सामग्री

• पावले
• 3 पैकी 1 पद्धत: समस्या विधान समजून घ्या
• 3 पैकी 2 पद्धत: पुरावा तयार करा
• 3 पैकी 3 पद्धत: पुरावे लिहा
• टिपा

गणिताचा पुरावा शोधणे एक कठीण काम असू शकते, परंतु गणित जाणून घेणे आणि पुरावा लिहिणे आपल्याला मदत करेल. दुर्दैवाने, गणिताच्या समस्यांचे निराकरण कसे करावे हे शिकण्यासाठी द्रुत आणि सुलभ पद्धती नाहीत. एखाद्या विषयाचा योग्य अभ्यास करणे आणि विशिष्ट गणिताची स्थिती सिद्ध करताना आपल्याला उपयोगी पडतील अशा मूलभूत प्रमेये आणि व्याख्या लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे. गणिताच्या पुराव्यांची उदाहरणे अभ्यासा आणि तुमची कौशल्ये सुधारण्यासाठी मदत करा.

पावले

3 पैकी 1 पद्धत: समस्या विधान समजून घ्या

1. 1 तुम्हाला काय शोधायचे आहे ते ठरवा. पहिली पायरी म्हणजे नक्की काय सिद्ध करणे आवश्यक आहे हे शोधणे. इतर गोष्टींबरोबरच, हे तुमच्या पुराव्यातील शेवटचे विधान निश्चित करेल. या टप्प्यावर, आपण काही गृहितके देखील तयार केली पाहिजेत ज्यामध्ये आपण कार्य कराल. समस्या अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी आणि त्याचे निराकरण करण्यास प्रारंभ करण्यासाठी, आपल्याला काय सिद्ध करायचे आहे ते शोधा आणि आवश्यक गृहितके बनवा.
2. 2 रेखाचित्र काढा. गणिती समस्या सोडवताना, कधीकधी चित्र किंवा आकृतीच्या स्वरूपात त्यांचे चित्रण करणे उपयुक्त ठरते. भौमितिक समस्यांच्या बाबतीत हे विशेषतः महत्वाचे आहे - रेखाचित्र परिस्थितीची कल्पना करण्यास मदत करते आणि समाधानाचा शोध मोठ्या प्रमाणात सुलभ करते.
   • चित्र किंवा आकृती तयार करताना, स्थितीत प्रदान केलेला डेटा वापरा. आकृतीमध्ये ज्ञात आणि अज्ञात प्रमाण चिन्हांकित करा.
   • रेखाचित्र आपल्यासाठी पुरावे शोधणे सोपे करेल.
3. 3 तत्सम प्रमेयांचे अभ्यास पुरावे. जर तुम्हाला त्वरित उपाय सापडत नसेल तर तत्सम प्रमेये शोधा आणि ते कसे सिद्ध होतात ते पहा.
   • लक्षात ठेवा की पुराव्याच्या प्रत्येक पायरीसाठी तुम्हाला कारणे देणे आवश्यक आहे. इंटरनेटवर किंवा गणिताच्या पाठ्यपुस्तकांमध्ये विविध प्रमेये कशी सिद्ध होतात ते पहा.
4. 4 प्रश्न विचारा. आपण लगेच पुरावा शोधण्यास व्यवस्थापित न केल्यास ते ठीक आहे.आपण एखाद्या गोष्टीबद्दल अस्पष्ट असल्यास, त्याबद्दल आपल्या शिक्षक किंवा वर्गमित्रांना विचारा. कदाचित तुमच्या साथीदारांनाही असेच प्रश्न असतील आणि तुम्ही ते एकत्र सोडवू शकता. पुन्हा पुन्हा प्रयत्न करून अयशस्वी होण्यापेक्षा काही प्रश्न विचारणे चांगले.
   • धड्यांनंतर शिक्षकांकडे जा आणि कोणतेही अस्पष्ट प्रश्न शोधा.

3 पैकी 2 पद्धत: पुरावा तयार करा

1. 1 गणिताचा पुरावा तयार करा. गणिताचा पुरावा म्हणजे प्रमेय आणि व्याख्येद्वारे समर्थित विधानाचा एक क्रम आहे जो गणिताचा आधार सिद्ध करतो. विधान हे गणितीदृष्ट्या बरोबर आहे का हे ठरवण्याचा एकमेव मार्ग आहे.
   • गणिती पुरावे लिहिण्याची क्षमता समस्येची सखोल समज आणि आवश्यक साधनांवर प्रभुत्व (लेम्मा, प्रमेय आणि व्याख्या) याची साक्ष देते.
   • कठोर पुरावा तुम्हाला गणिताकडे नव्याने पाहण्यास आणि त्याच्या आकर्षणाची अनुभूती घेण्यास मदत करू शकतो. फक्त गणिती पद्धतींची कल्पना मिळवण्यासाठी विधान सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करा.
2. 2 आपल्या प्रेक्षकांचा विचार करा. तुम्ही पुरावे रेकॉर्ड करणे सुरू करण्यापूर्वी, ते कोणासाठी आहे याचा विचार करा आणि या लोकांच्या ज्ञानाची पातळी लक्षात घ्या. जर तुम्ही एखाद्या वैज्ञानिक नियतकालिकात पुढील प्रकाशनासाठी पुरावे लिहून दिलेत, तर तुम्ही जेव्हा शाळेत असाइनमेंट करत असता तेव्हा ते वेगळे असेल.
   • आपले लक्ष्यित प्रेक्षक जाणून घेणे आपल्याला आपल्या वाचकांना ते समजून घेण्यासाठी प्रशिक्षण देताना पुरावे लिहून देण्यास अनुमती देईल.
3. 3 पुराव्याचा प्रकार निश्चित करा. अनेक प्रकारचे गणिती पुरावे आहेत आणि विशिष्ट फॉर्मची निवड लक्ष्यित प्रेक्षकांवर आणि समस्येचे निराकरण करण्यावर अवलंबून असते. कोणती प्रजाती निवडायची याची आपल्याला खात्री नसल्यास, आपल्या शिक्षकांशी संपर्क साधा. हायस्कूलमध्ये, दोन-स्तंभ पुरावा आवश्यक आहे.
   • दोन स्तंभांमध्ये पुरावे लिहिताना, एक प्रारंभिक डेटा आणि स्टेटमेंट रेकॉर्ड करतो, आणि दुसरा - या स्टेटमेंटचे संबंधित पुरावे. भौमितिक समस्या सोडवताना नोटेशनचा हा प्रकार अनेकदा वापरला जातो.
   • पुरावा लिहिण्याच्या कमी औपचारिक मार्गाने, व्याकरणदृष्ट्या योग्य बांधकामे आणि कमी चिन्हे वापरली जातात. उच्च पातळीवर, ही नोटेशन आहे जी वापरली पाहिजे.
4. 4 दोन स्तंभांमध्ये पुरावा स्केच करा. हा फॉर्म विचार आयोजित करण्यात आणि सातत्याने समस्येचे निराकरण करण्यात मदत करतो. उभ्या ओळीने पृष्ठ अर्ध्या भागामध्ये विभाजित करा आणि डाव्या बाजूला आपला मूळ डेटा आणि त्यानंतर येणारी विधाने लिहा. प्रत्येक विधानाच्या उजव्या बाजूला संबंधित व्याख्या आणि प्रमेये लिहा.
   • उदाहरणार्थ:
   • कोप A आणि B समीप आहेत - दिले;
   • एबीसी कोन सपाट आहे - एक सपाट कोपरा परिभाषित करतो;
   • ABC 180 ° आहे - सरळ रेषा परिभाषित करणे;
   • कोन A + कोन B = कोन ABC - कोन जोडण्याचा नियम;
   • कोन A + कोन B = 180 ° - प्रतिस्थापन;
   • कोन A कोन B ला पूरक आहे - अतिरिक्त कोनांची व्याख्या;
   • Q.E.D.
5. 5 अनौपचारिक पुरावा म्हणून दोन-स्तंभ पुरावा लिहा. आधार म्हणून दोन-स्तंभ प्रविष्टी वापरा आणि कमी चिन्हे आणि संक्षेपांसह पुरावा लहान स्वरूपात लिहा.
   • उदाहरणार्थ: समजा कोप A आणि B समीप आहेत. गृहितकानुसार, हे कोन एकमेकांना पूरक आहेत. समीप असताना, कोन A आणि कोन B एक सरळ रेषा बनवतात. जर कोपऱ्याच्या बाजू सरळ रेषा बनवल्या तर कोन 180 आहे. ABC सरळ रेषा तयार करण्यासाठी A आणि B कोन जोडा. अशा प्रकारे, A आणि B कोनांची बेरीज 180 आहे, म्हणजेच हे कोन पूरक आहेत. Q.E.D.

3 पैकी 3 पद्धत: पुरावे लिहा

1. 1 पुराव्याची भाषा शिका. गणिती पुरावे लिहिण्यासाठी मानक विधाने आणि वाक्ये वापरली जातात. आपल्याला ही वाक्ये शिकण्याची आणि ती कशी वापरायची हे माहित असणे आवश्यक आहे.
   • "जर A, तर B" या वाक्यांशाचा अर्थ असा की जर विधान A सत्य असेल तर विधान B देखील सत्य असणे आवश्यक आहे.
   • "अ जर आणि फक्त जर बी" म्हणजे A आणि B विधान एकाच वेळी सत्य किंवा असत्य आहेत. हे बांधकाम दोन एकाचवेळी विधानांच्या बरोबरीचे आहे: "जर A, नंतर B" आणि "जर A अपयशी ठरले तर B धरत नाही".
   • "A फक्त B असेल तर" जर B असेल, तर A "च्या बरोबरीने असेल, म्हणून हे बांधकाम सामान्य नाही. तरीसुद्धा, त्याबद्दल लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे.
   • पुरावे नोंदवताना, वैयक्तिक सर्वनाम "I" ऐवजी "आम्ही" वापरण्याचा प्रयत्न करा.
2. 2 सर्व मूळ डेटा लिहा. पुरावा संकलित करताना, सर्वप्रथम समस्येमध्ये दिलेली प्रत्येक गोष्ट परिभाषित करणे आणि लिहिणे आहे. या प्रकरणात, आपल्या डोळ्यांसमोर सर्व प्रारंभिक डेटा असेल, ज्याच्या आधारावर निर्णय घेणे आवश्यक आहे. समस्या विधान काळजीपूर्वक वाचा आणि त्यात दिलेली प्रत्येक गोष्ट लिहा.
   • उदाहरणार्थ: सिद्ध करा की दोन समीप कोन (कोन A आणि कोन B) एकमेकांना पूरक आहेत.
   • दिलेले: समीप कोपरे A आणि B.
   • सिद्ध करा: कोन A कोन B ला पूरक आहे.
3. 3 सर्व व्हेरिएबल्स परिभाषित करा. मूळ डेटा रेकॉर्ड करण्याव्यतिरिक्त, उर्वरित व्हेरिएबल्स लिहिणे देखील उपयुक्त आहे. वाचकासाठी सुलभ करण्यासाठी, पुराव्याच्या अगदी सुरुवातीला व्हेरिएबल्स लिहा. जर कोणतेही व्हेरिएबल्स परिभाषित केले गेले नाहीत, तर वाचक गोंधळून जाऊ शकतो आणि आपला पुरावा समजू शकत नाही.
   • पुराव्यादरम्यान पूर्वी अपरिभाषित व्हेरिएबल्स वापरू नका.
   • उदाहरणार्थ: वर विचारलेल्या समस्येमध्ये, व्हेरिएबल्स A आणि B कोनांची मूल्ये आहेत.
4. 4 उलट क्रमाने पुरावा शोधण्याचा प्रयत्न करा. बर्याच समस्या उलट क्रमाने सोडवणे सोपे आहे. आपल्याला काय सिद्ध करायचे आहे ते प्रारंभ करा आणि आपण प्रारंभिक स्थितीशी निष्कर्ष कसे जोडू शकता याबद्दल विचार करा.
   • सुरुवातीच्या आणि शेवटच्या पायऱ्या पुन्हा वाचा आणि ते एकमेकांसारखे आहेत का ते पहा. हे करताना, प्रारंभिक अटी, व्याख्या आणि इतर समस्यांमधील तत्सम पुरावे वापरा.
   • स्वतःला प्रश्न विचारा आणि पुढे जा. वैयक्तिक विधाने सिद्ध करण्यासाठी, स्वतःला विचारा, "हे असे का आहे?" - आणि: "हे चुकीचे असू शकते?"
   • अंतिम निकाल मिळेपर्यंत वैयक्तिक पावले अनुक्रमे लिहून ठेवण्याचे लक्षात ठेवा.
   • उदाहरणार्थ: A आणि B कोन पूरक असतील तर त्यांची बेरीज 180 be असावी. समीप कोनांच्या व्याख्येनुसार, कोन A आणि B एक सरळ रेषा ABC बनवतात. रेषा 180 of चा कोन बनवत असल्याने A आणि B कोन 180 to पर्यंत जोडतात.
5. 5 पुराव्याच्या वैयक्तिक चरणांची व्यवस्था करा जेणेकरून ते सुसंगत आणि तार्किक असेल. सुरुवातीला प्रारंभ करा आणि एक सिद्ध शोधनिबंधापर्यंत जा. पुराव्यासाठी तुमच्या शोधाच्या शेवटी सुरू करणे कधीकधी उपयुक्त ठरते, परंतु ते लिहिताना तुम्ही योग्य क्रम पाळला पाहिजे. स्वतंत्र प्रबंध एका पाठोपाठ पाळावेत जेणेकरून पुरावा तार्किक असेल आणि शंका उपस्थित करू नये.
   • प्रथम, केलेल्या गृहितकांचा विचार करा.
   • साध्या आणि सरळ पावलांनी केलेल्या विधानांची पुष्टी करा जेणेकरून वाचकांना त्यांच्या अचूकतेबद्दल शंका नसेल.
   • कधीकधी आपल्याला एकापेक्षा जास्त वेळा पुरावा पुन्हा लिहावा लागतो. आपण सर्वात तार्किक संरचनेवर येईपर्यंत विधान आणि त्यांचे पुरावे गटबद्ध करणे सुरू ठेवा.
   • उदाहरणार्थ: सुरवातीपासून प्रारंभ करूया.
     • कोन A आणि B समीप आहेत.
     • कोना ABC च्या बाजू सरळ रेषा बनवतात.
     • कोन ABC 180 आहे.
     • कोन A + कोन B = कोन ABC.
     • कोन A + कोन B = कोन 180.
     • कोन A कोन B ला पूरक आहे.
6. 6 पुरावा मध्ये बाण आणि संक्षेप वापरू नका. मसुद्यामध्ये विविध संक्षेप आणि चिन्हे वापरली जाऊ शकतात, परंतु अंतिम मसुद्यात त्यांचा समावेश करू नका कारण यामुळे वाचकांना गोंधळ होऊ शकतो. त्याऐवजी "म्हणून" आणि "नंतर" सारखे शब्द वापरा.
   • अपवाद म्हणून, समजण्यायोग्य संक्षेपांना परवानगी आहे, उदाहरणार्थ, “म्हणजे. ई. " (म्हणजे), तथापि त्यांचा योग्य वापर करा.
7. 7 प्रमेय, कायदा किंवा व्याख्येसह प्रत्येक प्रबंधाचे समर्थन करा. पुरावा निर्दोष असावा. आपण असमाधानकारक विधान करू शकत नाही. आपल्यासारख्या समस्यांसाठी पुरावे कसे तयार केले जातात ते पहा.
   • तुम्हाला जे पुरावे सापडतात ते खटल्यांमध्ये लागू करण्याचा प्रयत्न करा आणि ते खरे आहे का ते पहा. जर अशा प्रकरणांमध्ये पुरावा वैध असेल तर आपण कुठे चुकलो ते तपासा.
   • भौमितिक समस्यांचे पुरावे अनेकदा दोन स्तंभांमध्ये लिहिले जातात. दावे उजवीकडे लिहिलेले आहेत, आणि त्यांचे पुरावे डावीकडे दिले आहेत. त्याच वेळी, प्रकाशनांमध्ये, गणिताचे पुरावे योग्य व्याकरणासह परिच्छेदाच्या रूपात तयार केले जातात.
8. 8 "सिद्ध करण्यासाठी आवश्यकतेनुसार" या वाक्यांसह पुरावे समाप्त करा. पुराव्याच्या शेवटी, एक सिद्ध करण्यायोग्य प्रबंध असणे आवश्यक आहे. त्यानंतर, आपण "काय सिद्ध करणे आवश्यक होते" (संक्षिप्त "h. इत्यादी." किंवा भरलेल्या चौकाच्या स्वरूपात एक चिन्ह) लिहावे - याचा अर्थ असा की पुरावा पूर्ण झाला आहे.
   • लॅटिनमध्ये, "काय सिद्ध करणे आवश्यक होते" हा वाक्यांश संक्षेप QE.D शी संबंधित आहे. (quod erat प्रदर्शन, म्हणजे, "जे दाखवणे आवश्यक होते").
   • जर तुम्हाला पुराव्याच्या अचूकतेबद्दल शंका असेल तर तुम्ही कोणत्या निष्कर्षावर आला आहात आणि ते का महत्त्वाचे आहे याबद्दल काही वाक्ये लिहा.

टिपा

• पुराव्यामध्ये प्रदान केलेली सर्व माहिती नमूद केलेल्या ध्येय साध्य करण्यासाठी आवश्यक आहे. आपल्या पुराव्याशिवाय आपण काय करू शकता ते समाविष्ट करू नका.