि त्याचे निराकरण करून x च्या मूल्याचे संभाव्य उत्तर शोधू शकता. तुम्ही x चे मूल्य शोधत आहात की समीकरण शून्य आहे, कोणताही घटक शून्य होण्यास कारणीभूत ठरू शकेल.
   • X + 5x + 6 = 0. समीकरणाकडे परत जा. हे विघटित होते (x + 3) (x + 2) = 0. जेव्हा एक घटक शून्य असतो तेव्हा संपूर्ण समीकरण शून्य होते. X चे संभाव्य सोल्यूशन्स ही संख्या आहेत जी क्रमशः (x + 3) आणि (x + 2) 0, -3 आणि -2 बरोबर बनतात.

6. 

   आपली उत्तरे तपासा - काही विदेशी असू शकतात! आपल्याला x चे संभाव्य निराकरण सापडल्यास ते बरोबर आहेत की नाही हे ठरवण्यासाठी मूळ समीकरणासह त्यास बदला. कधीकधी, उत्तर सापडते काही हरकत नाही पुनर्स्थित केल्यावर मूळ समीकरण शून्य होते. आम्ही या उपायांना कॉल करतो विचित्र आणि त्यांना दूर.
   • X + 5x + 6 = 0. साठी -2 आणि -3 पुनर्स्थित करा प्रथम, -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. होय, तर -2 हे समीकरणाचे वैध समाधान आहे.
   • चला प्रयत्न करूया -3:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. हे देखील खरे आहे आणि म्हणूनच, -3 हे समीकरणाचे वैध समाधान आहे.
   जाहिरात

पद्धत 3 पैकी 3: इतर प्रकारच्या समीकरणाचे घटकांमध्ये विश्लेषण करा

1. 

   जर समीकरण ए-बी फॉर्ममध्ये असेल तर ते (अ + बी) (ए-बी) मध्ये विघटित करा. मूलभूत चतुर्भुज समीकरणापेक्षा द्वि-चल समीकरण भिन्न विश्लेषित केले जाते. कोणतेही ए-बी समीकरण ज्यामध्ये अ आणि बी नॉनझेरो आहेत ते विघटित केले जाईल (ए + बी) (ए-बी).
   • उदाहरणार्थ, 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y) हे समीकरण.

2. 

   हे समीकरण +2 अब्ब + बी फॉर्ममध्ये असल्यास ते विघटित करा (a + बी). लक्षात घ्या की त्रिकोमाकृती फॉर्ममध्ये असल्यास ए-2ab + बी, फॅक्टरिझेशन फॉर्ममध्ये किंचित फरक असेल: (ए-बी)
   • 4x + 8xy + 4y समीकरणे 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y म्हणून पुन्हा लिहिली जाऊ शकतात. आता आपण पाहिले आहे की ते योग्य स्वरुपात आहे आणि आत्मविश्वासाने सांगू शकतो की या समीकरणाचा फॅक्टरिझेशन फॉर्म (2x + 2y) आहे.

3. 

   जर हे समीकरण a-b फॉर्ममध्ये असेल तर ते (a-b) (a + ab + b) मध्ये विघटित करा. शेवटी असे म्हणायला हवे की तिन्ही समीकरणे आणि अगदी उच्च ऑर्डरची समीकरणे देखील घटकली जाऊ शकतात. तथापि, विश्लेषण प्रक्रिया त्वरीत आश्चर्यकारकपणे गुंतागुंतीची होईल.
   • उदाहरणार्थ, 8x - 27y (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y))) + 9 वा) मध्ये विघटित होते
   जाहिरात

सल्ला

• a-b चे घटक केले जाऊ शकते आणि a + बी करू शकत नाही.
• स्थिर घटकांचे घटक कसे ठरवायचे ते लक्षात ठेवा - ते उपयुक्त ठरू शकते.
• फॅक्टरिझेशन प्रक्रियेतील भिन्नांकडे लक्ष द्या, त्यांना योग्य आणि योग्य प्रकारे हाताळा.
• एक्स + बीएक्स + (बी / २) त्रिशूलसह, त्याचे घटककरण (x + (बी / २)) असेल (आपण स्क्वेअर पूर्ण करताना या परिस्थितीत येऊ शकता).
• लक्षात ठेवा की a0 = 0 (मालमत्ता शून्याने गुणाकार).

आपल्याला काय पाहिजे

• कागद
• पेन्सिल
• गणित पुस्तक (आवश्यक असल्यास)