सामग्री

• पाऊल टाकण्यासाठी
• 3 पैकी भाग 1: विश्लेषणाची मूलतत्त्वे
• भाग 3 चा 2: डेरिव्हेटिव्ह समजून घ्या
• भाग 3 चा 3: समाकलन समजून घ्या
• टिपा

विश्लेषण (ज्याला कॅल्क्युलस देखील म्हणतात) ही गणिताची एक शाखा आहे जी मर्यादा, कार्ये, डेरिव्हेटिव्ह्ज, अविभाज्य आणि अनंत मालिका यावर केंद्रित आहे. हा विषय गणिताचा एक मोठा विषय समाविष्ट करतो आणि भौतिकशास्त्र आणि यांत्रिकीमध्ये वापरली जाणारी अनेक सूत्रे आणि समीकरणे अधोरेखित करतो. विश्लेषण योग्यरित्या समजण्यासाठी आपल्याकडे हायस्कूलमध्ये अनेक वर्षांचे गणित असणे आवश्यक आहे, परंतु या लेखामुळे आपण मुख्य संकल्पना तसेच सिद्धांताचे अधिक चांगले ज्ञान ओळखण्यास शिकण्यास सुरवात कराल.

पाऊल टाकण्यासाठी

3 पैकी भाग 1: विश्लेषणाची मूलतत्त्वे

1. विश्लेषण म्हणजे गोष्टी कशा बदलतात याचा अभ्यास. विश्लेषण ही गणिताची एक शाखा आहे जी सहसा वास्तविक-जगातील डेटामधून घेतलेली संख्या आणि आलेख तपासते आणि ते कसे बदलतात हे स्पष्ट करते. सुरुवातीला ही गोष्ट फारशी उपयुक्त वाटली नसली तरी, विश्लेषण ही गणिताच्या सर्वात सामान्यतः वापरल्या जाणार्‍या शाखांपैकी एक आहे. कोणत्याही वेळी आपला व्यवसाय किती वेगवान वाढत आहे किंवा स्पेसशिपच्या कोर्सचा चार्ट कसा बनवायचा आणि त्याचे इंधन किती द्रुतगतीने वापरले जात आहे हे सांगण्यासाठी साधने असल्याची कल्पना करा. अभियांत्रिकी, अर्थशास्त्र, आकडेवारी, रसायनशास्त्र आणि भौतिकशास्त्र यांचे विश्लेषण हे एक महत्त्वाचे साधन आहे आणि त्याने अनेक शोध आणि शोधांना योगदान दिले आहे.
2. कार्ये दोन संख्यांमधील संबंध असतात आणि संबंध मॅपिंगसाठी वापरली जातात. ते संख्या दरम्यानच्या संबंधांचे नियम आहेत आणि गणितज्ञ आलेख तयार करण्यासाठी त्यांचा वापर करतात. फंक्शनमध्ये, प्रत्येक इनपुटचा एक परिणाम असतो. उदाहरणार्थ: मध्ये $डिस्प्लेस्टाईल y = 2x + 4,}$अनंत संकल्पनेचा विचार करा. अनंत म्हणजे प्रक्रियेची सतत पुनरावृत्ती. हे विशिष्ट स्थान नाही (आपण अनंत जाऊ शकत नाही), परंतु कायमचे केले असल्यास संख्या किंवा समीकरणाचे वर्तन आहे. बदलाच्या अभ्यासासाठी हे महत्वाचे आहे: आपणास हे माहित असू शकेल की कोणत्याही वेळी आपली कार किती वेगवान आहे, परंतु सध्याच्या सेकंदात आपली कार किती वेगवान आहे? मिलीसेकंद? नॅनोसेकंद? आपल्याला अधिक अचूक होण्यासाठी वेळेची अत्युत्तम भाग मिळू शकेल आणि जेव्हा विश्लेषण येईल तेव्हाच.
3. मर्यादा संकल्पना समजून घ्या. जेव्हा एखादी गोष्ट अनंत जवळ येते तेव्हा एक मर्यादा आपल्याला सांगते. क्रमांक 1 घ्या आणि त्यास 2 ने विभाजित करा आणि अधिक आणि 2 अधिक विभाजित करा. 1 1/2 आणि नंतर 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 इ. प्रत्येक वेळी संख्या कमी आणि शून्य होते, "शून्याच्या जवळ". पण ते कुठे थांबेल? शून्य मिळविण्यासाठी आपल्याला किती वेळा 1 बाय 2 विभाजित करावे लागेल? या प्रश्नाचे उत्तर देण्याऐवजी, विश्लेषणात आपण एक सेट केले मर्यादा या प्रकरणात, मर्यादा आहे.
   • आलेखामध्ये दृश्यमान करणे मर्यादा सर्वात सोपी असतात - उदाहरणार्थ, असे काही बिंदू आहेत जे आलेख जवळजवळ स्पर्श करतात, परंतु कधीच नाहीत?
   • मर्यादा संख्या, असीम किंवा अस्तित्वातही नसू शकतात. उदाहरणार्थ, जोड +1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... सह आणि हे अनिश्चित काळासाठी चालू राहते, अंतिम संख्या अनंत मोठी होते. त्यानंतर मर्यादा अनंत होते.
4. बीजगणित, त्रिकोणमिती आणि गणिताच्या मूलभूत गोष्टींच्या आवश्यक गणितांच्या संकल्पनांचे पुनरावलोकन करा. विश्लेषण आपण आधी शिकलेल्या गणितावर अवलंबून आहे. सर्व विषयांबद्दल चांगल्याप्रकारे माहिती असणे विश्लेषण विश्लेषण शिकणे आणि समजून घेणे अधिक सुलभ करते. काही विषय पुढीलप्रमाणेः
   • बीजगणित. आपल्याला भिन्न प्रक्रिया समजून घेणे आवश्यक आहे आणि एकाधिक व्हेरिएबल्ससह समीकरणांचे समीकरण आणि सिस्टम सोडविण्यात सक्षम असणे आवश्यक आहे. संग्रहांची मूलतत्त्वे समजून घ्या. आलेख बनवण्याचा सराव करा.
   • भूमिती. भूमिती म्हणजे आकारांचा अभ्यास. आपल्याकडे त्रिकोण, आयत आणि मंडळे आणि परिमिती आणि क्षेत्रासारख्या गोष्टींची गणना कशी करावी याबद्दल मूलभूत ज्ञान असले पाहिजे. कोन, रेखा आणि समन्वय समजून घ्या
   • त्रिकोणमिती त्रिकोणमिती ही गणिताची शाखा आहे जी मंडळे आणि उजव्या त्रिकोणाच्या गुणधर्मांशी संबंधित असते. त्रिकोणमितीय ओळख, आलेख, कार्ये आणि व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये कशी वापरावी हे जाणून घ्या.
5. ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर खरेदी करा. आपण काय करीत आहात हे पाहिल्याशिवाय विश्लेषण समजणे सोपे नाही. रेखांकन कॅल्क्युलेटर कार्ये व्हिज्युअल बनवतात जेणेकरून आपण कोणत्या समीकरणासह व्यवहार करीत आहात हे आपल्याला चांगले समजू शकेल. बर्‍याचदा मर्यादा स्क्रीनवर देखील दिसून येतात आणि व्युत्पन्न आणि कार्ये आपोआप मोजली जातात.
   • आपल्याला आज ग्राफिक कॅल्क्युलेटर नको असल्यास किंवा खरेदी करू शकत नसल्यास बरेच स्मार्टफोन आणि टॅब्लेट स्वस्त परंतु प्रभावी ग्राफिंग अॅप्स ऑफर करतात.

भाग 3 चा 2: डेरिव्हेटिव्ह समजून घ्या

1. "विशिष्ट क्षणी बदल" याचा अभ्यास करण्यासाठी विश्लेषणाचा उपयोग केला जातो. अचूक क्षणी काहीतरी का बदलते हे जाणून घेणे हा विश्लेषणाचा मुख्य भाग आहे. उदाहरणार्थ, विश्लेषण आपल्याला केवळ कारची गतीच देत नाही, परंतु कोणत्याही वेळी ती वेग किती बदलते हे देखील देते. विश्लेषणाचा हा सर्वात सोपा वापर आहे, परंतु अतिशय महत्त्वाचा आहे. कल्पना करा की चंद्राकडे स्पेसशिप मिळविण्यासाठी लागणारी गती निश्चित करण्यात ही माहिती किती महत्त्वाची आहे!
   • वेळेत निश्चित ठिकाणी बदल निश्चित करणे फरक करणे. विश्लेषणाच्या दोन प्रमुख शाखांपैकी भेदभाव ही प्रथम आहे.
2. दिलेल्या वेळी गोष्टी कशा बदलतात हे समजण्यासाठी डेरिव्हेटिव्ह्ज वापरा. "व्युत्पन्न" हा असा एखादा छान शब्द आहे जो विद्यार्थ्यांना बर्‍याचदा त्रास देतो. तथापि, संकल्पना स्वतः समजून घेणे इतके अवघड नाही - याचा अर्थ आहे "काहीतरी वेगात किती लवकर बदलते." दररोजच्या जीवनात आपण ज्या डेरिव्हेटिव्ह्जचा सर्वाधिक सामना कराल त्याचा वेग वेगळा आहे. तथापि, आपण सामान्यत: "गती व्युत्पन्न" असे म्हणत नाही, परंतु फक्त "प्रवेग".
   • प्रवेग एक व्युत्पन्न आहे - हे सांगते की काहीतरी वेगात किंवा कमी करत आहे किंवा त्याचा वेग कसा बदलत आहे.
3. हे जाणून घ्या की बदलाचे दर दोन बिंदूंमधील उतार इतकेच आहेत. विश्लेषणाचा हा सर्वात महत्वाचा शोध आहे. दोन बिंदूंमधील बदलाचे दर त्या दोन बिंदूंमधील रेषेच्या उताराइतकेच आहे. फक्त एखाद्या सोप्या रेषेचा विचार करा, जसे समीकरण ${ डिस्प्लेस्टाईल y = 3x.$आपण वक्र रेषांचा उतार निश्चित करू शकता हे जाणून घ्या. सरळ रेषेचा उतार निश्चित करणे तुलनेने सोपे आहे: किती बदल $डिस्प्लेस्टाईल y$आपण बदलाची अधिक अचूक गणना करू इच्छित असल्यास, बिंदू एकमेकांच्या जवळ असल्याचे सुनिश्चित करा. आपण जितके दोन बिंदू निवडता तितके आपले उत्तर अधिक अचूक असेल. समजा आपण प्रवेगक दाबताना आपली कार किती वेगवान होते हे जाणून घेऊ इच्छित आहात. आपणास आपले घर आणि सुपरमार्केटमधील गतीतील बदल मोजायचे नाहीत, परंतु आपण प्रवेगक मारल्याच्या क्षणापासून वेगाने होणारा बदल. आपले वाचन दुसर्‍या विभाजनाइतके जितके जवळ जाईल तितके आपल्या बदलाचे गणन जितके अचूक असेल.
   • उदाहरणार्थ, वैज्ञानिक शोधात आहेत की काही प्रजाती वाचविण्यासाठी ते किती लवकर नामशेष होतात. तथापि, उन्हाळ्याच्या तुलनेत जास्त प्राणी हिवाळ्यात मरतात, म्हणून वर्षभर बदललेल्या दराचा अभ्यास करणे उपयुक्त नाही - 1 जुलै ते 1 ऑगस्ट या कालावधीत, कमी कालावधीत बदल होण्याचे प्रमाण निश्चित करणे अधिक चांगले आहे.
4. "त्वरित बदलांचा दर" निर्धारित करण्यासाठी किंवा साधित शोधण्यासाठी अमर्याद लहान ओळी वापरा. यातूनच अनेकदा विश्लेषण जरा गोंधळात पडते, परंतु प्रत्यक्षात दोन सोप्या तथ्यांचा हा परिणाम आहे. सर्वप्रथम, आपल्याला माहिती आहे की रेषाचा उतार किती वेगवान आहे त्या रेषाप्रमाणे बदलला जातो. दुसरे म्हणजे, आपल्याला माहिती आहे की रेषेचे बिंदू एकमेकांशी जितके जवळजवळ असतात तितके वाचन अधिक अचूक होईल. जर उतार दोन बिंदूंमधील संबंध असेल तर दिलेल्या बिंदूवर बदलाचे दर कसे शोधाल? उत्तर: आपण एकमेकांना असीम जवळ असलेले दोन मुद्दे निवडा.
   • आपण जेथे 1 बाय 2 विभाजित करत आहात त्या उदाहरणाचा विचार करा, अशा प्रकारे 1/2, 1/4, 1/8 इ. तर शेवटी तुम्ही शून्याच्या जवळ येता आणि उत्तर म्हणजे जवळजवळ शून्य. गुण एकमेकांच्या इतके जवळ आहेत की ते "जवळजवळ एकमेकांच्या बरोबरीचे" आहेत. हा व्युत्पत्तीचा स्वभाव आहे.
5. विविध व्युत्पन्न कसे ठरवायचे ते शिका. समीकरणानुसार व्युत्पन्न शोधण्यासाठी बर्‍याच वेगवेगळ्या तंत्रे आहेत, परंतु आपण वरील डेरिव्हेटिव्ह्जची मूलभूत माहिती लक्षात ठेवल्यास त्यापैकी बर्‍याच गोष्टींचा अर्थ आहे. सर्व डेरिव्हेटिव्ह एक "अनंत" रेषेचा उतार शोधण्याचा एक मार्ग आहे. आता आपल्याला डेरिव्हेटिव्ह सिद्धांताबद्दल अधिक माहिती आहे, बहुतेक काम उत्तरे शोधण्यात आहे.
6. कोणत्याही वेळी बदलाच्या दराचा अंदाज घेण्यासाठी व्युत्पन्न केलेली समीकरणे शोधा. कोणत्याही वेळी बदलाचे दर निश्चित करण्यासाठी डेरिव्हेटिव्ह्ज वापरणे उपयुक्त आहे, परंतु विश्लेषणाचे सौंदर्य म्हणजे आपण कोणत्याही कार्यासाठी नवीन मॉडेल तयार करू शकता. च्या व्युत्पन्न ${ डिस्प्लेस्टाईल y = x ^ {2},}$आपणास हे समजणे अवघड वाटत असल्यास डेरिव्हेटिव्ह्जची वास्तविक-उदाहरणे लक्षात ठेवण्याचा प्रयत्न करा. सर्वात सोपी उदाहरण वेगावर आधारित आहे, जे दररोज आपल्याला आढळणार्‍या बर्‍याच प्रकारचे व्युत्पन्न करते. विसरू नको: एखादी गोष्ट किती द्रुतपणे बदलते याचे एक डेरिव्हेटिव्ह एक उपाय आहे. सोप्या प्रयोगाचा विचार करा. आपण एका टेबलावर संगमरवरी रोल करा आणि ते किती अंतर फिरते आणि प्रत्येक वेळी किती वेगवान आहे हे मोजता. आता कल्पना करा की रोलिंग संगमरवरी ग्राफवर एक ओळ अनुसरण करते - आपण त्या ओळीवर कोणत्याही वेळी त्वरित बदल मोजण्यासाठी डेरिव्हेटिव्ह्ज वापरत आहात.
   • संगमरवरी किती वेगाने फिरते? फिरत्या संगमरवरीची स्थिती (किंवा व्युत्पन्न) कोणत्या वेगाने बदलते? आम्ही याला व्युत्पन्न "गती" म्हणतो.
   • संगमरवरी उतारावर रोल करा आणि वेग कसा बदलतो ते पहा. संगमरवरीच्या वेगाचे बदल किंवा व्युत्पन्न दर काय आहे? हे व्युत्पन्न आपण ज्याला "प्रवेग" म्हणतो.
   • रोलर कोस्टरसारख्या वेव्ही ट्रॅकवर संगमरवरी रोल करा. जेव्हा संगमरवरी खाली घसरते तेव्हा गती किती प्रमाणात वाढते आणि संगमरवरी किती प्रमाणात उतार खाली करते? पहिल्या टेकडीच्या अर्ध्या भागावर अर्धा मार्ग असताना संगमरवरी अगदी वेगात कसा जातो? हा त्या विशिष्ट मार्केचा त्वरित बदल किंवा त्या मार्बलचा व्युत्पन्न दर आहे.

भाग 3 चा 3: समाकलन समजून घ्या

1. हे जाणून घ्या की आपण जटिल क्षेत्रे आणि परिमाण शोधण्यासाठी विश्लेषणाचा वापर करू शकता. विश्लेषणासह आपण जटिल आकार मोजू शकता जे अन्यथा मोजणे कठीण आहे. उदाहरणार्थ, एका लांब, अनियमित आकाराच्या तलावामध्ये किती पाणी आहे हे आपण जाणून घेऊ इच्छित असलेल्या समस्येचा विचार करा - प्रत्येक लिटर पाण्याचे स्वतंत्रपणे मोजणे किंवा तलावाचे आकार मोजण्यासाठी शासक वापरणे अशक्य आहे. विश्लेषणासह आपण सरोवराच्या कडा कशा बदलत आहेत याचा अभ्यास करू शकता आणि नंतर त्यात किती पाणी आहे हे शोधण्यासाठी त्या माहितीचा वापर करू शकता.
   • भूमितीय मॉडेल तयार करणे आणि खंडांचा अभ्यास करणे समाकलित. समाकलित कॅल्क्यूलस ही विश्लेषणाची दुसरी महत्त्वपूर्ण शाखा आहे.
2. एकत्रीकरण हे आलेखाच्या खाली असलेले क्षेत्र आहे हे जाणून घ्या. एकात्मतेचा वापर रेषाखालील जागा मोजण्यासाठी केला जातो, ज्यामुळे आपल्याला विचित्र किंवा अनियमित आकाराचे क्षेत्र निश्चित करता येते. समीकरण घ्या ${ डिस्प्लेस्टाईल y = 4-x ^ {2},}$आपण समाकलित करण्यासाठी एक क्षेत्र निवडणे आवश्यक आहे हे जाणून घ्या. आपण फक्त संपूर्ण कार्य समाकलित करू शकत नाही. उदाहरणार्थ, ${ डिस्प्लेस्टाईल y = x$आयताचे क्षेत्रफळ कसे काढायचे याचा विचार करा. समजा आपल्याकडे आलेखाच्या वर एक सपाट ओळ आहे, जसे की $डिस्प्लेस्टाईल y = 4.}$हे जाणून घ्या की अविभाज्य कॅल्क्युलसमध्ये क्षेत्राचे क्षेत्र शोधण्यासाठी बर्‍याच लहान आयताकृती जोडल्या जातात. जेव्हा आपण मोठ्या प्रमाणात वक्र वाढवितता तेव्हा ती एक सरळ रेषा दिसते. आपण दररोज हे पहाल - आपण पृथ्वीचे वक्रता लक्षात घेऊ शकत नाही कारण आपण पृथ्वीच्या पृष्ठभागाच्या अगदी जवळ आहात. एकत्रीकरण एका वक्र खाली असीम संख्येने लहान आयत तयार करते जे इतके लहान असतात की ते मूलत: सपाट असतात, ज्यामुळे आपण त्या मोजू शकाल. या सर्व आयताकृती एकत्र वक्र अंतर्गत क्षेत्राचे क्षेत्र बनवतात.
   • समजा आपण आलेखाच्या खाली बरेच छोटे विभाग जोडून प्रत्येक विभागाची ती रुंदी आहे जवळजवळ शून्य आहे.
3. अविभाज्यता योग्यरित्या कशी वाचली आणि लिहावी हे जाणून घ्या. एकत्रिकरणांमध्ये 4 भाग असतात. एक विशिष्ट अविभाज्य असे दिसते:
   
   ${ डिस्प्लेस्टाईल इंट एफ (एक्स) th मॅथर्म {डी} एक्स}$ अविभाज्य शोधण्याबद्दल अधिक जाणून घ्या. एकत्रीकरण बर्‍याच प्रकारात येते आणि प्रत्येक फंक्शन समाकलित करण्यासाठी आपल्याला बर्‍याच भिन्न फॉर्म्युल्या शिकण्याची आवश्यकता आहे. तथापि, ते सर्व वर वर्णन केलेल्या तत्त्वांचे अनुसरण करतात: एकत्रीकरण म्हणजे असीम असंख्य गोष्टींची बेरीज.
   • प्रतिस्थापनाद्वारे समाकलित करा.
   • अनिश्चित अभिन्नतांची गणना करा.
   • सामायिक करून समाकलित करा.
4. हे जाणून घ्या की एकत्रीकरण म्हणजे भिन्नतेचे उलट आणि त्याउलट. हा विश्लेषणाच्या अंगठ्याचा नियम आहे जो इतका महत्वाचा आहे की त्याला त्याचे स्वतःचे नाव दिले गेले आहे: इंटिग्रल कॅल्क्युलेशनचे प्रिन्सिपल प्रमेय.एकीकरण आणि भेदभाव इतका जवळजवळ संबंधित असल्याने, आपल्याकडे कोणती माहिती आहे याची पर्वा न करता, बदल, प्रवेग, गती, स्थान, हालचाल इत्यादींचा दर निर्धारित करण्यासाठी या दोहोंच्या संयोगाचा उपयोग केला जाऊ शकतो.
   • उदाहरणार्थ, लक्षात ठेवा गतीचे व्युत्पन्न करणे प्रवेग आहे, म्हणून आपण प्रवेग शोधण्यासाठी वेग वापरू शकता. परंतु जर आपल्याला केवळ एखाद्या गोष्टीचे प्रवेग माहित असेल (जसे की गुरुत्वाकर्षणामुळे पडणारी वस्तू), तर आपण वेग परत मिळविण्यासाठी समाकलित करू शकता!
5. एकत्रीकरणासह आपण 3 डी ऑब्जेक्ट्सची मात्रा देखील नियंत्रित करू शकता हे जाणून घ्या. सॉलिड आकार फिरविणे 3 डी सॉलिड तयार करण्याचा एक मार्ग आहे. टेबलावर फिरणार्‍या नाण्याची कल्पना करा - जेव्हा नाणी घुमते तेव्हा ते गोलाचे आकार कसे घेत आहे ते पहा. ही संकल्पना आपल्याला "व्हॉल्यूम बाय रोटेशन" म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या प्रक्रियेनुसार व्हॉल्यूम निर्धारित करण्यास अनुमती देते.
   • हे आपल्याला कोणत्याही सॉलिडचे व्हॉल्यूम निर्धारित करण्यास अनुमती देते, जोपर्यंत त्याचे प्रतिनिधित्व करणारे फंक्शन आहे. उदाहरणार्थ, आपण एखादा फंक्शन तयार करू शकता जो तलावाच्या खालचा मागोवा घेतो आणि नंतर त्या लेकचा आकार किंवा त्यात किती पाणी आहे हे निर्धारित करण्यासाठी ते वापरू शकता.

टिपा

• सराव परिपूर्ण बनवितो, म्हणून आपल्या पाठ्यपुस्तकात सराव अभ्यास करा - अगदी आपल्या शिक्षकांनी दिलेला नाही - आणि संकल्पना अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी आपली उत्तरे तपासा.
• जर आपल्याला तोडगा न मिळाल्यास आपल्या शिक्षकाला विचारा.