सामग्री

• पावले
• 4 पैकी 1 पद्धत: मूलगामी अभिव्यक्तींचे विभाजन
• 4 पैकी 2 पद्धत: मूलगामी अभिव्यक्तीचे गुणन
• 4 पैकी 3 पद्धत: स्क्वेअर रूट्सचे गुणाकार
• 4 पैकी 4 पद्धत: वर्गमूळ द्विपद द्वारे विभाजन
• टिपा
• चेतावणी

चौरस मुळे विभाजित करणे अपूर्णांक सुलभ करते. चौरस मुळे असणे हे समाधान थोडे गुंतागुंतीचे करते, परंतु काही नियमांमुळे अपूर्णांकांसह कार्य करणे तुलनेने सोपे होते. लक्षात ठेवण्याची मुख्य गोष्ट अशी आहे की घटक घटकांद्वारे विभागले जातात, आणि मूलगामी अभिव्यक्तींनी मूलगामी अभिव्यक्ती. तसेच, वर्गमूळ संप्रदायात असू शकतो.

पावले

4 पैकी 1 पद्धत: मूलगामी अभिव्यक्तींचे विभाजन

1. 1 अपूर्णांक लिहा. जर अभिव्यक्ती अपूर्णांक नसेल तर त्या मार्गाने पुन्हा लिहा. यामुळे चौरस मुळे विभाजित करण्याच्या प्रक्रियेचे अनुसरण करणे सोपे होते. लक्षात ठेवा क्षैतिज पट्टी विभाजन चिन्हाचे प्रतिनिधित्व करते.
   • उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती दिली ${ displaystyle { sqrt {144}} div { sqrt {36}}}$, हे असे पुन्हा लिहा: ${ displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}}}$.
2. 2 एक मूळ चिन्ह वापरा. जर अंश आणि भाजकाचे वर्गमूळ दोन्ही चौरस मुळे असतील, तर समाधान प्रक्रिया सुलभ करण्यासाठी त्यांचे मूलभूत अभिव्यक्ती एका मूळ चिन्हाखाली लिहा. मूलगामी अभिव्यक्ती ही अभिव्यक्ती (किंवा फक्त एक संख्या) आहे जी मूळ चिन्हाखाली आहे.
   • उदाहरणार्थ, अपूर्णांक ${ displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}}}$ असे लिहिले जाऊ शकते: ${ displaystyle { sqrt { frac {144} {36}}}}$.
3. 3 मूलगामी अभिव्यक्ती विभाजित करा. एक संख्या दुसर्याने विभाजित करा (नेहमीप्रमाणे), आणि मूळ चिन्हाखाली निकाल लिहा.
   • उदाहरणार्थ, ${ displaystyle { frac {144} {36}} = 4}$, म्हणून: ${ displaystyle { sqrt { frac {144} {36}}} = { sqrt {4}}}$.
4. 4 सरळ करा मूलगामी अभिव्यक्ती (आवश्यक असल्यास). जर मूलगामी अभिव्यक्ती किंवा त्यातील एक घटक परिपूर्ण चौरस असेल तर ती अभिव्यक्ती सुलभ करा. पूर्ण चौरस ही एक संख्या आहे जी काही पूर्णांकाचा वर्ग आहे. उदाहरणार्थ, 25 एक परिपूर्ण चौरस आहे कारण ${ displaystyle 5 times 5 = 25}$.
   • उदाहरणार्थ, 4 एक परिपूर्ण चौरस आहे कारण ${ displaystyle 2 times 2 = 4}$... अशा प्रकारे:
     ${ displaystyle { sqrt {4}}}$
     ${ displaystyle = { sqrt {2 times 2}}}$
     ${ displaystyle = 2}$
     तर: ${ displaystyle { frac { sqrt {144}} { sqrt {36}}} = { sqrt {4}} = 2}$.

4 पैकी 2 पद्धत: मूलगामी अभिव्यक्तीचे गुणन

1. 1 अपूर्णांक लिहा. जर अभिव्यक्ती अपूर्णांक नसेल तर त्या मार्गाने पुन्हा लिहा. हे चौरस मुळे विभाजित करण्याच्या प्रक्रियेचे अनुसरण करणे सोपे करते, विशेषत: जेव्हा मूलगामी अभिव्यक्तीचे फॅक्टरिंग करते. लक्षात ठेवा क्षैतिज पट्टी विभाजन चिन्हाचे प्रतिनिधित्व करते.
   • उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती दिली ${ displaystyle { sqrt {8}} div { sqrt {36}}}$, हे असे पुन्हा लिहा: ${ displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}}}$.
2. 2 पसरवा प्रत्येक मूलगामी अभिव्यक्तीच्या घटकांमध्ये. मूळ चिन्हाखाली असलेली संख्या कोणत्याही पूर्णांकाप्रमाणे गुणांकित केली जाते. मूळ चिन्हाखाली घटक लिहा.
   • उदाहरणार्थ:
     ${ displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}} = { frac { sqrt {2 times 2 times 2}} { sqrt {6 times 6}}}}$
3. 3 सरळ करा अंशांचा अंश आणि भाजक. हे करण्यासाठी, मूळ चिन्हाच्या खाली, पूर्ण चौरस असलेले घटक काढा. पूर्ण चौरस ही एक संख्या आहे जी काही पूर्णांकाचा वर्ग आहे. मूलगामी अभिव्यक्तीचा घटक मूळच्या चिन्हापूर्वी घटकामध्ये बदलेल.
   • उदाहरणार्थ:
     ${ प्रदर्शन शैली { frac { sqrt {{ रद्द करा {2 वेळा 2 वेळा}} 2}} { sqrt { रद्द करा {6 वेळा 6}}}}}$
     ${ displaystyle { frac {2 { sqrt {2}}} {6}}}$
     अशा प्रकारे, ${ displaystyle { frac { sqrt {8}} { sqrt {36}}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {6}}}$
4. 4 संप्रदायातील मुळापासून मुक्त व्हा (भाज्याला तर्कसंगत करा). गणितामध्ये, संप्रदायात मूळ सोडण्याची प्रथा नाही. जर अपूर्णांकाला हरणाचा वर्गमूळ असेल तर त्यातून सुटका करा. हे करण्यासाठी, अंक आणि भाजक दोन्ही आपण ज्या वर्गमुक्तीपासून मुक्त करू इच्छित आहात त्याद्वारे गुणाकार करा.
   • उदाहरणार्थ, अपूर्णांक दिले ${ displaystyle { frac {6 { sqrt {2}}} { sqrt {3}}}}$, अंश आणि भाजकाला गुणाकार करा ${ displaystyle { sqrt {3}}}$संप्रदायातील मुळापासून मुक्त होण्यासाठी:
     ${ displaystyle { frac {6 { sqrt {2}}} { sqrt {3}}} times { frac { sqrt {3}} { sqrt {3}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {6 { sqrt {2}} times { sqrt {3}}} {{ sqrt {3}} times { sqrt {3}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {6 { sqrt {6}}} { sqrt {9}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {6 { sqrt {6}}} {3}}}$.
5. 5 परिणामी अभिव्यक्ती सुलभ करा (आवश्यक असल्यास). कधीकधी अपूर्णांकाच्या अंश आणि भागामध्ये संख्या असतात ज्या सरलीकृत (कमी) केल्या जाऊ शकतात. अंश आणि भाज्या मध्ये पूर्ण संख्या सरलीकृत करा कारण तुम्ही कोणताही अपूर्णांक सरळ करता.
   • उदाहरणार्थ, ${ displaystyle { frac {2} {6}}}$ करण्यासाठी सुलभ करते ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$; अशा प्रकारे ${ displaystyle { frac {2 { sqrt {2}}} {6}}}$ करण्यासाठी सुलभ करते ${ displaystyle { frac {1 { sqrt {2}}} {3}}}$ = ${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {3}}}$.

4 पैकी 3 पद्धत: स्क्वेअर रूट्सचे गुणाकार

1. 1 घटक सुलभ करा. घटक म्हणजे मूळ चिन्हाच्या आधीची संख्या. घटक सुलभ करण्यासाठी, त्यांना विभाजित करा किंवा कमी करा (मूलगामी अभिव्यक्तींना स्पर्श करू नका).
   • उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती दिली ${ displaystyle { frac {4 { sqrt {32}}} {6 { sqrt {16}}}}}$, प्रथम सोपे करा ${ displaystyle { frac {4} {6}}}$... अंश आणि भाजक 2 ने विभागले जाऊ शकतात. अशा प्रकारे, घटक रद्द केले जाऊ शकतात:${ displaystyle { frac {4} {6}} = { frac {2} {3}}}$.
2. 2 सरळ करा चौरस मुळे जर अंशाने भाजकाला समान प्रमाणात विभाजित केले असेल तर तसे करा; अन्यथा, इतर अभिव्यक्तींप्रमाणे मूलगामी अभिव्यक्ती सुलभ करा.
   • उदाहरणार्थ, 32 हे 16 ने समान प्रमाणात विभाज्य आहे, म्हणून:${ displaystyle { sqrt { frac {32} {16}}} = { sqrt {2}}}$
3. 3 सरलीकृत मुळांद्वारे सरलीकृत घटक गुणाकार करा. लक्षात ठेवा की भाजकामध्ये मूळ न सोडणे चांगले आहे, म्हणून अंश आणि अंश दोन्ही या मुळाने गुणाकार करा.
   • उदाहरणार्थ, ${ displaystyle { frac {2} {3}} times { sqrt {2}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {3}}}$.
4. 4 आवश्यक असल्यास भाजकाच्या मुळापासून मुक्त व्हा (भाजकाचे तर्कशुद्धीकरण करा). गणितामध्ये, संप्रदायात मूळ सोडण्याची प्रथा नाही.म्हणून, ज्या अंकातून आपण मुक्त होऊ इच्छिता त्या वर्गमूळाने अंश आणि भाजक दोन्ही गुणाकार करा.
   • उदाहरणार्थ, अपूर्णांक दिले ${ displaystyle { frac {4 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$, अंश आणि भाजकाला गुणाकार करा ${ displaystyle { sqrt {7}}}$संप्रदायातील मुळापासून मुक्त होण्यासाठी:
     ${ displaystyle { frac {4 { sqrt {3}}} { sqrt {7}}} times { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {4 { sqrt {3}} times { sqrt {7}}} {{ sqrt {7}} times { sqrt {7}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {4 { sqrt {21}}} { sqrt {49}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {4 { sqrt {21}}} {7}}}$

4 पैकी 4 पद्धत: वर्गमूळ द्विपद द्वारे विभाजन

1. 1 निश्चित करा की भाजकामध्ये द्विपद (द्विपद) आहे. भाजक म्हणजे भागाकार (अभिव्यक्ती किंवा रेषेखालील संख्या). द्विपद (द्विपद) एक अभिव्यक्ती आहे ज्यात दोन मोनोमियल समाविष्ट आहेत. ही पद्धत तेव्हाच लागू होईल जेव्हा समस्येमध्ये वर्गमूल द्विपद असेल.
   • उदाहरणार्थ, अपूर्णांक दिले ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}}}$, हर्यात द्विपद आहे, कारण अभिव्यक्ती ${ displaystyle 5 + { sqrt {2}}}$ दोन मोनोमियल समाविष्ट करतात.
2. 2 द्विपदीशी संबद्ध अभिव्यक्ती शोधा. एक संयुग्म द्विपद समान द्विपदी आहे ज्यामध्ये समान मोनोमियल्स आहेत, परंतु त्यांच्या दरम्यान उलट चिन्हासह. संयुग्म द्विपदांचा गुणाकार केल्यास भाजकाच्या मुळापासून सुटका होईल.
   • उदाहरणार्थ, ${ displaystyle 5 + { sqrt {2}}}$ आणि ${ प्रदर्शन शैली 5 - { sqrt {2}}}$ संयुग्मित द्विपद आहेत कारण त्यात समान मोनोमियल्स समाविष्ट आहेत, परंतु त्यांच्यामध्ये उलट चिन्हे आहेत.
3. 3 अंश आणि भाजकाला द्विपद संयुग्मक द्वारे द्विपदी मध्ये गुणाकार करा. हे वर्गमूळापासून मुक्त होईल, कारण संयुग्म द्विपदांचे उत्पादन प्रत्येक द्विपद संज्ञेच्या चौरसाच्या फरकाच्या समान आहे. I.e ${ displaystyle (a -b) (a + b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$.
   • उदाहरणार्थ:
     ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {1 (5 - { sqrt {2}})} {(5 + { sqrt {2}}) (5 - { sqrt {2}})}}}$
     ${ displaystyle = { frac {5 - { sqrt {2}}} {(5 ^ {2} - ({ sqrt {2}}) ^ {2}}}}$
     ${ displaystyle = { frac {5 + { sqrt {2}}} {25-2}}}$
     ${ displaystyle = { frac {5 + { sqrt {2}}} {23}}}$
     अशा प्रकारे, ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {2}}}} = { frac {5 + { sqrt {2}}} {23}}}$.

टिपा

• अपूर्णांकांसह कसे कार्य करावे हे अनेक कॅल्क्युलेटरला माहित आहे. अंकामध्ये संख्या प्रविष्ट करा, अपूर्णांक की दाबा आणि नंतर संख्या मध्ये प्रविष्ट करा. "=" दाबा आणि कॅल्क्युलेटर स्वयंचलितपणे अपूर्णांक सुलभ (कमी) करेल.
• चौरस मुळांसह काम करताना, मिश्र संख्या अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतरित करणे चांगले.
• मुळांच्या जोड आणि वजाबाकीच्या विपरीत, त्यांना विभाजित करताना, मूलगामी अभिव्यक्ती सरलीकृत करता येत नाहीत (पूर्ण चौकोनांमुळे); खरं तर, हे अजिबात न करणे चांगले आहे.

चेतावणी

• अपूर्णांकाच्या भागामध्ये मूळ कधीही सोडू नका - सरलीकृत करा किंवा तर्कसंगत करा.
• दशांश अपूर्णांक आणि मिश्र संख्या मुळासमोर ठेवलेली नाही. त्यांना अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करा आणि नंतर परिणामी अभिव्यक्ती सुलभ करा.
• अपूर्णांकाच्या हर किंवा अंकामध्ये दशांश लिहू नका; अन्यथा, तुम्हाला अपूर्णांकात अपूर्णांक मिळेल.
• जर भाजकामध्ये दोन मोनोमियल्सची बेरीज किंवा फरक असेल, तर हा बिन त्याच्या संयुग्म द्विपदाने गुणाकार करा जेणेकरून डिपॉमिनेटरमधील मुळापासून मुक्तता मिळेल.