सामग्री

• पावले
• 2 पैकी 1 भाग: मूलभूत
• 2 चा भाग 2: SLAE सोडवण्यासाठी विस्तारित मॅट्रिक्स परिवर्तन
• टिपा

समीकरणाची एक प्रणाली म्हणजे दोन किंवा अधिक समीकरणांचा एक संच आहे ज्यात अज्ञातांचा एक सामान्य संच असतो आणि म्हणूनच, एक सामान्य उपाय. रेषीय समीकरणांच्या प्रणालीचा आलेख दोन सरळ रेषा आहे आणि प्रणालीचे समाधान म्हणजे या सरळ रेषांच्या छेदनबिंदू. रेखीय समीकरणांच्या अशा प्रणाली सोडवण्यासाठी, मॅट्रिस वापरणे उपयुक्त आणि सोयीस्कर आहे.

पावले

2 पैकी 1 भाग: मूलभूत

1. 1 शब्दावली. रेषीय समीकरणांच्या प्रणाली विविध घटकांनी बनलेल्या असतात. व्हेरिएबल हे वर्णमाला वर्णाने दर्शविले जाते (सहसा x किंवा y) आणि याचा अर्थ असा आहे की आपल्याला अद्याप माहित नाही आणि शोधण्याची आवश्यकता आहे. स्थिरांक ही एक विशिष्ट संख्या आहे जी त्याचे मूल्य बदलत नाही.गुणांक म्हणजे व्हेरिएबलच्या समोर असलेली संख्या आहे, म्हणजे, ज्या संख्येद्वारे व्हेरिएबल गुणाकार केला जातो.
   • उदाहरणार्थ, एका रेखीय समीकरणासाठी, 2x + 4y = 8, x आणि y हे व्हेरिएबल्स आहेत, 8 स्थिर आहेत आणि संख्या 2 आणि 4 गुणांक आहेत.
2. 2 रेषीय समीकरणांच्या प्रणालीसाठी फॉर्म. दोन व्हेरिएबल्ससह रेखीय बीजगणित समीकरणे (SLAE) ची प्रणाली खालीलप्रमाणे लिहिली जाऊ शकते: ax + by = p, cx + dy = q. कोणतेही स्थिरांक (p, q) शून्य असू शकतात, परंतु प्रत्येक समीकरणात किमान एक व्हेरिएबल (x, y) असणे आवश्यक आहे.
3. 3 मॅट्रिक्स अभिव्यक्ती. कोणतीही SLAE मॅट्रिक्स स्वरूपात लिहिली जाऊ शकते आणि नंतर, मॅट्रिक्सच्या बीजगणित गुणधर्मांचा वापर करून ते सोडवा. मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणांची प्रणाली लिहिताना, A मॅट्रिक्सचे गुणांक दर्शवते, C निरंतर मॅट्रिक्स दर्शवते आणि X अज्ञात मॅट्रिक्स दर्शवते.
   • उदाहरणार्थ, वरील SLAE खालील मॅट्रिक्स स्वरूपात पुन्हा लिहीले जाऊ शकते: A x X = C.
4. 4 विस्तारित मॅट्रिक्स. विस्तारित मॅट्रिक्स मुक्त पदांचे (स्थिरांक) मॅट्रिक्स डाव्या बाजूला हस्तांतरित करून प्राप्त केले जाते. जर तुमच्याकडे A आणि C अशी दोन मॅट्रिस असतील तर विस्तारित मॅट्रिक्स असे दिसेल:
   • उदाहरणार्थ, रेषीय समीकरणांच्या खालील प्रणालीसाठी:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     विस्तारित मॅट्रिक्स 2x3 असेल आणि यासारखे दिसेल:

2 चा भाग 2: SLAE सोडवण्यासाठी विस्तारित मॅट्रिक्स परिवर्तन

1. 1 प्राथमिक ऑपरेशन्स. आपण मॅट्रिक्सवर काही ऑपरेशन्स करू शकता, अशा प्रकारे मूळच्या समतुल्य मॅट्रिक्स मिळवू शकता. अशा ऑपरेशनला प्राथमिक म्हणतात. उदाहरणार्थ, 2x3 मॅट्रिक्स सोडवण्यासाठी, मॅट्रिक्सला त्रिकोणी स्वरूपात आणण्यासाठी आपल्याला पंक्ती ऑपरेशन करणे आवश्यक आहे. अशी ऑपरेशन्स असू शकतात:
   • दोन ओळींची क्रमपरिवर्तन.
   • नॉनझीरो संख्येने स्ट्रिंगची गुणाकार करणे.
   • एका स्ट्रिंगला गुणाकार करून दुसऱ्यामध्ये जोडणे.
2. 2 दुसऱ्या ओळीचा नॉनझीरो नंबरने गुणाकार. जर तुम्हाला दुसऱ्या ओळीवर शून्य हवे असेल तर ते शक्य करण्यासाठी तुम्ही रेषा गुणाकार करू शकता.
   • उदाहरणार्थ, आपल्याकडे यासारखे मॅट्रिक्स असल्यास:
     
     
     तुम्ही पहिली ओळ ठेवू शकता आणि दुसऱ्या ओळीवर शून्य मिळवण्यासाठी त्याचा वापर करू शकता. हे करण्यासाठी, आपण प्रथम दुसरी ओळ 2 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे:
3. 3 पुन्हा गुणाकार करा. पहिल्या पंक्तीसाठी शून्य मिळविण्यासाठी, आपल्याला समान हाताळणी वापरून पुन्हा गुणाकार करण्याची आवश्यकता असू शकते.
   • वरील उदाहरणात, तुम्हाला दुसऱ्या ओळीने -1 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे:
     
     
     गुणाकारानंतर, मॅट्रिक्स असे दिसेल:
4. 4 दुसऱ्या ओळीत पहिली ओळ जोडा. पहिल्या स्तंभ आणि दुसऱ्या पंक्तीच्या जागी शून्य मिळवण्यासाठी पंक्ती जोडा.
   • आमच्या उदाहरणात, खालील मिळवण्यासाठी दोन्ही ओळी जोडा:
5. 5 त्रिकोणी मॅट्रिक्ससाठी रेषीय समीकरणांची नवीन प्रणाली लिहा. एकदा तुम्हाला त्रिकोणी मॅट्रिक्स मिळाल्यावर तुम्ही SLAE वर परत जाऊ शकता. मॅट्रिक्सचा पहिला स्तंभ अज्ञात व्हेरिएबल x शी संबंधित आहे, आणि दुसरा अज्ञात व्हेरिएबल y शी संबंधित आहे. तिसरा स्तंभ समीकरणाच्या व्यत्ययाशी संबंधित आहे.
   • आमच्या उदाहरणासाठी, रेखीय समीकरणांची नवीन प्रणाली फॉर्म घेईल:
6. 6 एका व्हेरिएबलसाठी समीकरण सोडवा. नवीन SLAE मध्ये, समीकरण शोधणे आणि सोडवणे कोणते व्हेरिएबल सर्वात सोपे आहे ते ठरवा.
   • आमच्या उदाहरणामध्ये, शेवटपासून सोडवणे अधिक सोयीचे आहे, म्हणजे शेवटच्या समीकरणापासून पहिल्यापर्यंत, तळापासून वरपर्यंत जाणे. दुसऱ्या समीकरणावरून, आपण सहजपणे y साठी उपाय शोधू शकतो, कारण आपण x पासून मुक्त झालो, म्हणून y = 2.
7. 7 प्रतिस्थापन पद्धतीने दुसरा अज्ञात शोधा. एकदा तुम्हाला एक व्हेरिएबल सापडला की, दुसरा व्हेरिएबल शोधण्यासाठी तुम्ही ते दुसऱ्या समीकरणात प्लग करू शकता.
   • आमच्या उदाहरणात, अज्ञात x शोधण्यासाठी पहिल्या समीकरणात फक्त y ला 2 ने बदला:

टिपा

• मॅट्रिक्स घटकांना सामान्यतः स्केलर म्हणून संबोधले जाते.
• 2x3 मॅट्रिक्स सोडवण्यासाठी, आपण प्राथमिक पंक्ती ऑपरेशन करणे आवश्यक आहे. आपण स्तंभांवर ही ऑपरेशन्स करू शकत नाही.