सामग्री

• थोडक्यात सारांश
• पावले
• 3 पैकी 1 भाग: मॅट्रिसिसच्या विभाज्यतेची चाचणी
• 3 पैकी 2 भाग: व्यस्त मॅट्रिक्स शोधणे
• 3 पैकी 3 भाग: मॅट्रिक्स गुणाकार
• टिपा
• चेतावणी
• अतिरिक्त लेख

जर तुम्हाला दोन मॅट्रिक्स कसे गुणाकार करायचे हे माहित असेल, तर तुम्ही मॅट्रीसचे "विभाजन" सुरू करू शकता. "विभागणी" हा शब्द अवतरण चिन्हांमध्ये जोडलेला आहे, कारण मॅट्रिक्स प्रत्यक्षात विभागले जाऊ शकत नाही. डिव्हिजन ऑपरेशनची जागा एका मॅट्रिक्सला मॅट्रिक्सने गुणाकार करण्याच्या ऑपरेशनद्वारे घेतली जाते जी दुसऱ्या मॅट्रिक्सची व्यस्त असते. साधेपणासाठी, पूर्णांकासह एक उदाहरण विचारात घ्या: 10 ÷ 5. 5: 5 किंवा /₅, आणि नंतर गुणाकाराने विभाजन बदला: 10 x 5; भागाकार आणि गुणाकाराचा परिणाम समान असेल. म्हणून, असे मानले जाते की विभाजन व्युत्क्रम मॅट्रिक्सद्वारे गुणाकाराने बदलले जाऊ शकते. सामान्यतः, अशा गणनेचा वापर रेखीय समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्यासाठी केला जातो.

थोडक्यात सारांश

1. आपण मॅट्रीस विभागू शकत नाही. भागाऐवजी, एक मॅट्रिक्स दुसऱ्या मॅट्रिक्सच्या व्यस्ताने गुणाकार केला जातो. दोन मॅट्रिक्स [A] "[B] चे" विभाजन "खालीलप्रमाणे लिहिले आहे: [A] * [B] किंवा [B] * [A].
2. जर मॅट्रिक्स [B] चौरस नसेल किंवा त्याचा निर्धारक 0 असेल तर "कोणतेही स्पष्ट समाधान नाही" लिहा. अन्यथा, मॅट्रिक्स [B] चे निर्धारक शोधा आणि पुढील चरणावर जा.
3. व्यस्त शोधा: [B].
4. [A] * [B] किंवा [B] * [A] शोधण्यासाठी मॅट्रिक्सचे गुणाकार करा. हे लक्षात ठेवा की ज्या क्रमाने मॅट्रिक्स गुणाकार केले जातात ते अंतिम निकालावर परिणाम करतात (म्हणजेच, परिणाम भिन्न असू शकतात).

पावले

3 पैकी 1 भाग: मॅट्रिसिसच्या विभाज्यतेची चाचणी

1. 1 मॅट्रिक्सचे "विभाजन" समजून घ्या. खरं तर, मॅट्रिक्सची विभागणी करता येत नाही. "एक मॅट्रिक्स दुसर्याने विभाजित करणे" असे कोणतेही गणिती ऑपरेशन नाही. डिव्हिजन एका मॅट्रिक्सला दुसऱ्या मॅट्रिक्सच्या व्यस्ताने गुणाकार करून बदलले जाते. म्हणजेच, [A] ÷ [B] नोटेशन बरोबर नाही, म्हणून ते खालील नोटेशनने बदलले आहे: [A] * [B]. स्केलर मूल्यांच्या बाबतीत दोन्ही नोंदी समतुल्य असल्याने, सैद्धांतिकदृष्ट्या आपण मॅट्रिक्सच्या "विभाजन" बद्दल बोलू शकतो, परंतु योग्य शब्दावली वापरणे अद्याप चांगले आहे.
   • लक्षात घ्या की [A] * [B] आणि [B] * [A] भिन्न ऑपरेशन्स आहेत. सर्व संभाव्य उपाय शोधण्यासाठी दोन्ही ऑपरेशन्स करणे आवश्यक असू शकते.
   • उदाहरणार्थ, त्याऐवजी ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ लिहा ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$.
     आपल्याला गणना करावी लागेल ${ displaystyle { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} {- 1} * { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$वेगळा परिणाम मिळवण्यासाठी.
2. 2 आपण इतर मॅट्रिक्सने "विभाजित" करत असलेले मॅट्रिक्स चौरस आहे याची खात्री करा. मॅट्रिक्स उलटा करण्यासाठी (मॅट्रिक्सचा उलटा शोधा), तो चौरस असणे आवश्यक आहे, म्हणजे समान पंक्ती आणि स्तंभांसह. जर उलटा मॅट्रिक्स उलटा नसेल तर निश्चित उपाय नाही.
   • पुन्हा, मॅट्रिक्स येथे "विभाजित" नाहीत. ऑपरेशन [A] * [B] मध्ये, वर्णन केलेली स्थिती मॅट्रिक्स [B] चा संदर्भ देते. आमच्या उदाहरणात, ही स्थिती मॅट्रिक्सचा संदर्भ देते ${ displaystyle { start {pmatrix} 7 आणि 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
   • ज्या मॅट्रिक्सला उलटे करता येते त्याला नॉन-डीजेनेरेट किंवा नियमित म्हणतात. ज्या मॅट्रिक्सला उलटे करता येत नाही त्याला डीजेनरेट किंवा एकवचन म्हणतात.
3. 3 दोन मॅट्रिक्स गुणाकार करता येतात का ते तपासा. दोन मॅट्रिक्स गुणाकार करण्यासाठी, पहिल्या मॅट्रिक्समधील स्तंभांची संख्या दुसऱ्या मॅट्रिक्समधील पंक्तींच्या संख्येइतकी असणे आवश्यक आहे. जर ही अट नोंदी [A] * [B] किंवा [B] * [A] मध्ये पूर्ण केली नाही, तर त्यावर उपाय नाही.
   • उदाहरणार्थ, जर मॅट्रिक्स [A] चा आकार 4 x 3 असेल आणि मॅट्रिक्सचा आकार [x] 2 x 2 असेल तर कोणताही उपाय नाही. तुम्ही [A] * [B] गुणाकार करू शकत नाही कारण 4 ≠ 2, आणि तुम्ही गुणाकार करू शकत नाही [B] * [A] कारण 2 ≠ 3.
   • लक्षात घ्या की व्युत्क्रम मॅट्रिक्स [बी] मध्ये नेहमी मूळ मॅट्रिक्स [बी] सारख्या पंक्ती आणि स्तंभ असतात. दोन मॅट्रिक्स गुणाकार करता येतात हे तपासण्यासाठी व्यस्त मॅट्रिक्स शोधणे आवश्यक नाही.
   • आमच्या उदाहरणात, दोन्ही मॅट्रिक्सचे आकार 2 x 2 आहे, म्हणून ते कोणत्याही क्रमाने गुणाकार केले जाऊ शकतात.
4. 4 2 × 2 मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधा. लक्षात ठेवा: मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्य नसल्यासच तुम्ही उलट करू शकता (अन्यथा, तुम्ही मॅट्रिक्स उलटा करू शकत नाही). 2 x 2 मॅट्रिक्सचे निर्धारक कसे शोधायचे ते येथे आहे:
   • 2 x 2 मॅट्रिक्स: मॅट्रिक्सचा निर्धारक ${ displaystyle { start {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ जाहिरातीच्या समान आहे - बीसी. म्हणजेच, मुख्य कर्णातील घटकांच्या उत्पादनापासून (वरच्या डाव्या आणि खालच्या उजव्या कोपऱ्यातून जातो), इतर कर्णांच्या घटकांची उत्पादने वजा करा (वरच्या उजव्या आणि खालच्या डाव्या कोपऱ्यातून जातो).
   • उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्सचा निर्धारक ${ displaystyle { start {pmatrix} 7 आणि 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13 च्या बरोबरीचे आहे. निर्धारक शून्य आहे, म्हणून हे मॅट्रिक्स उलटे केले जाऊ शकते.
5. 5 मोठ्या मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधा. जर मॅट्रिक्सचा आकार 3 x 3 किंवा त्यापेक्षा जास्त असेल तर निर्धारकाची गणना करणे थोडे अधिक कठीण आहे.
   • 3 x 3 मॅट्रिक्स: कोणताही आयटम निवडा आणि त्यात असलेली पंक्ती आणि स्तंभ पार करा.परिणामी 2 × 2 मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधा आणि नंतर निवडलेल्या घटकाद्वारे गुणाकार करा; विशेष सारणीमध्ये निर्धारकाचे चिन्ह निर्दिष्ट करा. आपण निवडलेल्या आयटम सारख्याच पंक्ती किंवा स्तंभातील इतर दोन आयटमसाठी ही प्रक्रिया पुन्हा करा. नंतर प्राप्त झालेल्या (तीन) निर्धारकांची बेरीज शोधा. 3 x 3 मॅट्रिक्सचा निर्धारक कसा शोधायचा याबद्दल अधिक माहितीसाठी हा लेख वाचा.
   • मोठे मॅट्रिक्स: ग्राफिक कॅल्क्युलेटर किंवा सॉफ्टवेअरद्वारे अशा मॅट्रिक्सचे निर्धारक सर्वोत्तम शोधले जातात. ही पद्धत 3 × 3 मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधण्याच्या पद्धतीसारखीच आहे, परंतु ती व्यक्तिचलितपणे लागू करणे त्याऐवजी कंटाळवाणे आहे. उदाहरणार्थ, 4 x 4 मॅट्रिक्सचे निर्धारक शोधण्यासाठी, आपल्याला चार 3 x 3 मॅट्रिक्सचे निर्धारक शोधणे आवश्यक आहे.
6. 6 गणना सुरू ठेवा. जर मॅट्रिक्स चौरस नसेल किंवा त्याचा निर्धारक शून्याच्या बरोबरीचा असेल तर "नाही अस्पष्ट समाधान" लिहा, म्हणजेच गणना प्रक्रिया पूर्ण झाली. जर मॅट्रिक्स चौरस असेल आणि त्याच्याकडे शून्य निर्धारक असेल तर पुढील विभागात जा.

3 पैकी 2 भाग: व्यस्त मॅट्रिक्स शोधणे

1. 1 2 x 2 मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णातील घटक स्वॅप करा. 2 × 2 मॅट्रिक्स दिले, द्रुत उलटा पद्धत वापरा. प्रथम, वर-डावा घटक आणि तळाशी-उजवा घटक स्वॅप करा. उदाहरणार्थ:
   • ${ displaystyle { start {pmatrix} 7 आणि 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { start {pmatrix} 3 आणि 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
   • टीप: बहुतेक लोक 3 x 3 (किंवा मोठे) मॅट्रिक्स उलटा करण्यासाठी कॅल्क्युलेटर वापरतात. आपल्याला हे व्यक्तिचलितपणे करण्याची आवश्यकता असल्यास, या विभागाच्या शेवटी जा.
2. 2 उर्वरित दोन घटकांची अदलाबदल करू नका, परंतु त्यांचे चिन्ह बदला. म्हणजेच, वर-उजवा घटक आणि तळाशी-डावा घटक -1 ने गुणाकार करा:
   • ${ displaystyle { start {pmatrix} 3 आणि 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { start {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3. 3 निर्धारकाचे परस्पर शोधा. या मॅट्रिक्सचा निर्धारक मागील विभागात सापडला होता, म्हणून आम्ही त्याची पुन्हा गणना करणार नाही. निर्धारकाचे व्युत्क्रम खालीलप्रमाणे लिहिले आहे: 1 / (निर्धारक):
   • आमच्या उदाहरणात, निर्धारक 13. उलट मूल्य: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$.
4. 4 परिणामी मॅट्रिक्सला निर्धारकाच्या परस्पर गुणाकार करा. नवीन मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक घटकाला निर्धारकाच्या उलटाने गुणाकार करा. अंतिम मॅट्रिक्स मूळ 2 x 2 मॅट्रिक्सच्या उलट असेल:
   • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { start {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
     =${ displaystyle { start {pmatrix} { frac {3} {13}} आणि { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} आणि { frac {7 } {13}} शेवट {pmatrix}}}$
5. 5 गणना योग्य आहे का ते तपासा. हे करण्यासाठी, मूळ मॅट्रिक्सला त्याच्या व्युत्क्रमाने गुणाकार करा. जर गणना योग्य असेल तर, व्युत्क्रमाने मूळ मॅट्रिक्सचे उत्पादन ओळख मॅट्रिक्स देईल: ${ displaystyle { start {pmatrix} 1 आणि 0 0 आणि 1 end {pmatrix}}}$... जर चाचणी यशस्वी झाली, तर पुढील विभागात जा.
   • आमच्या उदाहरणात: ${ displaystyle { start {pmatrix} { frac {3} {13}} आणि { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} आणि { frac {7 } {13}} शेवट {pmatrix}} * { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { start {pmatrix} 1 आणि 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$.
   • मॅट्रिक कसे गुणाकार करावे याबद्दल अधिक माहितीसाठी, हा लेख वाचा.
   • टीप: मॅट्रिक्स गुणाकाराचे संचालन बदलणारे नाही, म्हणजेच मॅट्रिक्सचा क्रम महत्त्वाचा आहे. परंतु जेव्हा मूळ मॅट्रिक्स त्याच्या व्यस्ताने गुणाकार केला जातो, तेव्हा कोणताही क्रम ओळख मॅट्रिक्सकडे जातो.
6. 6 3 x 3 मॅट्रिक्सचे व्यस्त शोधा (किंवा मोठे). आपण या प्रक्रियेशी आधीच परिचित असल्यास, ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर किंवा विशेष सॉफ्टवेअर वापरणे चांगले. जर तुम्हाला व्युत्क्रम मॅट्रिक्स व्यक्तिचलितपणे शोधण्याची आवश्यकता असेल तर, प्रक्रियेचे थोडक्यात खाली वर्णन केले आहे:
   • मूळ मॅट्रिक्सच्या उजव्या बाजूला ओळख मॅट्रिक्स I मध्ये सामील व्हा. उदाहरणार्थ, [B] [B | मी]. ओळख मॅट्रिक्ससाठी, मुख्य कर्णातील सर्व घटक 1 च्या बरोबरीचे आहेत, आणि इतर सर्व घटक 0 च्या बरोबरीचे आहेत.
   • मॅट्रिक्स सरळ करा जेणेकरून त्याची डावी बाजू पायरी होईल; सरलीकृत करणे सुरू ठेवा जेणेकरून डावी बाजू ओळख मॅट्रिक्स होईल.
   • सरलीकरणानंतर, मॅट्रिक्स खालील फॉर्म घेईल: [I | ब]. म्हणजेच, त्याची उजवी बाजू मूळ मॅट्रिक्सची व्यस्त आहे.

3 पैकी 3 भाग: मॅट्रिक्स गुणाकार

1. 1 दोन संभाव्य अभिव्यक्ती लिहा. दोन स्केलरचे गुणाकार करण्याचे कार्य बदलते आहे, म्हणजेच 2 x 6 = 6 x 2.मॅट्रिक्स गुणाकाराच्या बाबतीत असे नाही, म्हणून आपल्याला दोन अभिव्यक्ती सोडवाव्या लागतील:
   • x = [A] * [B] हे समीकरणाचे समाधान आहे x[B] = [A].
   • x = [B] * [A] हे समीकरणाचे समाधान आहे [B]x = [अ].
   • समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी प्रत्येक गणिताचे ऑपरेशन करा. जर [A] = [C] नंतर [B] [A] ≠ [C] [B] कारण [B] [A] च्या डावीकडे पण [C] च्या उजवीकडे आहे.
2. 2 अंतिम मॅट्रिक्सचा आकार निश्चित करा. अंतिम मॅट्रिक्सचा आकार गुणाकार मॅट्रिक्सच्या आकारावर अवलंबून असतो. अंतिम मॅट्रिक्समधील पंक्तींची संख्या पहिल्या मॅट्रिक्समधील पंक्तींच्या संख्येइतकी असते आणि अंतिम मॅट्रिक्समधील स्तंभांची संख्या दुसऱ्या मॅट्रिक्समधील स्तंभांच्या संख्येइतकी असते.
   • आमच्या उदाहरणात, दोन्ही मॅट्रिक्सचा आकार ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ आणि ${ displaystyle { start {pmatrix} { frac {3} {13}} आणि { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} आणि { frac {7 } {13}} शेवट {pmatrix}}}$ 2 x 2 आहे, म्हणून मूळ मॅट्रिक्सचा आकार 2 x 2 असेल.
   • अधिक जटिल उदाहरणाचा विचार करा: जर मॅट्रिक्सचा आकार [A] असेल 4 x 3, आणि मॅट्रिक्सचा आकार [B] 3 x आहे 3, नंतर अंतिम मॅट्रिक्स [A] * [B] 4 x 3 असेल.
3. 3 पहिल्या घटकाचे मूल्य शोधा. हा लेख वाचा किंवा खालील मूलभूत पायऱ्या लक्षात ठेवा:
   • अंतिम मॅट्रिक्स [A] [B] चा पहिला घटक (पहिली पंक्ती, पहिला स्तंभ) शोधण्यासाठी, मॅट्रिक्स [A] च्या पहिल्या पंक्तीच्या घटकांच्या बिंदू उत्पादनाची गणना करा आणि मॅट्रिक्सच्या पहिल्या स्तंभाच्या घटकांची गणना करा [B] ]. 2 x 2 मॅट्रिक्सच्या बाबतीत, डॉट उत्पादनाची गणना खालीलप्रमाणे केली जाते: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$.
   • आमच्या उदाहरणात: ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} { frac {3} {13}} आणि { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} आणि { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$... अशा प्रकारे, अंतिम मॅट्रिक्सचा पहिला घटक घटक असेल:
     ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
     ${ displaystyle = 3 + -4}$
     ${ displaystyle = -1}$
4. 4 अंतिम मॅट्रिक्सचा प्रत्येक घटक शोधण्यासाठी डॉट उत्पादनांची गणना सुरू ठेवा. उदाहरणार्थ, दुसऱ्या रांगेत आणि पहिल्या स्तंभामध्ये असलेला घटक मॅट्रिक्स [A] च्या दुसऱ्या पंक्तीच्या बिंदू उत्पादनाच्या आणि मॅट्रिक्स [B] च्या पहिल्या स्तंभाच्या बरोबरीचा आहे. उर्वरित वस्तू स्वतः शोधण्याचा प्रयत्न करा. तुम्हाला खालील परिणाम मिळाले पाहिजेत:
   • ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} { frac {3} {13}} आणि { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} आणि { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -1 आणि 10 7 & -5 समाप्त {pmatrix}}}$
   • आपल्याला दुसरा उपाय शोधण्याची आवश्यकता असल्यास: ${ displaystyle { start {pmatrix} { frac {3} {13}} आणि { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} आणि { frac {7 } {13}} शेवट {pmatrix}} * { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 शेवट {pmatrix}}}$

टिपा

• मॅट्रिक्सला स्केलरमध्ये विभागले जाऊ शकते; यासाठी, मॅट्रिक्सचा प्रत्येक घटक स्केलरने विभागलेला आहे.
  • उदाहरणार्थ, जर मॅट्रिक्स ${ displaystyle { start {pmatrix} 6 आणि 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ 2 ने भागल्यास, आपल्याला मॅट्रिक्स मिळेल ${ displaystyle { start {pmatrix} 3 आणि 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

चेतावणी

• मॅट्रिक्स गणनेचा विचार करता कॅल्क्युलेटर नेहमीच अचूक परिणाम देत नाही. उदाहरणार्थ, जर कॅल्क्युलेटरने दावा केला की आयटम खूप लहान संख्या आहे (जसे की 2 ई), मूल्य बहुधा शून्य आहे.

अतिरिक्त लेख

मॅट्रिक कसे गुणाकार करावे 3x3 मॅट्रिक्सचे व्यस्त कसे शोधायचे 3X3 मॅट्रिक्सचा निर्धारक कसा शोधायचा चतुर्भुज कार्याची कमाल किंवा किमान कशी शोधावी वारंवारता कशी मोजावी द्विघात समीकरणे कशी सोडवायची मोजण्याच्या टेपशिवाय उंची कशी मोजावी एखाद्या संख्येचे वर्गमूळ स्वहस्ते कसे शोधायचे मिलीलीटरचे ग्रॅममध्ये रूपांतर कसे करावे बायनरी पासून दशांश मध्ये कसे रूपांतरित करावे पाई मूल्य कसे मोजावे दशांश पासून बायनरी मध्ये रूपांतरित कसे करावे संभाव्यतेची गणना कशी करावी मिनिटांचे तासात रूपांतर कसे करावे