सामग्री

• पावले
• 3 पैकी 1 पद्धत: एका ओळीच्या समीकरणाच्या उताराची गणना करणे
• 3 पैकी 2 पद्धत: दोन बिंदू वापरून उताराची गणना करा
• 3 पैकी 3 पद्धत: उताराची गणना करण्यासाठी डिफरेंशियल कॅल्क्युलस वापरणे

उतार सरळ रेषेच्या झुकण्याच्या कोनाला अब्सिस्सा अक्षाकडे दर्शवितो (उतार संख्यात्मकदृष्ट्या या कोनाच्या स्पर्शिकेच्या समान आहे). उतार सरळ रेषेच्या समीकरणात आहे आणि वक्रांच्या गणिती विश्लेषणात वापरला जातो, जेथे ते नेहमी फंक्शनच्या व्युत्पत्तीच्या बरोबरीचे असते. उतार समजून घेणे सोपे करण्यासाठी, कल्पना करा की हे फंक्शनच्या बदलाच्या दरावर परिणाम करते, म्हणजेच उताराचे मूल्य जितके मोठे असेल तितकेच फंक्शनचे मूल्य (स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या समान मूल्यासाठी).

पावले

3 पैकी 1 पद्धत: एका ओळीच्या समीकरणाच्या उताराची गणना करणे

1. 1 ओळीचा कोन अब्सिसा आणि त्या रेषेची दिशा शोधण्यासाठी उतार वापरा. जर तुम्हाला सरळ रेषेचे समीकरण दिले गेले तर उताराची गणना करणे अगदी सोपे आहे. लक्षात ठेवा की कोणत्याही सरळ रेषेच्या समीकरणात:
   • कोणतेही घातांक नाहीत
   • फक्त दोन व्हेरिएबल्स आहेत, त्यापैकी काहीही अपूर्णांक नाही (उदाहरणार्थ, जसे ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$)
   • सरळ रेषेचे समीकरण फॉर्म आहे ${ displaystyle y = kx + b}$, जेथे k आणि b संख्यात्मक गुणांक आहेत (उदाहरणार्थ, 3, 10, -12, ${ displaystyle { frac {4} {3}}}$).
2. 2 उतार शोधण्यासाठी, आपल्याला k चे मूल्य ("x" वर गुणांक) शोधणे आवश्यक आहे. जर तुम्हाला दिलेल्या समीकरणाला फॉर्म असेल ${ displaystyle y = kx + b}$, नंतर उतार शोधण्यासाठी आपल्याला फक्त "x" च्या समोरच्या क्रमांकाकडे पाहण्याची आवश्यकता आहे. लक्षात घ्या की के (उतार) नेहमी स्वतंत्र व्हेरिएबलवर असते (या प्रकरणात, "x"). आपण गोंधळलेले असल्यास, खालील उदाहरणे पहा:
   • ${ displaystyle y = 2x + 6}$
     • उतार = 2
   • ${ displaystyle y = 2-x}$
     • उतार = -1
   • ${ displaystyle y = { frac {3} {8}} x-10}$
     • उतार = ${ displaystyle { frac {3} {8}}}$
3. 3 जर तुम्हाला दिलेल्या समीकरणाला याखेरीज दुसरा फॉर्म असेल y=केx+ब{ displaystyle y = kx + b}, आश्रित चल वेगळे करा. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, आश्रित व्हेरिएबलला "y" असे दर्शविले जाते आणि ते वेगळे करण्यासाठी, आपण बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि इतरांचे ऑपरेशन करू शकता. लक्षात ठेवा की कोणतेही गणिती ऑपरेशन समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी केले जाणे आवश्यक आहे (जेणेकरून त्याचे मूळ मूल्य बदलू नये). आपल्याला फॉर्ममध्ये दिलेले कोणतेही समीकरण आणणे आवश्यक आहे ${ displaystyle y = kx + b}$... चला एक उदाहरण विचारात घेऊ:
   • समीकरणाचा उतार शोधा ${ displaystyle 2y-3 = 8x + 7}$
   • हे समीकरण फॉर्ममध्ये आणणे आवश्यक आहे ${ displaystyle y = kx + b}$:
     • ${ displaystyle 2y-3 (+3) = 8x+7 (+3)}$
     • ${ displaystyle 2y = 8x + 10}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}$
     • ${ displaystyle y = 4x + 5}$
   • उतार शोधणे:
     • उतार = के = 4

3 पैकी 2 पद्धत: दोन बिंदू वापरून उताराची गणना करा

1. 1 उताराची गणना करण्यासाठी आलेख आणि दोन ठिपके वापरा. जर तुम्हाला फक्त फंक्शनचा आलेख दिला गेला असेल (समीकरण नाही), तरीही तुम्ही उतार शोधू शकता. हे करण्यासाठी, आपल्याला या आलेखातील कोणत्याही दोन बिंदूंचे निर्देशांक आवश्यक आहेत; निर्देशांक सूत्रात बदलले जातात: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... उताराची गणना करताना चुका टाळण्यासाठी, खालील गोष्टी लक्षात ठेवा:
   • जर आलेख वाढत असेल तर उतार सकारात्मक आहे.
   • जर आलेख कमी होत असेल तर उतार नकारात्मक आहे.
   • उताराचे मूल्य जितके जास्त असेल तितका जास्त ग्राफ (आणि उलट).
   • अॅब्सिसा अक्षाच्या समांतर सरळ रेषेचा उतार 0 आहे.
   • ऑर्डिनेटच्या समांतर सरळ रेषेचा उतार अस्तित्वात नाही (तो अनंत आहे).
2. 2 दोन गुणांचे निर्देशांक शोधा. आलेखावर, कोणतेही दोन गुण चिन्हांकित करा आणि त्यांचे निर्देशांक (x, y) शोधा. उदाहरणार्थ, गुण A (2.4) आणि B (6.6) आलेखावर आहेत.
   • निर्देशांकाच्या जोडीमध्ये, पहिला क्रमांक "x" आणि दुसरा "y" शी संबंधित आहे.
   • प्रत्येक मूल्य "x" विशिष्ट मूल्य "y" शी संबंधित आहे.
3. 3 समान x₁, y₁, x₂, y₂ संबंधित मूल्यांसाठी. आमच्या उदाहरणात A (2,4) आणि B (6,6) गुणांसह:
   • x₁: 2
   • y₁: 4
   • x₂: 6
   • y₂: 6
4. 4 आढळलेली मूल्ये उतार सूत्रात प्लग करा. उतार शोधण्यासाठी, दोन गुणांचे निर्देशांक वापरले जातात आणि खालील सूत्र वापरले जाते: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... दोन गुणांचे निर्देशांक प्लग इन करा.
   • दोन गुण: A (2.4) आणि B (6.6).
   • सूत्रांमध्ये गुणांचे निर्देशांक बदला:
     • ${ displaystyle { frac {6-4} {6-2}}}$
   • निश्चित उत्तरासाठी सोपे करा:
     • ${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = उतार
5. 5 सूत्राच्या सारांचे स्पष्टीकरण. उतार हा "y" समन्वय (दोन गुण) मधील बदलाचे गुणोत्तर "x" समन्वय (दोन गुण) मध्ये बदलण्याइतके आहे. समन्वय बदल म्हणजे पहिल्या आणि दुसऱ्या बिंदूंच्या संबंधित समन्वयाच्या मूल्यांमधील फरक.
6. 6 उताराची गणना करण्यासाठी आणखी एक प्रकारचे सूत्र. उताराची गणना करण्यासाठी मानक सूत्र आहे: k = ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... पण ते खालील स्वरूपाचे असू शकते: k = Δy / Δx, जेथे Δ हे ग्रीक अक्षर "डेल्टा" आहे जे गणितातील फरक दर्शवते. म्हणजे, Δx = x_2 - x_1, आणि Δy = y_2 - y_1.

3 पैकी 3 पद्धत: उताराची गणना करण्यासाठी डिफरेंशियल कॅल्क्युलस वापरणे

1. 1 फंक्शन्समधून डेरिव्हेटिव्ह्ज घ्यायला शिका. व्युत्पन्न या फंक्शनच्या आलेखावर ठराविक बिंदूवर फंक्शन बदलण्याचे दर दर्शवते. या प्रकरणात, आलेख एकतर सरळ किंवा वक्र रेषा असू शकते. म्हणजेच, व्युत्पन्न वेळेच्या विशिष्ट क्षणी फंक्शनच्या बदलाचे दर दर्शवते. सामान्य नियम लक्षात ठेवा ज्याद्वारे डेरिव्हेटिव्ह घेतले जातात आणि त्यानंतरच पुढील चरणावर जा.
   • व्युत्पन्न कसे घ्यावे हा लेख वाचा.
   • सर्वात सोपी डेरिव्हेटिव्ह्ज कशी घ्यावी, उदाहरणार्थ, घातांक समीकरणाचे व्युत्पन्न, या लेखात वर्णन केले आहे. खालील चरणांमध्ये सादर केलेली गणना त्यामध्ये वर्णन केलेल्या पद्धतींवर आधारित असेल.
2. 2 फंक्शनच्या व्युत्पत्तीच्या दृष्टीने ज्या उतारांची गणना करणे आवश्यक आहे त्यामध्ये फरक करणे शिका. समस्यांमध्ये नेहमी उतार किंवा फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्याचा प्रस्ताव नसतो. उदाहरणार्थ, तुम्हाला बिंदू A (x, y) वर फंक्शनच्या बदलाचा दर शोधण्यास सांगितले जाऊ शकते. आपल्याला बिंदू A (x, y) वर स्पर्शिकेचा उतार शोधण्यास सांगितले जाऊ शकते. दोन्ही प्रकरणांमध्ये, फंक्शनचे व्युत्पन्न घेणे आवश्यक आहे.
   • उदाहरणार्थ, फंक्शनचा उतार शोधा ${ displaystyle f (x) = 2x {2} + 6x}$ बिंदू A (4.2) वर.
   • व्युत्पन्न हे सहसा म्हणून दर्शविले जाते ${ displaystyle f '(x), y',}$ किंवा ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$
3. 3 तुम्हाला दिलेल्या फंक्शनचे व्युत्पन्न घ्या. आपल्याला येथे आलेख प्लॉट करण्याची आवश्यकता नाही - आपल्याला फक्त फंक्शनचे समीकरण आवश्यक आहे. आमच्या उदाहरणात, फंक्शनचे व्युत्पन्न घ्या ${ displaystyle f (x) = 2x {2} + 6x}$... वर नमूद केलेल्या लेखात नमूद केलेल्या पद्धतीनुसार व्युत्पन्न घ्या:
   • व्युत्पन्न: ${ displaystyle f '(x) = 4x + 6}$
4. 4 उताराची गणना करण्यासाठी दिलेल्या बिंदूचे निर्देशांक व्युत्पन्न व्युत्पन्न मध्ये बदला. फंक्शनचे व्युत्पन्न एका विशिष्ट बिंदूवर उताराच्या बरोबरीचे आहे. दुसऱ्या शब्दांत, f '(x) कोणत्याही बिंदूवर फंक्शनचा उतार आहे (x, f (x)). आमच्या उदाहरणात:
   • फंक्शनचा उतार शोधा ${ displaystyle f (x) = 2x {2} + 6x}$ बिंदू A (4.2) वर.
   • फंक्शनचे व्युत्पन्न:
     • ${ displaystyle f '(x) = 4x + 6}$
   • या बिंदूच्या x- समन्वयासाठी मूल्य बदला:
     • ${ displaystyle f '(x) = 4 (4) +6}$
   • उतार शोधा:
   • कार्याचा उतार ${ displaystyle f (x) = 2x {2} + 6x}$ बिंदू A (4.2) वर 22 आहे.
5. 5 शक्य असल्यास, आलेखावर तुमचे उत्तर तपासा. लक्षात ठेवा की उताराची गणना प्रत्येक बिंदूवर केली जाऊ शकत नाही. डिफरेंशियल कॅल्क्युलस जटिल फंक्शन्स आणि कॉम्प्लेक्स आलेख विचारात घेते, जिथे प्रत्येक बिंदूवर उताराची गणना केली जाऊ शकत नाही आणि काही प्रकरणांमध्ये बिंदू आलेखांवर अजिबात पडत नाहीत. शक्य असल्यास, आपल्याला दिलेल्या कार्यासाठी उताराची योग्य गणना केली जात आहे हे तपासण्यासाठी ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर वापरा.अन्यथा, दिलेल्या बिंदूवर आलेखात एक स्पर्शिका काढा आणि तुम्हाला आढळलेल्या उताराचे मूल्य ग्राफवर जे दिसते ते जुळते का याचा विचार करा.
   • एखाद्या विशिष्ट बिंदूवर फंक्शन ग्राफ सारखाच स्पर्श असेल. दिलेल्या बिंदूवर स्पर्शिका काढण्यासाठी, X-axis बरोबर उजवीकडे / डावीकडे जा (आमच्या उदाहरणामध्ये, 22 मूल्ये उजवीकडे), आणि नंतर Y-axis सोबत एक युनिट वर. बिंदू चिन्हांकित करा , आणि नंतर ते आपल्याला दिलेल्या बिंदूशी कनेक्ट करा. आमच्या उदाहरणामध्ये, निर्देशांक (4,2) आणि (26,3) वर बिंदू कनेक्ट करा.