सामग्री

• पावले
• 2 पैकी 1 पद्धत: बीजगणित पद्धत
• 2 पैकी 2 पद्धत: ग्राफिकल पद्धत
• टिपा
• एक चेतावणी

कार्ये सम, विषम किंवा सामान्य असू शकतात (म्हणजे सम किंवा विषमही नाही). कार्याचा प्रकार सममितीच्या उपस्थिती किंवा अनुपस्थितीवर अवलंबून असतो. कोणत्या प्रकारचे फंक्शन आहे हे ठरवण्याचा सर्वोत्तम मार्ग म्हणजे बीजगणित गणनांची मालिका करणे. परंतु फंक्शनचा प्रकार त्याच्या वेळापत्रकानुसार देखील शोधला जाऊ शकतो. फंक्शन्सचे प्रकार कसे परिभाषित करायचे हे शिकून, आपण फंक्शन्सच्या काही जोड्यांच्या वर्तनाचा अंदाज लावू शकता.

पावले

2 पैकी 1 पद्धत: बीजगणित पद्धत

1. 1 व्हेरिएबल्सची विरुद्ध मूल्ये काय आहेत ते लक्षात ठेवा. बीजगणित मध्ये, व्हेरिएबलचे उलट मूल्य “-” (वजा) चिन्हासह लिहिले जाते. शिवाय, स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या कोणत्याही पदनामासाठी हे सत्य आहे (पत्राद्वारे ${ displaystyle x}$ किंवा इतर कोणतेही पत्र). जर मूळ फंक्शनमध्ये व्हेरिएबलच्या समोर आधीच नकारात्मक चिन्ह असेल तर त्याचे उलट मूल्य सकारात्मक व्हेरिएबल असेल. खाली काही व्हेरिएबल्स आणि त्यांच्या उलट अर्थांची उदाहरणे आहेत:
   • साठी उलट अर्थ ${ displaystyle x}$ एक आहे ${ displaystyle -x}$.
   • साठी उलट अर्थ ${ displaystyle q}$ एक आहे ${ displaystyle -q}$.
   • साठी उलट अर्थ ${ displaystyle -w}$ एक आहे ${ प्रदर्शन शैली w}$.
2. 2 स्पष्टीकरणात्मक चल त्याच्या उलट मूल्यासह बदला. म्हणजेच स्वतंत्र व्हेरिएबलचे चिन्ह उलट करा. उदाहरणार्थ:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ मध्ये वळते ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ मध्ये वळते ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x {2} + 5x + 3}$ मध्ये वळते ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 नवीन कार्य सुलभ करा. या टप्प्यावर, आपल्याला स्वतंत्र व्हेरिएबलसाठी विशिष्ट संख्यात्मक मूल्ये बदलण्याची आवश्यकता नाही. मूळ फंक्शन f (x) शी तुलना करण्यासाठी आपल्याला फक्त नवीन कार्य f (-x) सुलभ करणे आवश्यक आहे. एक्सपोनेंटिएशनचा मूलभूत नियम लक्षात ठेवा: नकारात्मक व्हेरिएबलला सम शक्तीपर्यंत वाढवल्यास सकारात्मक व्हेरिएबल होईल आणि नकारात्मक व्हेरिएबलला विषम शक्तीमध्ये वाढवल्यास नकारात्मक व्हेरिएबल होईल.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 दोन फंक्शन्सची तुलना करा. सरलीकृत नवीन फंक्शन f (-x) ची मूळ फंक्शन f (x) सह तुलना करा. दोन्ही फंक्शन्सच्या संबंधित अटी एकमेकांखाली लिहा आणि त्यांच्या चिन्हाची तुलना करा.
   • जर दोन्ही फंक्शन्सच्या संबंधित अटींची चिन्हे जुळली, म्हणजे f (x) = f (-x), मूळ फंक्शन सम आहे. उदाहरण:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ आणि ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • येथे अटींची चिन्हे जुळतात, म्हणून मूळ कार्य सम आहे.
   • जर दोन्ही फंक्शन्सच्या संबंधित अटींची चिन्हे एकमेकांच्या विरुद्ध असतील, म्हणजे f (x) = -f (-x), मूळ फंक्शन सम आहे. उदाहरण:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, परंतु ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • लक्षात घ्या की जर तुम्ही पहिल्या फंक्शनमधील प्रत्येक संज्ञा -1 ने गुणा केली तर तुम्हाला दुसरे फंक्शन मिळेल. अशा प्रकारे, मूळ फंक्शन g (x) विषम आहे.
   • जर नवीन फंक्शन वरीलपैकी कोणत्याही उदाहरणाशी जुळत नसेल, तर ते एक सामान्य फंक्शन आहे (म्हणजे सम किंवा विषम नाही). उदाहरणार्थ:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, परंतु ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... दोन्ही फंक्शन्सच्या पहिल्या अटींची चिन्हे समान आहेत आणि दुसऱ्या अटींची चिन्हे उलट आहेत. म्हणून, हे कार्य सम किंवा विषम नाही.

2 पैकी 2 पद्धत: ग्राफिकल पद्धत

1. 1 फंक्शन आलेख प्लॉट करा. हे करण्यासाठी, ग्राफ पेपर किंवा ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर वापरा. संख्यात्मक स्पष्टीकरणात्मक चल मूल्यांपैकी कोणतेही बहु निवडा ${ displaystyle x}$ आणि आश्रित व्हेरिएबलच्या मूल्यांची गणना करण्यासाठी त्यांना फंक्शनमध्ये प्लग करा ${ प्रदर्शन शैली y}$... कोऑर्डिनेट प्लेनवर गुणांचे आढळलेले निर्देशांक काढा आणि नंतर फंक्शनचा आलेख तयार करण्यासाठी हे बिंदू जोडा.
   • फंक्शनमध्ये सकारात्मक संख्यात्मक मूल्ये बदला ${ displaystyle x}$ आणि संबंधित नकारात्मक संख्यात्मक मूल्ये. उदाहरणार्थ, फंक्शन दिले ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... खालील मूल्ये प्लग करा ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला ${ प्रदर्शन शैली (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला ${ प्रदर्शन शैली (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला ${ प्रदर्शन शैली (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला ${ प्रदर्शन शैली (-2.9)}$.
2. 2 फंक्शनचा आलेख y- अक्ष बद्दल सममितीय आहे का ते तपासा. सममिती म्हणजे ऑर्डिनेट अक्ष बद्दल चार्टचे मिररिंग. जर y- अक्ष (सकारात्मक स्पष्टीकरणात्मक चल) च्या उजव्या बाजूस आलेखाचा भाग y- अक्ष (स्पष्टीकरणात्मक चलचे नकारात्मक मूल्य) च्या डाव्या बाजूच्या आलेखाच्या भागाशी जुळत असेल, तर आलेख सममितीय आहे वाय-अक्ष
   • आपण वैयक्तिक गुणांद्वारे आलेखाची सममिती तपासू शकता. जर मूल्य ${ प्रदर्शन शैली y}$जे मूल्याशी जुळते ${ displaystyle x}$, मूल्याशी जुळते ${ प्रदर्शन शैली y}$जे मूल्याशी जुळते ${ displaystyle -x}$, कार्य सम आहे.फंक्शनसह आमच्या उदाहरणात ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ आम्हाला गुणांचे खालील निर्देशांक मिळाले:
     • (1.3) आणि (-1.3)
     • (2.9) आणि (-2.9)
   • लक्षात घ्या की जेव्हा x = 1 आणि x = -1, आश्रित व्हेरिएबल y = 3, आणि जेव्हा x = 2 आणि x = -2, आश्रित व्हेरिएबल y = 9 आहे. तर फंक्शन सम आहे. खरं तर, फंक्शनचे अचूक स्वरूप शोधण्यासाठी, आपल्याला दोनपेक्षा जास्त मुद्दे विचारात घेणे आवश्यक आहे, परंतु वर्णन केलेली पद्धत चांगली अंदाजे आहे.
3. 3 फंक्शनचा आलेख मूळ बद्दल सममितीय आहे का ते तपासा. मूळ हा निर्देशांक असलेला बिंदू आहे (0,0). उत्पत्तीबद्दल सममिती म्हणजे सकारात्मक मूल्य ${ प्रदर्शन शैली y}$ (सकारात्मक मूल्यासह ${ displaystyle x}$) नकारात्मक मूल्याशी संबंधित आहे ${ प्रदर्शन शैली y}$ (नकारात्मक मूल्यासह ${ displaystyle x}$), आणि उलट. विषम कार्ये मूळ बद्दल सममितीय आहेत.
   • जर आपण फंक्शनमध्ये अनेक सकारात्मक आणि संबंधित नकारात्मक मूल्ये बदलली ${ displaystyle x}$, मूल्ये ${ प्रदर्शन शैली y}$ चिन्हात भिन्न असेल. उदाहरणार्थ, फंक्शन दिले ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... त्यात अनेक मूल्ये बदला ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... आम्हाला निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... आम्हाला निर्देशांक (-2, -10) सह एक बिंदू मिळाला.
   • अशा प्रकारे, f (x) = -f (-x), म्हणजेच फंक्शन विषम आहे.
4. 4 फंक्शनच्या आलेखात काही सममिती आहे का ते तपासा. शेवटचा प्रकार हा एक फंक्शन आहे ज्याच्या आलेखात सममिती नाही, म्हणजे, ऑर्डिनेट अक्ष आणि उत्पत्ती या दोहोंमध्ये कोणतेही मिररिंग नाही. उदाहरणार्थ, फंक्शन दिले ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • फंक्शनमध्ये अनेक सकारात्मक आणि संबंधित नकारात्मक मूल्ये बदला ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... आम्हाला निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... आम्हाला निर्देशांकासह एक बिंदू मिळाला (2, -2).
   • प्राप्त परिणामांनुसार, कोणतेही सममिती नाही. मूल्ये ${ प्रदर्शन शैली y}$ विरुद्ध मूल्यांसाठी ${ displaystyle x}$ जुळत नाहीत आणि उलट नाहीत. अशा प्रकारे, कार्य सम किंवा विषम नाही.
   • फंक्शन लक्षात घ्या ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ असे लिहिले जाऊ शकते: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... जेव्हा या स्वरूपात लिहिले जाते, तेव्हा फंक्शन सम असल्यासारखे दिसते कारण एक समान घातांक उपस्थित असतो. परंतु हे उदाहरण सिद्ध करते की स्वतंत्र व्हेरिएबल कंसात बंद असल्यास फंक्शनचे प्रकार पटकन निश्चित केले जाऊ शकत नाहीत. या प्रकरणात, आपल्याला कंस उघडणे आणि प्राप्त केलेल्या घातांचे विश्लेषण करणे आवश्यक आहे.

टिपा

• जर स्वतंत्र व्हेरिएबलचा घातांक सम असेल तर फंक्शन सम आहे; जर घातांक विषम असेल तर कार्य विषम आहे.

एक चेतावणी

• हा लेख फक्त दोन व्हेरिएबल्स असलेल्या फंक्शन्सवर लागू केला जाऊ शकतो, ज्याची मूल्ये समन्वय समतल वर प्लॉट केली जाऊ शकतात.