सामग्री

• पावले
• 3 पैकी 1 भाग: फंक्शनचे डोमेन शोधणे
• 3 पैकी 2 भाग: चतुर्भुज कार्याची श्रेणी शोधणे
• 3 पैकी 3 भाग: त्याच्या ग्राफचा वापर करून फंक्शनची श्रेणी शोधणे

प्रत्येक फंक्शनमध्ये दोन व्हेरिएबल्स असतात - स्वतंत्र व्हेरिएबल आणि डिपेंडेंट व्हेरिएबल, ज्याची मूल्ये स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या मूल्यांवर अवलंबून असतात. उदाहरणार्थ, फंक्शनमध्ये y = f(x) = 2x + y स्वतंत्र व्हेरिएबल x आहे आणि आश्रित व्हेरिएबल y आहे (दुसऱ्या शब्दांत, y हे x चे फंक्शन आहे). स्वतंत्र व्हेरिएबल "x" च्या वैध मूल्यांना फंक्शनचे डोमेन म्हणतात, आणि आश्रित व्हेरिएबल "y" च्या वैध मूल्यांना फंक्शनचे डोमेन म्हणतात.

पावले

3 पैकी 1 भाग: फंक्शनचे डोमेन शोधणे

1. 1 आपल्याला दिलेल्या कार्याचे प्रकार निश्चित करा. फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी "x" ची सर्व स्वीकार्य मूल्ये आहेत (क्षैतिज अक्षासह प्लॉट केलेले), जे "y" च्या स्वीकार्य मूल्यांशी संबंधित आहेत. फंक्शन चतुर्भुज असू शकते किंवा अपूर्णांक किंवा मुळे असू शकतात. फंक्शनचे डोमेन शोधण्यासाठी, आपल्याला प्रथम फंक्शनचा प्रकार निश्चित करणे आवश्यक आहे.
   • द्विघात कार्य आहे: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • अपूर्णांक असलेले फंक्शन: f (x) = (/_x), f (x) = /_{(x - 1)} (इ.).
   • रूट-युक्त कार्य: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (आणि असेच).
2. 2 फंक्शनच्या व्याप्तीसाठी योग्य प्रविष्टी निवडा. व्याप्ती चौरस आणि / किंवा कंसात लिहिली आहे. जेव्हा एखादे मूल्य फंक्शनच्या कार्यक्षेत्रात असते तेव्हा चौरस कंस वापरला जातो; मूल्य व्याप्तीमध्ये नसल्यास, एक कंस वापरला जातो. जर फंक्शनमध्ये व्याख्येचे अनेक नॉन-कॉन्टिग्यूस डोमेन असतील, तर "U" चिन्ह त्यांच्यामध्ये ठेवलेले आहे.
   • उदाहरणार्थ, डोमेन [-2,10) U (10,2] -2 आणि 2 मूल्ये समाविष्ट करते, परंतु मूल्य 10 समाविष्ट करत नाही.
   • कंस नेहमी अनंत चिन्हासह वापरले जातात ∞.
3. 3 चतुर्भुज फंक्शन प्लॉट करा. अशा फंक्शनचा आलेख एक परवलय आहे, ज्याच्या शाखा वरच्या किंवा खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात. पॅराबोला संपूर्ण X- अक्षावर वाढतो किंवा कमी होत असल्याने, चतुर्भुज कार्याचे डोमेन सर्व वास्तविक संख्या असतात. दुसर्या शब्दात, अशा फंक्शनचे डोमेन संच R आहे (R सर्व वास्तविक संख्या दर्शवते).
   • फंक्शनची संकल्पना चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, "x" चे कोणतेही मूल्य निवडा, त्यास फंक्शनमध्ये बदला आणि "y" मूल्य शोधा. "X" आणि "y" मूल्यांची जोडी निर्देशांक (x, y) असलेल्या बिंदूचे प्रतिनिधित्व करते, जे फंक्शनच्या आलेखावर असते.
   • हा बिंदू कोऑर्डिनेट प्लेनवर काढा आणि वेगळ्या "x" मूल्यासह वर्णन केलेल्या प्रक्रियेचे अनुसरण करा.
   • कोऑर्डिनेट प्लेनवर अनेक बिंदू प्लॉट करून, आपल्याला फंक्शन ग्राफच्या आकाराची सामान्य कल्पना मिळेल.
4. 4 जर फंक्शनमध्ये अपूर्णांक असेल, तर त्याचे हरणे शून्यावर सेट करा. लक्षात ठेवा आपण शून्याने भागू शकत नाही. म्हणून, भाजकाला शून्याशी बरोबरी करून, आपल्याला "x" ची मूल्ये सापडतील जी फंक्शनच्या कार्यक्षेत्रात नाहीत.
   • उदाहरणार्थ, फंक्शनचे डोमेन शोधा f (x) = /_{(x - 1)}.
   • येथे हर (x - 1) आहे.
   • भाजकाला शून्यावर बरोबरी करा आणि "x" शोधा: x - 1 = 0; x = 1.
   • फंक्शनची व्याप्ती लिहा. डोमेनमध्ये 1 समाविष्ट नाही, म्हणजे त्यात 1 वगळता सर्व वास्तविक संख्या समाविष्ट आहेत.
   • नोटेशन (-∞, 1) U (1, ∞) असे वाचते: 1. वगळता सर्व वास्तविक संख्यांचा संच. अनंत प्रतीक ∞ म्हणजे सर्व वास्तविक संख्या. आमच्या उदाहरणामध्ये, 1 पेक्षा जास्त आणि 1 पेक्षा कमी असलेल्या सर्व वास्तविक संख्या कार्यक्षेत्रात समाविष्ट केल्या आहेत.
5. 5 जर फंक्शनमध्ये वर्गमूल असेल, तर मूलगामी अभिव्यक्ती शून्यापेक्षा मोठी किंवा समान असणे आवश्यक आहे. लक्षात ठेवा की numbersण संख्यांचे वर्गमूळ काढले जात नाही. म्हणून, "x" चे कोणतेही मूल्य ज्यावर मूलगामी अभिव्यक्ती नकारात्मक होते ते फंक्शनच्या कार्यक्षेत्रातून वगळले पाहिजे.
   • उदाहरणार्थ, फंक्शनचे डोमेन शोधा f (x) = √ (x + 3).
   • मूलगामी अभिव्यक्ती: (x + 3).
   • मूलगामी अभिव्यक्ती शून्यापेक्षा मोठी किंवा समान असली पाहिजे: (x + 3) ≥ 0.
   • "X" शोधा: x ≥ -3.
   • या फंक्शनच्या व्याप्तीमध्ये सर्व वास्तविक संख्यांचा संच समाविष्ट आहे जो -3 पेक्षा मोठा किंवा समान आहे. अशा प्रकारे, डोमेन [-3, ∞) आहे.

3 पैकी 2 भाग: चतुर्भुज कार्याची श्रेणी शोधणे

1. 1 आपल्याला एक चतुर्भुज कार्य दिले आहे याची खात्री करा. चतुर्भुज कार्याचे स्वरूप आहे: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. अशा फंक्शनचा आलेख एक परवलय आहे ज्याच्या शाखा वर किंवा खाली निर्देशित केल्या जातात. चतुर्भुज कार्याच्या मूल्यांची श्रेणी शोधण्यासाठी विविध पद्धती आहेत.
   • मूळ किंवा अपूर्णांक फंक्शनची श्रेणी शोधण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर वापरून त्या कार्याचा आलेख.
2. 2 फंक्शन ग्राफच्या शिरोबिंदूचे x- समन्वय शोधा. चतुर्भुज कार्याच्या बाबतीत, पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचा x- समन्वय शोधा. लक्षात ठेवा की द्विघात कार्य आहे: ax + bx + c. X- समन्वयाची गणना करण्यासाठी, खालील समीकरण वापरा: x = -b / 2a. हे समीकरण मूलभूत चतुर्भुज कार्याचे व्युत्पन्न आहे आणि एका स्पर्शिकेचे वर्णन करते, ज्याचा उतार शून्य आहे (पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूला स्पर्शिका क्ष अक्षाला समांतर आहे).
   • उदाहरणार्थ, फंक्शन 3x + 6x -2 ची श्रेणी शोधा.
   • पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूच्या x- समन्वयाची गणना करा: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 फंक्शन ग्राफच्या शिरोबिंदूचे y- समन्वय शोधा. हे करण्यासाठी, फंक्शनमध्ये सापडलेला समन्वय "x" ला बदला. शोधलेले समन्वय "y" हे फंक्शनच्या मूल्यांच्या श्रेणीचे मर्यादित मूल्य आहे.
   • Y- समन्वय गणना करा: y = 3x + 6x -2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • या फंक्शनच्या पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक (-1, -5) आहेत.
4. 4 फंक्शनमध्ये कमीतकमी एक x मूल्य बदलून पॅराबोलाची दिशा निश्चित करा. इतर y मूल्य निवडा आणि संबंधित y मूल्याची गणना करण्यासाठी फंक्शनमध्ये प्लग करा. जर सापडलेले मूल्य "y" पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूच्या समन्वय "y" पेक्षा मोठे असेल तर पॅराबोला वरच्या दिशेने निर्देशित केला जातो. जर सापडलेले मूल्य "y" पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूच्या समन्वय "y" पेक्षा कमी असेल तर पॅराबोला खाली दिशेने निर्देशित केला जातो.
   • फंक्शनमध्ये x = -2 ला बदला: y = 3x + 6x -2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) -2 = 12 -12 -2 = -2.
   • पॅराबोलावरील बिंदूचे निर्देशांक (-2, -2) आहेत.
   • सापडलेले निर्देशांक दर्शवतात की पॅराबोलाच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात. अशा प्रकारे, फंक्शन श्रेणीमध्ये सर्व y मूल्ये समाविष्ट आहेत जी -5 पेक्षा मोठी किंवा समान आहेत.
   • या फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी: [-5, ∞)
5. 5 फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी फंक्शनच्या व्याख्येच्या श्रेणीप्रमाणे लिहिली जाते. जेव्हा मूल्य फंक्शनच्या श्रेणीमध्ये असते तेव्हा स्क्वेअर ब्रॅकेटचा वापर केला जातो; मूल्य श्रेणीमध्ये नसल्यास, एक कंस वापरला जातो. जर फंक्शनमध्ये मूल्यांच्या अनेक नॉन-कॉन्टिग्यूस श्रेणी आहेत, तर "U" चिन्ह त्यांच्यामध्ये ठेवलेले आहे.
   • उदाहरणार्थ, [-2,10) U (10,2] श्रेणी -2 आणि 2 मूल्ये समाविष्ट करते, परंतु मूल्य 10 समाविष्ट करत नाही.
   • कंस नेहमी अनंत चिन्हासह वापरले जातात ∞.

3 पैकी 3 भाग: त्याच्या ग्राफचा वापर करून फंक्शनची श्रेणी शोधणे

1. 1 फंक्शन प्लॉट करा. बर्‍याच प्रकरणांमध्ये, फंक्शनचा आलेख प्लॉट करून मूल्यांची श्रेणी शोधणे सोपे होते. मुळांसह अनेक फंक्शन्सच्या मूल्यांची श्रेणी (-∞, 0] किंवा [0, + ∞) आहे, कारण पॅराबोलाचा शिरोबिंदू उजवीकडे किंवा डावीकडे निर्देशित आहे. एक्स-अक्ष वर. या प्रकरणात , परवलय वाढत असल्यास "y" ची सर्व सकारात्मक मूल्ये, किंवा परवलय कमी होत असल्यास सर्व नकारात्मक y मूल्ये समाविष्ट करतात. फ्रॅक्शनल फंक्शन्समध्ये एसिम्प्टोट्स असतात जे त्यांची श्रेणी परिभाषित करतात.
   • मुळांसह काही फंक्शन्सच्या आलेखांचे शिरोबिंदू X-axis च्या वर किंवा खाली असतात. या प्रकरणात, मूल्यांची श्रेणी पॅराबोला शिरोबिंदूच्या “y” समन्वयाने निश्चित केली जाते. जर, उदाहरणार्थ, पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचा "y" समन्वय -4 (y = -4) आहे आणि पॅराबोला वाढत आहे, तर मूल्यांची श्रेणी [-4, + ∞) आहे.
   • फंक्शनचे ग्राफ करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर किंवा विशेष सॉफ्टवेअर वापरणे.
   • जर तुमच्याकडे ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर नसेल, तर फंक्शनमध्ये अनेक x व्हॅल्यू प्लग करून आणि संबंधित y व्हॅल्यूजची गणना करून रफ ग्राफ तयार करा. आलेखाच्या आकाराची सामान्य कल्पना मिळवण्यासाठी समन्वय समतल वर सापडलेल्या बिंदू प्लॉट करा.
2. 2 कमीतकमी फंक्शन शोधा. जेव्हा तुम्ही फंक्शन प्लॉट करता, तेव्हा तुम्हाला बिंदू दिसेल ज्यावर फंक्शनचे किमान मूल्य असते.जर कोणतेही स्पष्ट किमान नसेल तर ते अस्तित्वात नाही आणि फंक्शनचा आलेख -∞ वर जातो.
   • फंक्शनच्या मूल्यांच्या श्रेणीमध्ये एसिम्प्टोट्सची मूल्ये वगळता "y" ची सर्व मूल्ये समाविष्ट आहेत. बर्याचदा, अशा फंक्शन्सच्या मूल्यांच्या श्रेणी खालीलप्रमाणे लिहिल्या जातात: (-∞, 6) यू (6, ∞).
3. 3 फंक्शनची कमाल निश्चित करा. एकदा तुम्ही एखादे फंक्शन प्लॉट केले की तुम्हाला फंक्शनचे जास्तीत जास्त मूल्य असलेले बिंदू दिसेल. जर स्पष्ट जास्तीत जास्त नसेल तर ते अस्तित्वात नाही आणि फंक्शनचा आलेख + to वर जातो.
4. 4 फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी फंक्शनच्या व्याख्येच्या श्रेणीप्रमाणे लिहिली जाते. जेव्हा मूल्य फंक्शनच्या श्रेणीमध्ये असते तेव्हा स्क्वेअर ब्रॅकेटचा वापर केला जातो; मूल्य श्रेणीमध्ये नसल्यास, एक कंस वापरला जातो. जर फंक्शनमध्ये मूल्यांच्या अनेक नॉन-कॉन्टिग्यूस श्रेणी आहेत, तर "U" चिन्ह त्यांच्यामध्ये ठेवलेले आहे.
   • उदाहरणार्थ, [-2,10) U (10,2] श्रेणी -2 आणि 2 मूल्ये समाविष्ट करते, परंतु मूल्य 10 समाविष्ट करत नाही.
   • कंस नेहमी अनंत चिन्हासह वापरले जातात ∞.