सामग्री

• पावले
• 4 पैकी 1 पद्धत: हर्यात एकपदी
• 4 पैकी 2 पद्धत: भाजकामध्ये द्विपद
• 4 पैकी 3 पद्धत: उलटी अभिव्यक्ती
• 4 पैकी 4 पद्धत: क्यूबिक रूट डेनोमिनेटर

गणितामध्ये, अपूर्णांकाच्या भागामध्ये मूळ किंवा अपरिमेय संख्या सोडण्याची प्रथा नाही. जर भाजक मूळ असेल तर मुळापासून मुक्त होण्यासाठी अपूर्णांक काही संज्ञा किंवा अभिव्यक्तीने गुणाकार करा. आधुनिक कॅल्क्युलेटर आपल्याला संप्रदायातील मुळांसह कार्य करण्यास अनुमती देतात, परंतु शैक्षणिक कार्यक्रमासाठी विद्यार्थ्यांनी संप्रदायातील असमंजसपणापासून मुक्त होणे आवश्यक आहे.

पावले

4 पैकी 1 पद्धत: हर्यात एकपदी

1. 1 अपूर्णांक जाणून घ्या. अंशात मुळ नसल्यास अपूर्णांक योग्यरित्या लिहिला जातो. जर भाजकाला चौरस किंवा इतर कोणतेही मूळ असेल, तर आपल्याला मुळापासून मुक्त होण्यासाठी अंश आणि भाजकाला काही मोनोमियलने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. कृपया लक्षात घ्या की अंशात मूळ असू शकते - हे सामान्य आहे.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • येथे भाजकाचे मूळ आहे ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 अंश आणि भाजकाला भाजकाच्या मुळाशी गुणाकार करा. जर हर्यात एकपदी असेल तर अशा अपूर्णांकाचे तर्कसंगतकरण करणे अगदी सोपे आहे. अंश आणि भाजकाला एकाच मोनोमियलने गुणाकार करा (म्हणजेच, तुम्ही अपूर्णांक 1 ने गुणाकार करत आहात).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • जर तुम्ही कॅल्क्युलेटरवर समाधानासाठी अभिव्यक्ती प्रविष्ट करत असाल, तर त्यांना वेगळे करण्यासाठी प्रत्येक भागाभोवती कंस ठेवण्याचे सुनिश्चित करा.
3. 3 अपूर्णांक सरळ करा (शक्य असल्यास). आमच्या उदाहरणामध्ये, अंश आणि भाजकाला 7 ने विभाजित करून हे संक्षिप्त केले जाऊ शकते.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

4 पैकी 2 पद्धत: भाजकामध्ये द्विपद

1. 1 अपूर्णांक जाणून घ्या. जर त्याच्या भागामध्ये दोन मोनोमियल्सची बेरीज किंवा फरक असेल, त्यापैकी एकामध्ये मूळ असेल, तर अपरिमेयतेपासून मुक्त होण्यासाठी अशा द्विपदाने अपूर्णांक गुणाकार करणे अशक्य आहे.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • हे समजण्यासाठी, अपूर्णांक लिहा ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$जेथे एकपदी ${ प्रदर्शन शैली a}$ किंवा ${ displaystyle b}$ मूळ समाविष्टीत आहे. या प्रकरणात: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... अशा प्रकारे, मोनोमियल ${ displaystyle 2ab}$ तरीही मूळ समाविष्ट करेल (जर ${ प्रदर्शन शैली a}$ किंवा ${ displaystyle b}$ मूळ आहे).
   • चला आमच्या उदाहरणावर एक नजर टाकूया.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • आपण पाहता की आपण संप्रदायातील मोनोमियलपासून मुक्त होऊ शकत नाही ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 अंश आणि भाजकाला द्विपदीच्या द्विपद संयुग्माने गुणाकार करा. एक संयुग्म द्विपद समान द्विपद आहे, परंतु त्यांच्यामध्ये उलट चिन्हासह. उदाहरणार्थ, बिनोम ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ एक द्विपद मध्ये संयुग्मित ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • या पद्धतीचा अर्थ समजून घ्या. अपूर्णांकाचा पुन्हा विचार करा ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... अंश आणि भाजकाला द्विपद संयुग्मक द्वारे द्विपदी मध्ये गुणाकार करा: ${ displaystyle (a + b) (a -b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... अशाप्रकारे, तेथे कोणतेही मोनोमियल नाहीत ज्यात मुळे आहेत. मोनोमियल्स असल्याने ${ प्रदर्शन शैली a}$ आणि ${ displaystyle b}$ चौरस आहेत, मुळे काढून टाकली जातील.
3. 3 अपूर्णांक सरळ करा (शक्य असल्यास). अंश आणि भाजक या दोन्हीमध्ये एक समान घटक असल्यास, ते रद्द करा. आमच्या बाबतीत, 4 - 2 = 2, जे अपूर्णांक कमी करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2-{ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

4 पैकी 3 पद्धत: उलटी अभिव्यक्ती

1. 1 समस्येचे परीक्षण करा. जर तुम्हाला एखादी अभिव्यक्ती शोधण्याची आवश्यकता आहे जी दिलेल्याच्या उलट आहे, ज्यात मूळ आहे, तर तुम्हाला परिणामी अपूर्णांकाचे तर्कशुद्धीकरण करावे लागेल (आणि त्यानंतरच ते सोपे करा). या प्रकरणात, पहिल्या किंवा दुसऱ्या विभागात वर्णन केलेल्या पद्धतीचा वापर करा (कार्यावर अवलंबून).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 उलट अभिव्यक्ती लिहा. हे करण्यासाठी, दिलेल्या अभिव्यक्तीने 1 विभाजित करा; अपूर्णांक दिल्यास, अंश आणि भाजक स्वॅप करा. लक्षात ठेवा की कोणतीही अभिव्यक्ती हा अपूर्णांक आहे ज्यामध्ये 1 आहे.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 मुळापासून मुक्त होण्यासाठी अंश आणि भाजकाला काही अभिव्यक्तीने गुणाकार करा. अंश आणि भाजकाला एकाच अभिव्यक्तीने गुणाकार करून, तुम्ही अपूर्णांकाला 1 ने गुणाकार करत आहात, म्हणजेच अपूर्णांकाचे मूल्य बदलत नाही. आमच्या उदाहरणामध्ये, आम्हाला एक द्विपद दिलेले आहे, म्हणून संयुग्म द्विपद द्वारे अंश आणि भाजकाला गुणाकार करा.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 अपूर्णांक सरळ करा (शक्य असल्यास). आमच्या उदाहरणात, 4 - 3 = 1, म्हणून अपूर्णांकाच्या भाजकाची अभिव्यक्ती पूर्णपणे रद्द केली जाऊ शकते.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • उत्तर हे या द्विपद साठी एक द्विपद संयुग्म आहे. तो फक्त एक योगायोग आहे.

4 पैकी 4 पद्धत: क्यूबिक रूट डेनोमिनेटर

1. 1 अपूर्णांक जाणून घ्या. समस्येमध्ये क्यूब रूट्स असू शकतात, जरी हे अगदी दुर्मिळ आहे. वर्णन केलेली पद्धत कोणत्याही डिग्रीच्या मुळांना लागू आहे.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 शक्ती म्हणून मूळ पुन्हा लिहा. येथे आपण काही एकपदी किंवा अभिव्यक्तीने अंश आणि भाजकाची गुणाकार करू शकत नाही, कारण युक्तीकरण थोड्या वेगळ्या पद्धतीने केले जाते.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 अपूर्णांकाच्या अंश आणि भाजकाला काही शक्तीने गुणाकार करा म्हणजे भाजकांमधील घातांक 1 होईल. आमच्या उदाहरणात, अपूर्णांकाने गुणाकार करा ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... लक्षात ठेवा जेव्हा अंश गुणाकार केले जातात, तेव्हा त्यांचे निर्देशक जोडतात: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • ही पद्धत पदवी n च्या कोणत्याही मुळांना लागू आहे. अपूर्णांक दिल्यास ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, अंश आणि भाजकाला गुणाकार करा ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... अशा प्रकारे, भाजकाचा घातांक 1 होतो.
4. 4 अपूर्णांक सरळ करा (शक्य असल्यास).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • आवश्यक असल्यास, उत्तरामध्ये मूळ लिहा. आमच्या उदाहरणामध्ये, घातांक दोन घटकांमध्ये कारक करा: ${ प्रदर्शन शैली 1/3}$ आणि ${ प्रदर्शन शैली 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$