सामग्री

• पावले

त्रिकोणमितीय समीकरणात "x" (किंवा इतर कोणतेही व्हेरिएबल) व्हेरिएबलची एक किंवा अधिक त्रिकोणमितीय कार्ये असतात. त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवणे म्हणजे "x" असे मूल्य शोधणे जे कार्य (णे) आणि संपूर्ण समीकरण पूर्ण करते.

• त्रिकोणमितीय समीकरणांचे उपाय अंश किंवा रेडियनमध्ये व्यक्त केले जातात. उदाहरणे:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 अंश; x = 37.12 अंश; x = 178.37 अंश.

• टीप: त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची मूल्ये कोनातून, रेडियनमध्ये आणि कोनातून, अंशांमध्ये व्यक्त केलेली, समान आहेत. त्रिकोणमितीय वर्तुळाचा त्रिज्याइतकाच त्रिकोणमितीय फंक्शन्सचे वर्णन करण्यासाठी, तसेच मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि असमानतांच्या समाधानाची शुद्धता तपासण्यासाठी वापरला जातो.
• त्रिकोणमितीय समीकरणांची उदाहरणे:
  • पाप x + पाप 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. एक (युनिट सर्कल) च्या त्रिज्यासह त्रिकोणमितीय वर्तुळ.
   • हे एक वर्तुळ आहे ज्याची त्रिज्या समान आहे आणि बिंदू O वर केंद्र आहे. युनिट वर्तुळ "x" व्हेरिएबलच्या 4 मूलभूत त्रिकोणमितीय कार्याचे वर्णन करतो, जिथे "x" हा X अक्ष्याच्या घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने मोजलेला कोन आहे.
   • जर युनिट वर्तुळावर "x" काही कोन असेल तर:
   • क्षैतिज अक्ष OAx F (x) = cos x हे कार्य परिभाषित करते.
   • अनुलंब अक्ष OBy F (x) = sin x हे कार्य परिभाषित करते.
   • अनुलंब अक्ष AT फंक्शन x (x) = tan x परिभाषित करते.
   • क्षैतिज अक्ष BU F (x) = ctg x हे कार्य परिभाषित करते.

• मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी देखील युनिट वर्तुळाचा वापर केला जातो (त्यावर "x" च्या वेगवेगळ्या पदांचा विचार केला जातो).

पावले

1. 1 त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याची संकल्पना.
   • त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्यासाठी, त्याचे एक किंवा अधिक मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये रूपांतर करा. त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवणे शेवटी चार मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी खाली येते.
2. 2 मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे.
   • मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांचे 4 प्रकार आहेत:
   • पाप x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवताना युनिट वर्तुळावरील विविध x पोझिशन पाहणे आणि रूपांतरण सारणी (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरणे समाविष्ट आहे.
   • उदाहरण 1.sin x = 0.866. रूपांतरण सारणी (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरून, तुम्हाला उत्तर मिळेल: x = π / 3. एकक मंडळ दुसरे उत्तर देते: 2π / 3. लक्षात ठेवा: सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये नियतकालिक असतात, म्हणजेच त्यांची मूल्ये पुनरावृत्ती केली जातात. उदाहरणार्थ, पाप x आणि cos x ची आवर्तता 2πn आहे आणि tg x आणि ctg x ची आवर्तता πn आहे. म्हणून, उत्तर खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • उदाहरण 2.cos x = -1/2. रूपांतरण सारणी (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरून, तुम्हाला उत्तर मिळेल: x = 2π / 3. एकक मंडळ दुसरे उत्तर देते: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • उदाहरण 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • उत्तर: x = π / 4 + πn.
   • उदाहरण 4. ctg 2x = 1.732.
   • उत्तर: x = π / 12 + πn.
3. 3 त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरले जाणारे परिवर्तन.
   • त्रिकोणमितीय समीकरणे बदलण्यासाठी, बीजगणितीय रूपांतरण (घटककरण, एकसंध अटी कमी करणे इ.) आणि त्रिकोणमितीय ओळख वापरल्या जातात.
   • उदाहरण 5. त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, sin x + sin 2x + sin 3x = 0 हे समीकरण 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. या समीकरणात बदलले जाते. खालील मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos x = 0; पाप (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 फंक्शन्सच्या ज्ञात मूल्यांमधून कोन शोधणे.
   • त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती शिकण्यापूर्वी, आपल्याला फंक्शन्सच्या ज्ञात मूल्यांमधून कोन कसे शोधायचे ते शिकण्याची आवश्यकता आहे. हे रूपांतरण सारणी किंवा कॅल्क्युलेटर वापरून करता येते.
   • उदाहरण: cos x = 0.732. कॅल्क्युलेटर उत्तर देईल x = 42.95 अंश. युनिट सर्कल अतिरिक्त कोन देईल, ज्याचा कोसाइन देखील 0.732 आहे.
5. 5 युनिट वर्तुळावर समाधान बाजूला ठेवा.
   • आपण युनिट वर्तुळावरील त्रिकोणमितीय समीकरणाचे निराकरण स्थगित करू शकता. एकक वर्तुळावरील त्रिकोणमितीय समीकरणाचे निराकरण नियमित बहुभुजाचे शिरोबिंदू आहेत.
   • उदाहरण: युनिट वर्तुळावरील x = π / 3 + πn / 2 हे उपाय एका चौरसाचे शिरोबिंदू आहेत.
   • उदाहरण: युनिट वर्तुळावरील x = π / 4 + πn / 3 हे उपाय नियमित षटकोनाच्या शिरोबिंदू दर्शवतात.
6. 6 त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती.
   • जर दिलेल्या त्रिकोण समीकरणात फक्त एक त्रिकोण कार्य असेल तर ते समीकरण मूलभूत त्रिकोण समीकरण म्हणून सोडवा.जर दिलेल्या समीकरणात दोन किंवा अधिक त्रिकोणमितीय फंक्शन्स समाविष्ट असतील, तर अशा समीकरणाचे निराकरण करण्यासाठी 2 पद्धती आहेत (त्याच्या परिवर्तनाच्या शक्यतेवर अवलंबून).
     • पद्धत 1.
   • हे समीकरण फॉर्मच्या समीकरणात रूपांतरित करा: f (x) * g (x) * h (x) = 0, जेथे f (x), g (x), h (x) ही मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत.
     
     
   • उदाहरण 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • उपाय. Sin 2x = 2 * sin x * cos x असे दुहेरी कोनाचे सूत्र वापरून, sin 2x पुनर्स्थित करा.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. आता दोन मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos x = 0 आणि (sin x + 1) = 0.
   • उदाहरण 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • उपाय: त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, हे समीकरण फॉर्मच्या समीकरणात रूपांतरित करा: cos 2x (2cos x + 1) = 0. आता दोन मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos 2x = 0 आणि (2cos x + 1) = 0.
   • उदाहरण 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • उपाय: त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, हे समीकरण फॉर्मच्या समीकरणात रूपांतरित करा: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. आता दोन मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos 2x = 0 आणि (2sin x + 1) = 0.
     • पद्धत 2.
   • दिलेल्या त्रिकोणमितीय समीकरणास फक्त एक त्रिकोणमितीय फंक्शन असलेल्या समीकरणात रूपांतरित करा. नंतर हे त्रिकोणमितीय कार्य काही अज्ञात ने बदला, उदाहरणार्थ, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, इ.).
   • उदाहरण 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • उपाय. या समीकरणात, (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) (ओळखीनुसार) ने बदला. रूपांतरित समीकरण आहे:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ला t ने बदला. समीकरण आता असे दिसते: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. हे दोन मुळांसह एक द्विघात समीकरण आहे: t1 = -1 आणि t2 = 9/5. दुसरा रूट t2 फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी पूर्ण करत नाही (-1 sin x 1). आता ठरवा: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • उदाहरण 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • उपाय. Tg x ला t सह बदला. खालीलप्रमाणे मूळ समीकरण पुन्हा लिहा: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. आता t शोधा आणि नंतर t = tg x साठी x शोधा.
7. 7 विशेष त्रिकोणमितीय समीकरणे.
   • अनेक विशेष त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत ज्यांना विशिष्ट परिवर्तन आवश्यक आहेत. उदाहरणे:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 त्रिकोणमितीय कार्यांची नियतकालिकता.
   • आधी नमूद केल्याप्रमाणे, सर्व त्रिकोणमितीय फंक्शन्स नियतकालिक आहेत, म्हणजेच त्यांची मूल्ये विशिष्ट कालावधीनंतर पुनरावृत्ती केली जातात. उदाहरणे:
     • F (x) = sin x या कार्याचा कालावधी 2π आहे.
     • फंक्शनचा कालावधी f (x) = tan x to च्या बरोबरीचा आहे.
     • F (x) = sin 2x या कार्याचा कालावधी π आहे.
     • F (x) = cos (x / 2) फंक्शनचा कालावधी 4π आहे.
   • जर समस्येमध्ये कालावधी निर्दिष्ट केला असेल तर या कालावधीत "x" मूल्याची गणना करा.
   • टीप: त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे सोपे काम नाही आणि अनेकदा त्रुटी निर्माण करतात. त्यामुळे तुमची उत्तरे काळजीपूर्वक तपासा. हे करण्यासाठी, तुम्ही आलेखीकरण कॅल्क्युलेटर वापरू शकता दिलेल्या समीकरण R (x) = 0. प्लॉट करण्यासाठी.