सामग्री

• पावले
• 5 पैकी 1 पद्धत: पॉलीहेड्रॉनमधील शिरोबिंदूंची संख्या शोधा
• 5 पैकी 2 पद्धत: रेखीय असमानतेच्या प्रणालीच्या डोमेनचे शिरोबिंदू शोधणे
• 5 पैकी 3 पद्धत: सममितीच्या अक्षाद्वारे पॅराबोलाचे शिरोबिंदू शोधणे
• 5 पैकी 4 पद्धत: पूर्ण चौरस पूरक वापरून पॅराबोलाचे शिरोबिंदू शोधणे
• 5 पैकी 5 पद्धत: एका सोप्या सूत्राचा वापर करून पॅराबोलाचे शिरोबिंदू शोधा
• आपल्याला काय आवश्यक आहे

गणितामध्ये, अनेक समस्या आहेत ज्यामध्ये आपल्याला शीर्ष शोधण्याची आवश्यकता आहे. उदाहरणार्थ, पॉलीहेड्रॉनचा एक शिरोबिंदू, एक शिरोबिंदू किंवा असमानतेच्या प्रणालीच्या डोमेनचे अनेक शिरोबिंदू, पॅराबोलाचे शिरोबिंदू किंवा द्विघात समीकरण. हा लेख तुम्हाला वेगवेगळ्या समस्यांमध्ये टॉप कसा शोधायचा हे दाखवेल.

पावले

5 पैकी 1 पद्धत: पॉलीहेड्रॉनमधील शिरोबिंदूंची संख्या शोधा

1. 1 यूलरचे प्रमेय. प्रमेय सांगते की कोणत्याही पॉलीटोपमध्ये, त्याच्या शिरोबिंदूंची संख्या आणि त्याच्या चेहऱ्याची संख्या वजा त्याच्या कडाची संख्या नेहमी दोन असते.
   • यूलरच्या प्रमेयाचे वर्णन करणारे सूत्र: F + V - E = 2
     • F चेहऱ्यांची संख्या आहे.
     • व्ही शिरोबिंदूंची संख्या आहे.
     • E हा फास्यांची संख्या आहे.
2. 2 शिरोबिंदूंची संख्या शोधण्यासाठी सूत्र पुन्हा लिहा. चेहर्यांची संख्या आणि पॉलीहेड्रॉनच्या काठाची संख्या लक्षात घेता, आपण यूलरच्या सूत्राचा वापर करून शिरोबिंदूंची संख्या पटकन शोधू शकता.
   • V = 2 - F + E
3. 3 या सूत्रात तुम्ही दिलेली मूल्ये प्लग करा. हे आपल्याला पॉलीहेड्रॉनमधील शिरोबिंदूंची संख्या देते.
   • उदाहरण: 6 चेहरे आणि 12 कडा असलेल्या पॉलीहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूंची संख्या शोधा.
     • V = 2 - F + E
     • व्ही = 2 - 6 + 12
     • V = -4 + 12
     • व्ही = 8

5 पैकी 2 पद्धत: रेखीय असमानतेच्या प्रणालीच्या डोमेनचे शिरोबिंदू शोधणे

1. 1 रेखीय असमानतेच्या प्रणालीचे समाधान (क्षेत्र) प्लॉट करा. ठराविक प्रकरणांमध्ये, आपण ग्राफवर रेषीय असमानतेच्या प्रणालीच्या क्षेत्राचे काही किंवा सर्व शिरोबिंदू पाहू शकता. अन्यथा, आपल्याला शिरोबिंदू बीजगणित पद्धतीने शोधावे लागेल.
   • ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर वापरताना, आपण संपूर्ण आलेख पाहू शकता आणि शिरोबिंदूंचे निर्देशांक शोधू शकता.
2. 2 असमानतेचे समीकरणांमध्ये रूपांतर करा. असमानतेच्या प्रणालीचे निराकरण करण्यासाठी (म्हणजे "x" आणि "y" शोधा), आपल्याला असमानतेच्या चिन्हाऐवजी "समान" चिन्ह लावणे आवश्यक आहे.
   • उदाहरण: असमानतेची प्रणाली दिली:
     • y x
     • y> - x + 4
   • असमानतेचे समीकरणांमध्ये रूपांतर करा:
     • y = x
     • y = - x + 4
3. 3 आता कोणतेही व्हेरिएबल एका समीकरणात व्यक्त करा आणि दुसऱ्या समीकरणात प्लग करा. आमच्या उदाहरणात, y समीकरण पहिल्या समीकरणातून दुसऱ्या समीकरणात प्लग करा.
   • उदाहरण:
     • y = x
     • y = - x + 4
   • Y = x ला y = - x + 4 मध्ये बदला:
     • x = - x + 4
4. 4 व्हेरिएबल्सपैकी एक शोधा. आता तुमच्याकडे फक्त एक व्हेरिएबल, x हे समीकरण आहे, जे शोधणे सोपे आहे.
   • उदाहरण: x = - x + 4
     • x + x = 4
     • 2x = 4
     • 2x / 2 = 4/2
     • x = 2
5. 5 दुसरा व्हेरिएबल शोधा. कोणत्याही समीकरणांमध्ये सापडलेले मूल्य "x" ला बदला आणि "y" मूल्य शोधा.
   • उदाहरण: y = x
     • y = 2
6. 6 शीर्ष शोधा. शिरोबिंदूमध्ये "x" आणि "y" आढळलेल्या मूल्यांच्या बरोबरीचे समन्वय आहेत.
   • उदाहरण: दिलेल्या विषमतेच्या क्षेत्राचा शिरोबिंदू O (2,2) बिंदू आहे.

5 पैकी 3 पद्धत: सममितीच्या अक्षाद्वारे पॅराबोलाचे शिरोबिंदू शोधणे

1. 1 समीकरण काढा. चतुर्भुज समीकरण काढण्याचे अनेक मार्ग आहेत. विस्ताराच्या परिणामी, आपल्याला दोन द्विपद मिळतात, जे, गुणाकार केल्यावर, मूळ समीकरणाकडे नेतील.
   • उदाहरण: द्विघात समीकरण दिले
     • 3x2 - 6x - 45
     • प्रथम, सामान्य घटक कंस: 3 (x2 - 2x - 15)
     • गुणांक "a" आणि "c" गुणाकार करा: 1 * (-15) = -15.
     • दोन संख्या शोधा, ज्याची गुणाकार -15 आहे आणि त्यांची बेरीज गुणांक "बी" (बी = -2) च्या बरोबरीची आहे: 3 * (-5) = -15; 3 - 5 = -2.
     • आढळलेली मूल्ये ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15) या समीकरणात प्लग करा.
     • मूळ समीकरण विस्तृत करा: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
2. 2 ज्या बिंदूवर फंक्शनचा आलेख (या प्रकरणात, पॅराबोला) अब्सिसा ओलांडतो ते शोधा. आलेख f (x) = 0 वर X- अक्ष पार करतो.
   • उदाहरण: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
     • x +3 = 0
     • x - 5 = 0
     • x = -3; x = 5
     • अशाप्रकारे, समीकरणाची मुळे (किंवा X-axis सह छेदनबिंदू): A (-3, 0) आणि B (5, 0)
3. 3 सममितीचा अक्ष शोधा. फंक्शनच्या सममितीचा अक्ष दोन मुळांच्या मध्यभागी असलेल्या बिंदूमधून जातो. या प्रकरणात, शिरोबिंदू सममितीच्या अक्षावर आहे.
   • उदाहरण: x = 1; हे मूल्य -3 आणि +5 दरम्यान मध्यभागी आहे.
4. 4 X मूल्य मूळ समीकरणात प्लग करा आणि y मूल्य शोधा. ही "x" आणि "y" मूल्ये पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे समन्वय आहेत.
   • उदाहरण: y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
5. 5 तुमचे उत्तर लिहा.
   • उदाहरण: या द्विघात समीकरणाचा शिरोबिंदू O (1, -48)

5 पैकी 4 पद्धत: पूर्ण चौरस पूरक वापरून पॅराबोलाचे शिरोबिंदू शोधणे

1. 1 मूळ समीकरण असे लिहा: y = a (x - h) ^ 2 + k, तर शिरोबिंदू निर्देशांक (h, k) सह बिंदूवर आहे. हे करण्यासाठी, आपल्याला मूळ चतुर्भुज समीकरण पूर्ण चौरसात पूरक करणे आवश्यक आहे.
   • उदाहरण: y = - x ^ 2 - 8x - 15 हे द्विघात कार्य दिले.
2. 2 पहिल्या दोन पदांचा विचार करा. पहिल्या टर्मचे गुणांक काढा (इंटरसेप्ट दुर्लक्षित आहे).
   • उदाहरण: -1 (x ^ 2 + 8x) - 15.
3. 3 विनामूल्य पद (-15) दोन संख्यांमध्ये विस्तृत करा जेणेकरून त्यापैकी एक पूर्ण कोनामध्ये अभिव्यक्ती पूर्ण करेल. संख्यांपैकी एक दुसऱ्या टर्मच्या अर्ध्या गुणांकाच्या चौरसाच्या बरोबरीचा असणे आवश्यक आहे (कंसातील अभिव्यक्तीवरून).
   • उदाहरण: 8/2 = 4; 4 * 4 = 16; त्यामुळे
     • -1 (x ^ 2 + 8x + 16)
     • -15 = -16 + 1
     • y = -1 (x ^ 2 + 8x + 16) + 1
4. 4 समीकरण सोपे करा. कंसातील अभिव्यक्ती पूर्ण चौरस असल्याने, आपण खालील स्वरूपात हे समीकरण पुन्हा लिहू शकता (आवश्यक असल्यास, कंसांच्या बाहेर बेरीज किंवा वजाबाकी ऑपरेशन्स करा):
   • उदाहरण: y = -1 (x + 4) ^ 2 + 1
5. 5 शिरोबिंदूचे निर्देशांक शोधा. लक्षात ठेवा की y = a (x - h) ^ 2 + k फॉर्मच्या फंक्शनच्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक (h, k) आहेत.
   • k = 1
   • h = -4
   • अशा प्रकारे, मूळ कार्याचा शिरोबिंदू हा बिंदू O (-4,1) आहे.

5 पैकी 5 पद्धत: एका सोप्या सूत्राचा वापर करून पॅराबोलाचे शिरोबिंदू शोधा

1. 1 सूत्र वापरून "x" समन्वय शोधा: x = -b / 2a (y = ax ^ 2 + bx + c फॉर्मच्या कार्यासाठी). सूत्रामध्ये "a" आणि "b" मूल्ये प्लग करा आणि "x" समन्वय शोधा.
   • उदाहरण: y = - x ^ 2 - 8x - 15 हे द्विघात कार्य दिले.
   • x = -b / 2a = - ( - 8) / (2 * ( - 1)) = 8 / ( - 2) = -4
   • x = -4
2. 2 आपल्याला मूळ समीकरणात सापडलेल्या x मूल्यामध्ये प्लग करा. अशा प्रकारे, आपल्याला "y" सापडेल. ही "x" आणि "y" मूल्ये पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे समन्वय आहेत.
   • उदाहरण: y = - x ^ 2 - 8x - 15 = - ( - 4) ^ 2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - ( - 32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
     • y = 1
3. 3 तुमचे उत्तर लिहा.
   • उदाहरण: मूळ फंक्शनचा शिरोबिंदू O (-4,1) बिंदू आहे.

आपल्याला काय आवश्यक आहे

• कॅल्क्युलेटर
• पेन्सिल
• कागद