सामग्री

• पावले
• 3 पैकी 1 पद्धत: अज्ञात बाजू कशी शोधावी
• 3 पैकी 2 पद्धत: अज्ञात कोन शोधणे
• 3 पैकी 3 पद्धत: नमुना समस्या
• टिपा

त्रिकोणमितीमध्ये कोसाइन प्रमेय मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते. अनियमित त्रिकोणासह काम करताना त्याचा उपयोग अज्ञात प्रमाणात जसे की बाजू आणि कोन शोधण्यासाठी केला जातो. प्रमेय पायथागोरियन प्रमेयासारखेच आहे आणि ते लक्षात ठेवणे सोपे आहे. कोसाइन प्रमेय म्हणतो की कोणत्याही त्रिकोणामध्ये ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

पावले

3 पैकी 1 पद्धत: अज्ञात बाजू कशी शोधावी

1. 1 ज्ञात मूल्ये लिहा. त्रिकोणाची अज्ञात बाजू शोधण्यासाठी, आपल्याला इतर दोन बाजू आणि त्यामधील कोन माहित असणे आवश्यक आहे.
   • उदाहरणार्थ, XYZ त्रिकोण दिला. YX बाजू 5 सेमी, YZ बाजू 9 सेमी आणि Y कोन 89 आहे. XZ बाजू काय आहे?
2. 2 कोसाइन प्रमेय सूत्र लिहा. सुत्र: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, कुठे ${ प्रदर्शन शैली c}$ - अज्ञात पक्ष, ${ displaystyle cos {C}}$ - अज्ञात बाजूच्या विरुद्ध कोनाचा कोसाइन, ${ प्रदर्शन शैली a}$ आणि ${ displaystyle b}$ - दोन सुप्रसिद्ध बाजू.
3. 3 सूत्रांमध्ये ज्ञात मूल्ये प्लग करा. व्हेरिएबल्स ${ प्रदर्शन शैली a}$ आणि ${ displaystyle b}$ दोन ज्ञात बाजू दर्शवा. व्हेरिएबल ${ प्रदर्शन शैली C}$ बाजूंच्या दरम्यान असलेला ज्ञात कोन आहे ${ प्रदर्शन शैली a}$ आणि ${ displaystyle b}$.
   • आमच्या उदाहरणामध्ये, XZ बाजू अज्ञात आहे, म्हणून सूत्रात ती म्हणून दर्शवली आहे ${ प्रदर्शन शैली c}$... YX आणि YZ बाजू ओळखल्या गेल्यामुळे, त्या व्हेरिएबल्स द्वारे दर्शविल्या जातात ${ प्रदर्शन शैली a}$ आणि ${ displaystyle b}$... व्हेरिएबल ${ प्रदर्शन शैली C}$ कोन Y आहे. म्हणून, सूत्र खालीलप्रमाणे लिहिले जाईल: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 ज्ञात कोनाचा कोसाइन शोधा. हे कॅल्क्युलेटरने करा. कोन मूल्य प्रविष्ट करा आणि नंतर क्लिक करा ${ displaystyle COS}$... आपल्याकडे वैज्ञानिक कॅल्क्युलेटर नसल्यास, ऑनलाइन कोसाइन टेबल शोधा, उदाहरणार्थ, येथे. यांडेक्समध्ये देखील, आपण "X अंशांचे कोसाइन" (X साठी कोनाचे मूल्य बदलू शकता) प्रविष्ट करू शकता आणि शोध इंजिन कोनाचे कोसाइन प्रदर्शित करेल.
   • उदाहरणार्थ, कोसाइन 89 ° ≈ 0.01745 आहे. तर: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 संख्या गुणाकार करा. गुणाकार ${ displaystyle 2ab}$ ज्ञात कोनाच्या कोसाइनद्वारे.
   • उदाहरणार्थ:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 ज्ञात बाजूंचे चौरस दुमडणे. लक्षात ठेवा, संख्या चौरस करण्यासाठी, ती स्वतः गुणाकार करणे आवश्यक आहे. प्रथम, संबंधित संख्या चौरस करा आणि नंतर परिणामी मूल्ये जोडा.
   • उदाहरणार्थ:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 दोन संख्या वजा करा. तुम्हाला सापडेल ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • उदाहरणार्थ:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 या मूल्याचे वर्गमूळ घ्या. हे करण्यासाठी, कॅल्क्युलेटर वापरा. अशा प्रकारे तुम्हाला अज्ञात बाजू सापडते.
   • उदाहरणार्थ:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     तर, अज्ञात बाजू 10.2191 सेमी आहे.

3 पैकी 2 पद्धत: अज्ञात कोन शोधणे

1. 1 ज्ञात मूल्ये लिहा. त्रिकोणाचा अज्ञात कोन शोधण्यासाठी, आपल्याला त्रिकोणाच्या तीनही बाजू माहित असणे आवश्यक आहे.
   • उदाहरणार्थ, RST दिलेला त्रिकोण. बाजू CP = 8 सेमी, ST = 10 सेमी, PT = 12 सेमी. S कोनाचे मूल्य शोधा.
2. 2 कोसाइन प्रमेय सूत्र लिहा. सुत्र: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, कुठे ${ displaystyle cos {C}}$ - अज्ञात कोनाचे कोसाइन, ${ प्रदर्शन शैली c}$ - एक अज्ञात कोपरा समोर एक ज्ञात बाजू, ${ प्रदर्शन शैली a}$ आणि ${ displaystyle b}$ - इतर दोन प्रसिद्ध पक्ष.
3. 3 मूल्ये शोधा अ{ प्रदर्शन शैली a}, ब{ displaystyle b} आणि c{ प्रदर्शन शैली c}. नंतर त्यांना सूत्रात प्लग करा.
   • उदाहरणार्थ, RT बाजू अज्ञात कोना S च्या विरुद्ध आहे, म्हणून RT बाजू आहे ${ प्रदर्शन शैली c}$ सूत्र मध्ये. इतर पक्ष करतील ${ प्रदर्शन शैली a}$ आणि ${ displaystyle b}$... तर, सूत्र खालीलप्रमाणे लिहिले जाईल: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 संख्या गुणाकार करा. गुणाकार ${ displaystyle 2ab}$ अज्ञात कोनाच्या कोसाइनद्वारे.
   • उदाहरणार्थ, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 ताठ c{ प्रदर्शन शैली c} एका चौकात. म्हणजेच, संख्या स्वतःच गुणाकार करा.
   • उदाहरणार्थ, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 चौरस दुमडणे अ{ प्रदर्शन शैली a} आणि ब{ displaystyle b}. परंतु प्रथम, संबंधित संख्या चौरस करा.
   • उदाहरणार्थ:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 अज्ञात कोनाचे कोसाइन वेगळे करा. हे करण्यासाठी, रक्कम वजा करा ${ displaystyle a ^ {2}}$ आणि ${ displaystyle b ^ {2}}$ समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी. नंतर अज्ञात कोनाच्या कोसाइनमध्ये समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूला घटकाने विभाजित करा.
   • उदाहरणार्थ, अज्ञात कोनाचे कोसाइन वेगळे करण्यासाठी, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी 164 वजा करा, आणि नंतर प्रत्येक बाजू -160 ने विभाजित करा:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 व्यस्त कोसाइनची गणना करा. हे अज्ञात कोनाचे मूल्य शोधेल. कॅल्क्युलेटरवर, व्यस्त कोसाइन फंक्शन दर्शविले जाते ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • उदाहरणार्थ, 0.0125 चे आर्कोसिन 82.8192 आहे. तर S S हा कोन 82.8192 आहे.

3 पैकी 3 पद्धत: नमुना समस्या

1. 1 त्रिकोणाची अज्ञात बाजू शोधा. ज्ञात बाजू 20 सेमी आणि 17 सेमी आहेत आणि त्यांच्यामधील कोन 68 आहे.
   • आपल्याला दोन बाजू आणि त्यामधील कोन दिलेले असल्याने, आपण कोसाइन प्रमेय वापरू शकता. सूत्र लिहा: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • अज्ञात बाजू आहे ${ प्रदर्शन शैली c}$... सूत्रामध्ये ज्ञात मूल्ये प्लग करा: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • गणना करा ${ displaystyle c ^ {2}}$, गणिती क्रियांचा क्रम पाळणे:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घ्या. अशा प्रकारे तुम्हाला अज्ञात बाजू सापडते:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     तर, अज्ञात बाजू 20.8391 सेमी आहे.
2. 2 त्रिकोण GHI मध्ये H कोन शोधा. कोपरा H ला लागून असलेल्या दोन बाजू 22 आणि 16 सेमी आहेत.कोपरा H च्या विरुद्ध बाजू 13 सेमी आहे.
   • तीनही बाजू दिल्या असल्याने, कोसाइन प्रमेय वापरता येते. सूत्र लिहा: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • अज्ञात कोपऱ्याच्या विरुद्ध बाजू आहे ${ प्रदर्शन शैली c}$... सूत्रामध्ये ज्ञात मूल्ये प्लग करा: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • परिणामी अभिव्यक्ती सुलभ करा:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • कोसाइन वेगळे करा:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • व्यस्त कोसाइन शोधा. अशा प्रकारे तुम्ही अज्ञात कोनाची गणना करता:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     अशा प्रकारे, H हा कोन 35.7985 आहे.
3. 3 ट्रेलची लांबी शोधा. नदी, डोंगराळ आणि मार्श मार्ग एक त्रिकोण तयार करतात. नदी ट्रेलची लांबी 3 किमी आहे, डोंगराळ ट्रेलची लांबी 5 किमी आहे; हे मार्ग 135 of च्या कोनात एकमेकांना छेदतात. दलदलीचा मार्ग इतर पायवाटांच्या दोन टोकांना जोडतो. दलदलीच्या मार्गाची लांबी शोधा.
   • पायवाट एक त्रिकोण तयार करतात. आपल्याला अज्ञात मार्गाची लांबी शोधण्याची आवश्यकता आहे, जी त्रिकोणाची बाजू आहे. इतर दोन मार्गांची लांबी आणि त्यांच्या दरम्यानचा कोन दिलेला असल्याने, कोसाइन प्रमेय वापरला जाऊ शकतो.
   • सूत्र लिहा: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • अज्ञात मार्ग (दलदल) म्हणून दर्शविले जाईल ${ प्रदर्शन शैली c}$... सूत्रामध्ये ज्ञात मूल्ये प्लग करा: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • गणना करा ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घ्या. अशा प्रकारे तुम्हाला अज्ञात मार्गाची लांबी कशी मिळेल:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     तर, दलदल ट्रेलची लांबी 7.4306 किमी आहे.

टिपा

• साइन प्रमेय वापरणे सोपे आहे. म्हणून, आधी दिलेल्या समस्येवर ते लागू केले जाऊ शकते का ते शोधा.