सामग्री

• पावले
• भाग 2 मधील 2: रेडियनमधील कोन
• 2 पैकी 2 भाग: xY निर्देशांक (कोसाइन, साइन)
• टिपा

युनिट सर्कल केवळ त्रिकोणमिति आणि भूमिती मध्येच नाही तर गणिताच्या इतर शाखांमध्ये देखील वापरला जातो. पहिल्या दृष्टीक्षेपात, त्यावरील सर्व एकवचनी बिंदू लक्षात ठेवणे अवघड आहे, परंतु जर तुम्हाला मूलभूत तत्त्व समजले तर तुम्ही युनिट सर्कल सहज वापरू शकता.

पावले

भाग 2 मधील 2: रेडियनमधील कोन

1. 1 दोन लंब रेषा काढा. कागदाचा मोठा तुकडा आणि शासक घ्या आणि उभ्या आणि आडव्या रेषा काढा. या ओळींचा छेदनबिंदू पत्रकाच्या मध्यभागी अंदाजे असावा. हे अक्ष असतील x आणि y.
2. 2 एक वर्तुळ काढा. होकायंत्र घ्या, त्याची सुई रेषांच्या छेदनबिंदूवर ठेवा आणि एक मोठे वर्तुळ काढा.
3. 3 रेडियनच्या संकल्पनेशी परिचित व्हा. रेडियन हे कोनांसाठी मोजण्याचे एकक आहे. व्याख्येनुसार, एका रेडियनचा कोन युनिटच्या परिघात कापला जातो त्रिज्या युनिट लांबीचा एक चाप. या संपूर्ण विभागात, बिंदू रेडियनमधील त्यांच्या संबंधित मूल्यांद्वारे दर्शविले जातील. जर तुम्हाला वर्तुळाचा परिघ आणि तिचा त्रिज्यामधील संबंध आठवत असेल, तर तुम्ही ही मूल्ये युनिट वर्तुळासह सहजपणे ठरवू शकता, जरी तुम्ही त्यांना विसरलात.
   • एकक वर्तुळाच्या बाजूने कोन मोजताना, निर्देशांक असलेला बिंदू (0; 1) नेहमी प्रारंभ बिंदू म्हणून घेतला जातो. स्पष्टतेसाठी, आपण वारा गुलाबाच्या स्वरूपात युनिट वर्तुळाची कल्पना करू शकता, नंतर संदर्भ बिंदू पूर्व दिशेला अनुरूप असेल.
4. 4 लक्षात ठेवा की युनिट वर्तुळाची एकूण लांबी 2π आहे. परिघ 2π आहेr, कुठे r - त्याची त्रिज्या. एकक वर्तुळाची त्रिज्या 1 असल्याने त्याची लांबी 2π आहे. येथून, आपण वर्तुळाच्या प्रत्येक बिंदूसाठी रेडियनमध्ये मूल्य शोधू शकता: फक्त 2π घ्या आणि या बिंदूशी संबंधित वर्तुळाच्या अंशाने विभाजित करा. युनिट सर्कलवरील प्रत्येक बिंदूवर मूल्ये जाणून घेण्याचा प्रयत्न करण्यापेक्षा हे खूप सोपे आहे.
5. 5 अक्षांवर चार गुण चिन्हांकित करा x आणि y. हे गुण वर्तुळाला चार चतुर्थांश (चतुर्थांश) मध्ये विभागतील:
   • "पूर्व" हा संदर्भ बिंदू आहे, म्हणून तो अनुरूप आहे 0 रेडियन;
   • "उत्तर" = ¼ वर्तुळ = /₄ = /₂ रेडियन;
   • "पश्चिम" = अर्धा वर्तुळ = /₂ = π रेडियन;
   • "दक्षिण" = वर्तुळाचे तीन चतुर्थांश = 2π * ¾ = /₂ रेडियन;
   • संपूर्ण वर्तुळ ओलांडल्यानंतर, आम्ही सुरुवातीच्या बिंदूकडे परत येतो, म्हणून 0 सह हे मूल्य नियुक्त केले जाऊ शकते 2π.
6. 6 वर्तुळाचे आठ भाग करा. प्रत्येक चतुर्भुजाच्या मध्यभागी सरळ रेषा काढा जेणेकरून ते त्यांचे अर्धे होईल. वर्तुळासह रेषांच्या छेदनबिंदूसाठी, आम्ही रेडियन्समध्ये खालील मूल्ये मिळवतो:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (गुण π / 2, π, 3π / 2 आणि 2π आधीच चिन्हांकित केलेले आहेत).
7. 7 वर्तुळाचे सहा भाग करा. वर्तुळाला सहा भागांमध्ये विभागणाऱ्या अतिरिक्त रेषा काढा. आपण यासाठी एक प्रोट्रॅक्टर वापरू शकता: अक्षाच्या सकारात्मक दिशेने प्रारंभ करा x आणि 60 डिग्री कोन बाजूला ठेवा. वर वर्णन केलेल्या पद्धतीचा वापर करून, वर्तुळाचा सहावा भाग / हे निश्चित करणे सोपे आहे₆ = /₃ रेडियन आता आपण नवीन रेषांचे छेदनबिंदू वर्तुळासह चिन्हांकित करू शकतो (प्रत्येक चतुर्थांशात एक):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (π आणि 2π ची मूल्ये आधीच लक्षात घेतली गेली आहेत).
8. 8 वर्तुळाला 12 भागात विभागणाऱ्या रेषा काढा. हे एकक वर्तुळ 12 समान भागांमध्ये विभागणे बाकी आहे. यापैकी फक्त चार मुद्दे पूर्वी नोंदलेले नव्हते:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

2 पैकी 2 भाग: xY निर्देशांक (कोसाइन, साइन)

1. 1 साइन आणि कोसाइनच्या संकल्पनांशी परिचित व्हा. काटकोन त्रिकोणासह काम करण्यासाठी युनिट सर्कल उत्तम आहे. समन्वय x वर्तुळावर पडलेले बिंदू cos (θ) आणि निर्देशांकाच्या बरोबरीचे आहेत y पाप (θ) शी संबंधित, जेथे θ कोन आहे.
   • जर तुम्हाला हा नियम लक्षात ठेवणे कठीण वाटत असेल तर फक्त लक्षात ठेवा की जोडीमध्ये (cos; sin) "साइन शेवटच्या ठिकाणी आहे".
   • जर आपण काटकोन त्रिकोण आणि या त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची व्याख्या विचारात घेतली तर हा नियम काढला जाऊ शकतो (कोनाचा साईन विरुद्धच्या लांबीच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचा आहे, आणि कोसाइन हा कर्ण कडेचा पाय आहे).
2. 2 वर्तुळावरील चार गुणांचे निर्देशांक लिहा. "युनिट सर्कल" हे एक वर्तुळ आहे ज्याची त्रिज्या एकाच्या बरोबरीची आहे. निर्देशांक निश्चित करण्यासाठी याचा वापर करा x आणि y वर्तुळासह समन्वय अक्षांच्या छेदनबिंदूच्या चार बिंदूंवर. वर, आम्ही या बिंदूंना स्पष्टतेसाठी "पूर्व", "उत्तर", "पश्चिम" आणि "दक्षिण" म्हणून नियुक्त केले आहे, जरी त्यांच्याकडे प्रस्थापित नाव नाही.
   • "पूर्व" निर्देशांक असलेल्या बिंदूशी संबंधित आहे (1; 0).
   • "उत्तर" निर्देशांक असलेल्या बिंदूशी संबंधित आहे (0; 1).
   • "पश्चिम" निर्देशांक असलेल्या बिंदूशी संबंधित आहे (-1; 0).
   • "दक्षिण" निर्देशांक असलेल्या बिंदूशी संबंधित आहे (0; -1).
   • हे एक सामान्य आलेख सारखेच आहे, म्हणून ही मूल्ये लक्षात ठेवण्याची गरज नाही, फक्त मूलभूत तत्त्व लक्षात ठेवा.
3. 3 पहिल्या चतुर्थांशातील गुणांचे निर्देशांक लक्षात ठेवा. प्रथम चतुर्भुज वर्तुळाच्या वरच्या उजवीकडे स्थित आहे, जेथे निर्देशांक आहेत x आणि y सकारात्मक मूल्ये घ्या. हे एकमेव समन्वय आहेत जे आपल्याला लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे:
   • बिंदू /₆ समन्वय आहेत (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • बिंदू /₄ समन्वय आहेत (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • बिंदू /₃ समन्वय आहेत (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • लक्षात घ्या की अंश फक्त तीन मूल्ये स्वीकारतो. जर तुम्ही सकारात्मक दिशेने गेलात (अक्षाच्या बाजूने डावीकडून उजवीकडे x आणि तळापासून वरपर्यंत अक्ष बाजूने y), अंश 1 → √2 → √3 मूल्ये घेतो.
4. 4 सरळ रेषा काढा आणि वर्तुळासह त्यांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंचे निर्देशांक निश्चित करा. जर तुम्ही एका चतुर्भुजाच्या बिंदूंमधून सरळ आडव्या आणि उभ्या रेषा काढल्या तर वर्तुळासह या रेषांच्या छेदनबिंदूच्या दुसऱ्या बिंदूंमध्ये निर्देशांक असतील x आणि y समान निरपेक्ष मूल्यांसह, परंतु भिन्न चिन्हे. दुसऱ्या शब्दांत, आपण पहिल्या चतुर्भुजांच्या बिंदूंमधून आडव्या आणि उभ्या रेषा काढू शकता आणि त्याच निर्देशांकासह वर्तुळाच्या छेदनबिंदूवर स्वाक्षरी करू शकता, परंतु त्याच वेळी योग्य चिन्हासाठी जागा सोडा ("+" किंवा "- ") डावीकडे.
   • उदाहरणार्थ, आपण बिंदू / दरम्यान एक आडवी रेषा काढू शकता₃ आणि /₃... पहिल्या बिंदूमध्ये समन्वय असल्याने (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), दुसऱ्या बिंदूचे निर्देशांक (?${ displaystyle { frac {1} {2}} ,? { frac { sqrt {3}} {2}}}$), जिथे "+" किंवा "-" चिन्हाऐवजी प्रश्नचिन्ह ठेवले आहे.
   • सर्वात सोपी पद्धत वापरा: रेडियन्समधील बिंदू निर्देशांकांचे विभाजक लक्षात घ्या. भाजक 3 सह सर्व गुणांची समान परिपूर्ण समन्वय मूल्ये आहेत. हेच 4 आणि 6 च्या संख्यांसह गुणांवर लागू होते.
5. 5 निर्देशांक चिन्ह निश्चित करण्यासाठी सममिती नियम वापरा. "-" चिन्ह कोठे ठेवायचे हे निर्धारित करण्याचे अनेक मार्ग आहेत:
   • नियमित चार्टसाठी मूलभूत नियम लक्षात ठेवा. अक्ष x डावीकडे नकारात्मक आणि उजवीकडे सकारात्मक. अक्ष y खाली नकारात्मक आणि वर सकारात्मक;
   • पहिल्या चतुर्थांशाने प्रारंभ करा आणि इतर बिंदूंवर रेषा काढा. जर रेषा अक्ष पार करते y, समन्वय x त्याचे चिन्ह बदलेल. जर रेषा अक्ष पार करते x, समन्वयाचे चिन्ह बदलेल y;
   • लक्षात ठेवा की पहिल्या चतुर्थांशात सर्व कार्ये सकारात्मक आहेत, दुसऱ्या चतुर्थांशात फक्त साइन सकारात्मक आहे, तिसऱ्या चतुर्थांशात फक्त स्पर्शिका सकारात्मक आहे आणि चौथ्या चतुर्थांशात फक्त कोसाइन सकारात्मक आहे;
   • तुम्ही कोणती पद्धत वापरता, पहिला चतुर्थांश ( +, +), दुसरा ( -, +), तिसरा ( -, -) आणि चौथा ( +, -) असावा.
6. 6 तुम्ही चुकीचे आहात का ते तपासा. जर तुम्ही युनिट वर्तुळाच्या विरुद्ध घड्याळाच्या दिशेने फिरलात तर "विशेष" गुणांच्या समन्वयांची संपूर्ण यादी खाली आहे (समन्वय अक्षांवर चार गुण वगळता). लक्षात ठेवा की ही सर्व मूल्ये निश्चित करण्यासाठी, फक्त पहिल्या चतुर्थांशात गुणांचे निर्देशांक लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे:
   • पहिला चतुर्थांश: (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • दुसरा चतुर्थांश: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • तिसरा चतुर्थांश: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • चौथा चतुर्थांश: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

टिपा

• आपल्याला चाचणी किंवा परीक्षेसाठी युनिट सर्कल वापरण्याची आवश्यकता असल्यास, ते मसुद्यावर काढा.
• काही सरावाने, आपण पटकन एक युनिट वर्तुळ काढण्यास सक्षम असावे. कालांतराने, तुम्ही फक्त अक्ष काढू शकाल x आणि y किंवा अगदी आकृतीशिवाय करू नका.